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[摘要]数学本身具有严密的逻辑体系,数学内容之间的内在联系决定了学习数学具有特殊的科学方法。类比方法作为重要的数学方法,在数学学习中起着举足轻重的作用。本文通过不同角度阐述了类比思想在数学学习中的体现,为学好数学提供了一类行之有效的方法。
[关键词]数学教学 思想方法 应用推广
数学家波利亚曾说“类比是一个伟大的引路人”。数学是一门逻辑非常严密的学科，数学对象之间有着紧密的联系，让学生发现数学对象间的联系并掌握发现的方法，是数学教学的重要一环。在普及素质教育和创新教育的背景下，减轻学生的学习负担就需要提高学习效率，而这就需要学生掌握一些常见的数学思想方法，从而找到一套高效的数学学习方法。教师可以利用类比推理的思想方法，引导学生进行猜测——提出新问题；探索——提出新思路；证明——发现新结论。以下结合实例作简要的说明。
一、归纳思路
学生在清楚一元二次方程的两根同号问题需用根与系数的关系后，对如下问题可能仍感困惑，可以让学生结合图像进行分析。
二、类比：推广结论
比如，奇偶函数图象对称性的类比推广大家非常熟悉，奇偶函数的图象具有对称性，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，奇偶函数的这种性质可以作类比推广。注意偶函数的解析式满足以下条件，即对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，图象关于直线x=0(y轴)对称，条件f(-x)=f(x)可以改造成为f(0-x)=f(0+x)，这说明在x=0的两侧与它距离相等的两点对应的自变量对应的函数值相等,此时对称轴为直线x=0；现将条件中的0改为字母 ,则条件变为f(a-x)=f(a+x)，易证此时函数f(x)的图象关于直线x=a对称。这里的x=a可以看成 x=a+a[]2；再将条件进一步改变为f(a-x)=f(b+x)，则有函数f(x)的图象关于直线x=a+b[]2对称；偶函数中的这种类比推广在奇函数中也可以实现。对于奇函数f(x)的图象关于点(a+b[]2,0)对称，可见，若函数f(x)满足一些特殊关系式时，函数f(x)的图象就会有类似奇偶函数一样的对称性，能为我们解决实际问题带来方便。
又如，正弦函数具有周期性，表现在图象上就是图象的重复性，观察正弦函数的图象不难发现，正弦函数图象还具有多条对称轴和多个对称中心，并且相邻两条对称轴间的距离是周期的一半；相邻两个对称中心间的距离是周期的一半(如图5)所示。
正弦函数的这一性质可以类比推广到一般的函数中去，即：一般地，如果一个函数的图象具有两条或两条以上对称轴，或具有两个或两个以上对称中心，或者既有对称轴又有对称中心，则这个函数是周期函数；并且这个函数的周期为相邻两条对称轴间距离的两倍，也是相邻两个对称中心间距离的两倍，也可以是相邻的对称中心与对称轴间距离的4倍。利用这一性质，能够使一些问题的解答简化。
例3.定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)=－f(x),且在［－1，0］上是增函数，下面关于f(x)的判断：（1）f(x)是周期函数；（2）f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）f(x)在［0，1］上是增函数；（4）f(x)在［1，2］上是减函数；（5）f(2)=f(0) . 其中正确的判断是：。
解:由f(x)是定义在R上的偶函数知,函数f(x)的图象具有一条对称轴x=0；又由f(x+1)=－f(x)=－f(－x) =－f(0－x)可得函数f(x)的图象关于点A(1[]2,0)对称，由此可知该函数具有周期性，故选项(1)正确；另外，也可由已知条件f(x+1)=－f(x)得， f(x+2)= f［(x+1)+1］=－f(x+1)=－［－f(x)］=f(x)，这里不仅得出函数f(x)是周期函数，而且还知道周期为2；再由条件：函数f(x)在［-1,0］上是增函数知它在［0,1］上是减函数，可见点A(1[]2,0)和直线x=0为函数图象相邻的对称中心和对称轴，也可得出周期为2；故x=1必为函数图象的对称轴，所以，选项(2)成立；由周期性和对称性不难判断选项(3)和(4)错误；由周期为2立得选项(5)成立。
三、类比：寻找区别
例5.（1）已知函数的值域为［-1，4］，求a的值。
（2）已知函数对定义域内的任意x值，都有-1y4，求a的值。
分析：两题的含义不同：值域内的每个值都要有x与之对应；而题（2）中的不一定取遍［-1，4］，所以解法有区别。
题（1）利用判别式法及根与系数关系得；a=±4。
题（2）由恒成立，即恒成立
∴△a2-160,∴-4a4.
总之，类比思想方法的应用，无论是对发现问题，还是提供解决问题的思路，都起着很好的启发与促进作用。
参考文献：
［1］朱华伟，张景中．论推广．数学通报，2005，4．
［2］张志军．数学中形似质异的问题对．数学教学，2007，3.
