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数学概念是进行数学推理、判断的依据,是建立数学定理、法则、公式的基础,也是形成数学思想方法的出发点。因此,数学概念学习是数学学习的基础,数学概念教学是数学教学的一个重要的组织部分。在初中数学学习中,数学概念的建立是很重要的,这个恰恰又是一个教学的难点,因为中学生的抽象思维能力还较弱。笔者通过十多年的教学探索与实践,获得了一些数学概念课教学的心得与感悟,下面以“反比例函数的图像和性质”一课的教学设计为例,谈谈自己在这方面的一些设计与思考。
一、“反比例函数的图像和性质”的教学设计
复习引入:
问:反比例函数的解析式和定义域?
师:这节课,我们研究在直角坐标平面中反比例函数的图像和性质。
出示课题:18.3.2反比例函数的图像和性质(1)
(一)三个操作,确定观察实例
(2)描点
(3)连线
师:按照自变量从小到大,即按点从左到右,用光滑的曲线连接,并向两方伸展。所画图像向两方延伸,会不会与坐标轴相交?
小结:根据解析式,如果x所取值的绝对值越来越大,那么y的对应值的绝对值越来越小;而x所取值的绝对值越来越小(不为零),则y的对应值的绝对值越来越大。由此可知,图像向右或向左延伸,与x轴越来越靠近;图像向上或向下延伸,与y轴越来越靠近,但都不会与坐标轴相交。
操作2(师生同步画图)
类比操作1,画反比例函数 的图像。
(2)描点
(3)连线
师:对学生画图中出现的问题进行投影讲评,引导学生小结画反比例函数图像应注意的事项。
3.操作3(学生独立画图)
画反比例函数和 的图像。
(老师示范 自变量x的取值、描点)
(二)三次类比,分析本质属性
师:我们前面研究正比例函数是通过图像得到性质,这里我们同样通过函数图像来归纳反比例函数的性质。
问:正比例函数的图像是什么?那么反比例函数的图像是什么?(投影表格)
完成正反比例函数图像部分的填写
1.类比思考
问:正比例函数有哪些性质?
师:观察、比较上面四个函数的图像,类比正比例函数性质的研究,请各小组从“图像的位置分布、函数的增减性”几个方面讨论反比例函数有哪些性质。
讨论参考问题:
(1)函数的图像分别位于哪几个象限内?
(2)随着图像上的点的横坐标x逐渐增大,纵坐标y是怎样变化的?
(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?
2.类比归纳
反比例函数(k是常数,k)的性质:
(边归纳边完成表格)
※ 分组讨论,修正性质
师:以函数为例,若在第一象限的分支上取两点,如A(1,6),B(3,2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小;若在第三象限的分支上取两点,如C(-1,-6),D(-3,-2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小。但如果,分别在第一、三象限各取一点,如A(1,6),D(-3,-2),是否符合这一增减性规律?
生:应该加上“在每个象限内”或“在对于每个分支而言”或“当x>0或x<0”时,等等。
3.类比小结
对照表格,谈谈正反比例函数图像和性质的异同点。
(三)三层练习,进行巩固运用
(1)比例系数k分别是多少?
(2)图像分别在哪些象限?
(3)图像在每个象限内,y的值随x的值的变化而怎样变化?
课堂小结
谈谈你学习的收获和体会
(学生没有提到的部分,老师通过引导直接讲解,帮助学生进行小结)
师:同学们回答的很好,这节课我们不仅学习了画反比例函数的图像,还研究了它的性质,更重要的是我们感受了学习知识的方法。上节课我们学习了反比例函数的概念,这节课我们学习了如何画反比例函数的图像,归纳得出了反比例函数的性质,下节课我们将运用这些性质来解决一些问题。
二、对数学概念课教学设计的几点思考
“反比例函数图像和性质”的内容教学,学生在前面已经学习了正比例函数的解析式、图像和性质,反比例函数的解析式。本节课的教学重难点有两个:一是会用描点法画反比例函数的图像;二是结合图像分析归纳反比例函数的基本性质,并掌握这些性质。
反比例函数的图像和性质较正比例函数而言,较难操作画图,比较抽象,不易理解。这堂课力求在学生已有知识结构的基础上,让学生在动手操作、性质比较、自主探究的过程中不断地发现新知识,从而促进学生对有关反比例函数图像和性质的知识构建。
(一)注重两种数学概念学习形式的有机结合
数学概念学习主要有两种形式:一是数学概念形成,二是数学概念同化。数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,重点在于学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。但两者不是互相排斥的,在数学教学中可以把这两种数学概念学习形式有机的结合起来,常常能收到较好的效果。
本例中设计了三个操作、三次类比、三层练习,让学生经历了“观察操作实例——分析本质属性——修正本质属性——练习简单运用”等几个阶段,这里运用的是数学概念形成的学习形式。本例从具体的操作实例出发,对反比例函数从k>0和k<0的两种情况分类研究操作画图,归纳得出了反比例函数图像性质的“本质属性”,再通过具体实例函数 在第一象限的分支上的两点A(1,6),B(3,2)和第三象限的分支上的两点C(-1,-6),D(-3,-2),对性质进行检验与修正,最终概括得到反比例函数的性质。然而,在分析本质属性中,本课将正反比例函数的图像和性质进行三次类比,运用了数学概念同化的学习形式。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中,同化新概念。
通过数学概念形成和数学概念同化两种学习形式的结合运用,学生对“反比例函数的图像和性质”既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,提高了教学效率,使学生能够在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。
(二)注重数学思想方法的渗透
对数学而言,知识的发生过程,实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都是向学生渗透数学思想方法的极好机会。
本例的一个重难点是“理解和掌握反比例函数的图像和性质”。在性质归纳中设计了“类比思考”、“类比归纳”、“类比小结”三个环节,对正反比例函数进行充分的类比,让学生更好的体会利用函数图像来研究函数性质的研究方法,降低学习难度,对反比例函数的图像和性质的掌握会更好。
另外,本课将反比例函数分成“k>0”和“k<0”两种情况进行研究,渗透了分类讨论的数学思想。在反比例函数增减性的讲解中,借助图像和具体的点和坐标,再从具体到抽象,充分运用数形结合的数学思想方法,帮助学生更好的理解性质中的难点。
数学的概念、性质和定理等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的,并且不成体系散见于教材各章节中。在概念课的教學过程中,我们老师应注意把握好数学思想的渗透时机,寻找适合学生的认知发展水平的渗透方法。
(三)注重数学概念的过程教学
数学知识的发生、发展、形成和应用的过程,是课程目标内容,也是课程学习内容。在数学概念课教学中,要抓住数学概念的本质属性及其内部联系,结合学生的能力状况及知识水平,采用多种方式,组织学生参与概念的分析、概括、形成过程,变“成果教学”为“过程教学”。
例如在“反比例函数增减性”的教学中,不是直接给出“在每一象限内”这一前提,而是先由学生类比得出“k>0时,y的值随x的增大而减小;k<0时,y的值随x的增大而增大”这一不正确的结论。再给出具体的函数上的两点A(1,6),D(-3,-2),讨论是否符合这一增减性规律。最后,对得到的结论进行修正。
学生在这一讨论后,提出了不同的修正方案,有“对于每一个分支而言”、“对于每个象限”而言、“当x>0时”等。这一开放性的教学策略,为学生提供更多的机会和时间,让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结,使课堂成为学生能动地、创造性的生成过程,避免了把数学概念绝对化,让学生形成“正确的答案可能不止一个”的认识。
总之,数学概念的教学,既是数学教学的重要环节,又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延,使学生思考问题、推理证明有所依据,能够创见性地解决问题。概念教学的效果如何,将直接影响学生对数学知识的理解、掌握和应用。因此,在概念教学中,教师要根据课程标准对概念教学的具体要求,创造性地使用教材,努力优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。
参考文献:
[1]瑜文琪.要重视概念和知识的发展过程的教学.中学数学教学参考,2000.