（作者单位：云南昆明第一中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
[关键词]数学教学 思想方法 应用推广
数学家波利亚曾说“类比是一个伟大的引路人”。数学是一门逻辑非常严密的学科，数学对象之间有着紧密的联系，让学生发现数学对象间的联系并掌握发现的方法，是数学教学的重要一环。在普及素质教育和创新教育的背景下，减轻学生的学习负担就需要提高学习效率，而这就需要学生掌握一些常见的数学思想方法，从而找到一套高效的数学学习方法。教师可以利用类比推理的思想方法，引导学生进行猜测——提出新问题；探索——提出新思路；证明——发现新结论。以下结合实例作简要的说明。
一、归纳思路
学生在清楚一元二次方程的两根同号问题需用根与系数的关系后，对如下问题可能仍感困惑，可以让学生结合图像进行分析。
二、类比：推广结论
比如，奇偶函数图象对称性的类比推广大家非常熟悉，奇偶函数的图象具有对称性，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，奇偶函数的这种性质可以作类比推广。注意偶函数的解析式满足以下条件，即对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，图象关于直线x=0(y轴)对称，条件f(-x)=f(x)可以改造成为f(0-x)=f(0+x)，这说明在x=0的两侧与它距离相等的两点对应的自变量对应的函数值相等,此时对称轴为直线x=0；现将条件中的0改为字母 ,则条件变为f(a-x)=f(a+x)，易证此时函数f(x)的图象关于直线x=a对称。这里的x=a可以看成 x=a+a[]2；再将条件进一步改变为f(a-x)=f(b+x)，则有函数f(x)的图象关于直线x=a+b[]2对称；偶函数中的这种类比推广在奇函数中也可以实现。对于奇函数f(x)的图象关于点(a+b[]2,0)对称，可见，若函数f(x)满足一些特殊关系式时，函数f(x)的图象就会有类似奇偶函数一样的对称性，能为我们解决实际问题带来方便。
又如，正弦函数具有周期性，表现在图象上就是图象的重复性，观察正弦函数的图象不难发现，正弦函数图象还具有多条对称轴和多个对称中心，并且相邻两条对称轴间的距离是周期的一半；相邻两个对称中心间的距离是周期的一半(如图5)所示。
正弦函数的这一性质可以类比推广到一般的函数中去，即：一般地，如果一个函数的图象具有两条或两条以上对称轴，或具有两个或两个以上对称中心，或者既有对称轴又有对称中心，则这个函数是周期函数；并且这个函数的周期为相邻两条对称轴间距离的两倍，也是相邻两个对称中心间距离的两倍，也可以是相邻的对称中心与对称轴间距离的4倍。利用这一性质，能够使一些问题的解答简化。
例3.定义在（-∞，+∞）上的偶函数f(x)满足：f(x+1)=－f(x),且在［－1，0］上是增函数，下面关于f(x)的判断：（1）f(x)是周期函数；（2）f(x)的图象关于直线x=1对称；（3）f(x)在［0，1］上是增函数；（4）f(x)在［1，2］上是减函数；（5）f(2)=f(0) . 其中正确的判断是：。
解:由f(x)是定义在R上的偶函数知,函数f(x)的图象具有一条对称轴x=0；又由f(x+1)=－f(x)=－f(－x) =－f(0－x)可得函数f(x)的图象关于点A(1[]2,0)对称，由此可知该函数具有周期性，故选项(1)正确；另外，也可由已知条件f(x+1)=－f(x)得， f(x+2)= f［(x+1)+1］=－f(x+1)=－［－f(x)］=f(x)，这里不仅得出函数f(x)是周期函数，而且还知道周期为2；再由条件：函数f(x)在［-1,0］上是增函数知它在［0,1］上是减函数，可见点A(1[]2,0)和直线x=0为函数图象相邻的对称中心和对称轴，也可得出周期为2；故x=1必为函数图象的对称轴，所以，选项(2)成立；由周期性和对称性不难判断选项(3)和(4)错误；由周期为2立得选项(5)成立。
三、类比：寻找区别
例5.（1）已知函数的值域为［-1，4］，求a的值。
（2）已知函数对定义域内的任意x值，都有-1y4，求a的值。
分析：两题的含义不同：值域内的每个值都要有x与之对应；而题（2）中的不一定取遍［-1，4］，所以解法有区别。
题（1）利用判别式法及根与系数关系得；a=±4。
题（2）由恒成立，即恒成立
∴△a2-160,∴-4a4.
总之，类比思想方法的应用，无论是对发现问题，还是提供解决问题的思路，都起着很好的启发与促进作用。
参考文献：
［1］朱华伟，张景中．论推广．数学通报，2005，4．
［2］张志军．数学中形似质异的问题对．数学教学，2007，3.
（作者单位：云南昆明第一中学）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。