[2]奚定华等.数学教学设计.华东师范大学出版社,2001.
[3]田中等.数学基础知识、基本技能教学研究探索.华东师范大学出版社,2003.
[4]杨林.数学概念课教学方法的探索.学科教学,2008.
一、“反比例函数的图像和性质”的教学设计
复习引入:
问:反比例函数的解析式和定义域?
师:这节课,我们研究在直角坐标平面中反比例函数的图像和性质。
出示课题:18.3.2反比例函数的图像和性质(1)
(一)三个操作,确定观察实例
(2)描点
(3)连线
师:按照自变量从小到大,即按点从左到右,用光滑的曲线连接,并向两方伸展。所画图像向两方延伸,会不会与坐标轴相交?
小结:根据解析式,如果x所取值的绝对值越来越大,那么y的对应值的绝对值越来越小;而x所取值的绝对值越来越小(不为零),则y的对应值的绝对值越来越大。由此可知,图像向右或向左延伸,与x轴越来越靠近;图像向上或向下延伸,与y轴越来越靠近,但都不会与坐标轴相交。
操作2(师生同步画图)
类比操作1,画反比例函数 的图像。
(2)描点
(3)连线
师:对学生画图中出现的问题进行投影讲评,引导学生小结画反比例函数图像应注意的事项。
3.操作3(学生独立画图)
画反比例函数和 的图像。
(老师示范 自变量x的取值、描点)
(二)三次类比,分析本质属性
师:我们前面研究正比例函数是通过图像得到性质,这里我们同样通过函数图像来归纳反比例函数的性质。
问:正比例函数的图像是什么?那么反比例函数的图像是什么?(投影表格)
完成正反比例函数图像部分的填写
1.类比思考
问:正比例函数有哪些性质?
师:观察、比较上面四个函数的图像,类比正比例函数性质的研究,请各小组从“图像的位置分布、函数的增减性”几个方面讨论反比例函数有哪些性质。
讨论参考问题:
(1)函数的图像分别位于哪几个象限内?
(2)随着图像上的点的横坐标x逐渐增大,纵坐标y是怎样变化的?
(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?
2.类比归纳
反比例函数(k是常数,k)的性质:
(边归纳边完成表格)
※ 分组讨论,修正性质
师:以函数为例,若在第一象限的分支上取两点,如A(1,6),B(3,2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小;若在第三象限的分支上取两点,如C(-1,-6),D(-3,-2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小。但如果,分别在第一、三象限各取一点,如A(1,6),D(-3,-2),是否符合这一增减性规律?
生:应该加上“在每个象限内”或“在对于每个分支而言”或“当x>0或x<0”时,等等。
3.类比小结
对照表格,谈谈正反比例函数图像和性质的异同点。
(三)三层练习,进行巩固运用
(1)比例系数k分别是多少?
(2)图像分别在哪些象限?
(3)图像在每个象限内,y的值随x的值的变化而怎样变化?
课堂小结
谈谈你学习的收获和体会
(学生没有提到的部分,老师通过引导直接讲解,帮助学生进行小结)
师:同学们回答的很好,这节课我们不仅学习了画反比例函数的图像,还研究了它的性质,更重要的是我们感受了学习知识的方法。上节课我们学习了反比例函数的概念,这节课我们学习了如何画反比例函数的图像,归纳得出了反比例函数的性质,下节课我们将运用这些性质来解决一些问题。
二、对数学概念课教学设计的几点思考
“反比例函数图像和性质”的内容教学,学生在前面已经学习了正比例函数的解析式、图像和性质,反比例函数的解析式。本节课的教学重难点有两个:一是会用描点法画反比例函数的图像;二是结合图像分析归纳反比例函数的基本性质,并掌握这些性质。
反比例函数的图像和性质较正比例函数而言,较难操作画图,比较抽象,不易理解。这堂课力求在学生已有知识结构的基础上,让学生在动手操作、性质比较、自主探究的过程中不断地发现新知识,从而促进学生对有关反比例函数图像和性质的知识构建。
(一)注重两种数学概念学习形式的有机结合
数学概念学习主要有两种形式:一是数学概念形成,二是数学概念同化。数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,重点在于学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。但两者不是互相排斥的,在数学教学中可以把这两种数学概念学习形式有机的结合起来,常常能收到较好的效果。
本例中设计了三个操作、三次类比、三层练习,让学生经历了“观察操作实例——分析本质属性——修正本质属性——练习简单运用”等几个阶段,这里运用的是数学概念形成的学习形式。本例从具体的操作实例出发,对反比例函数从k>0和k<0的两种情况分类研究操作画图,归纳得出了反比例函数图像性质的“本质属性”,再通过具体实例函数 在第一象限的分支上的两点A(1,6),B(3,2)和第三象限的分支上的两点C(-1,-6),D(-3,-2),对性质进行检验与修正,最终概括得到反比例函数的性质。然而,在分析本质属性中,本课将正反比例函数的图像和性质进行三次类比,运用了数学概念同化的学习形式。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中,同化新概念。
通过数学概念形成和数学概念同化两种学习形式的结合运用,学生对“反比例函数的图像和性质”既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,提高了教学效率,使学生能够在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。
(二)注重数学思想方法的渗透
对数学而言,知识的发生过程,实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都是向学生渗透数学思想方法的极好机会。
本例的一个重难点是“理解和掌握反比例函数的图像和性质”。在性质归纳中设计了“类比思考”、“类比归纳”、“类比小结”三个环节,对正反比例函数进行充分的类比,让学生更好的体会利用函数图像来研究函数性质的研究方法,降低学习难度,对反比例函数的图像和性质的掌握会更好。
另外,本课将反比例函数分成“k>0”和“k<0”两种情况进行研究,渗透了分类讨论的数学思想。在反比例函数增减性的讲解中,借助图像和具体的点和坐标,再从具体到抽象,充分运用数形结合的数学思想方法,帮助学生更好的理解性质中的难点。
数学的概念、性质和定理等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的,并且不成体系散见于教材各章节中。在概念课的教學过程中,我们老师应注意把握好数学思想的渗透时机,寻找适合学生的认知发展水平的渗透方法。
(三)注重数学概念的过程教学
数学知识的发生、发展、形成和应用的过程,是课程目标内容,也是课程学习内容。在数学概念课教学中,要抓住数学概念的本质属性及其内部联系,结合学生的能力状况及知识水平,采用多种方式,组织学生参与概念的分析、概括、形成过程,变“成果教学”为“过程教学”。
例如在“反比例函数增减性”的教学中,不是直接给出“在每一象限内”这一前提,而是先由学生类比得出“k>0时,y的值随x的增大而减小;k<0时,y的值随x的增大而增大”这一不正确的结论。再给出具体的函数上的两点A(1,6),D(-3,-2),讨论是否符合这一增减性规律。最后,对得到的结论进行修正。
学生在这一讨论后,提出了不同的修正方案,有“对于每一个分支而言”、“对于每个象限”而言、“当x>0时”等。这一开放性的教学策略,为学生提供更多的机会和时间,让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结,使课堂成为学生能动地、创造性的生成过程,避免了把数学概念绝对化,让学生形成“正确的答案可能不止一个”的认识。
总之,数学概念的教学,既是数学教学的重要环节,又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延,使学生思考问题、推理证明有所依据,能够创见性地解决问题。概念教学的效果如何,将直接影响学生对数学知识的理解、掌握和应用。因此,在概念教学中,教师要根据课程标准对概念教学的具体要求,创造性地使用教材,努力优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。
参考文献:
[1]瑜文琪.要重视概念和知识的发展过程的教学.中学数学教学参考,2000.
[2]奚定华等.数学教学设计.华东师范大学出版社,2001.
[3]田中等.数学基础知识、基本技能教学研究探索.华东师范大学出版社,2003.
[4]杨林.数学概念课教学方法的探索.学科教学,2008.