向量是一种工具,它与其它数学分支的联系十分密切,应用非常广泛。兼具代数和几何的两重性,是代数和几何的完美结合,尤其是在解决代数问题时具有独到的优势, 解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题。以下简要分析向量法在几个方面的应用:
　　一、求最值
　　1. 求函数y=■+■的最小值。
　　解:函数的定义域为R。原函数可化为y=■+■。设■=(x+1,1),■=(x-1,-1),因为|■-■|≤|■|+|■|,所以2■≤y,即y=■+■的最小值为2■。
　　注:|■|-|■|≤|■±■|≤|■|+|■|在求距离之和(差)的最值,不等式证明中很有用,但应注意等号成立的条件。另外,在构造向量求最值时,一定要调整好向量中坐标的符号,保证在运算时只保留常数。
　　2. 求函数y=5■+■的最大值。
　　解:函数的定义域为[1,10],设■=(5,1),■=(■,■),因为|■·■|≤|■|·|■|,所以5■+■≤■■=3■,当且仅当5■=■,即x=■∈[1,10]时取等号,故函数y=5■+■的最大值为3■。
　　注:|■·■|≤|■|·|■|也常用来求最值,证明不等式,等号成立的条件为两向量的夹角为0°。
　　3. 已知4x+3y+6z=12,求x2+y2+z2的最小值。
　　解:设■=(4,3,6),■=(x,y,z),则由|■·■|≤|■|·|■|,得|4x+3y+6z|≤■·■,所以x2+y2+z2≥■,即x2+y2+z2的最小值为■。
　　二、证明不等式
　　4.设a、b、c、d均为正数,求证■+■≥■。
　　证明:构造向量■=(a,b),■=(c,d),由|■|+|■|≥|■+■|,得
　　■+■≥■。
　　注:虽然证明不等式的方法很多,但某些含有乘方之和或乘方之积的不等式,应用向量证明效果更显著。本题条件a、b、c、d均为正数改为实数所证不等式也成立。利用|■|+|■|≥|■±■|还可以推出■+■≥■,■+
　　■≥■。
　　5. 若a+b+c=1,求证:a2+b2+c2≥■。
　　证明:构造向量■=(a,b,c),■=(b,c,a),■=(c,a,b)。
　　则■+■+■=(a+b+c,b+c+a,c+a+b)=(1,1,1),于是由|■|+|■|+|■|≥|■+■+■|,有3■≥■,得a2+b2+c2≥■。
　　6. 设a,b为不等的正数,求证(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2。
　　证明:构造向量■=(a2,b2),■=(a,b),则(a3+b3)2=(■·■)2≤ |■|2|■|2=(a4+b4)(a2+b2),因为a,b为不相等的正数,所以■≠λ■,即θ≠0,π,所以(a4+b4)(a2+b2)>(a3+b3)2。
　　三、求值
　　7.设a,b,c,d,x,y∈R,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by
　　+cz=30。求■的值。
　　解:构造■=(5x,5y,5z),■=(6a,6b,6c),则已知条件化为■2+■2=2■·■,即(■-■)2=0,于是a=■x,b=■y,c=■z,所以■=■。
　　注:构造向量时,将所有条件联系起来是难点。
　　8.已知A∈(0,■),B∈(-■,0),且满足cosA-sinB+
　　sin(A+B)=■,求A和B的值。
　　解:因为cosA-sinB+sin(A+B)=■,所以sinAcosB+cosA(1+sinB)=■+sinB。
　　设■=(sinA,cosA),■=(cosB,1+sinB),则■·■=sinAcosB+
　　cosA(1+sinB)=■+sinB,而|■|=1,|■|=■,且|■·■|≤|■|·|■|,所以|■+sinB|≤■,整理得(sinB+■)2≤0,即sinB=-■,由B∈(-■,0),得B=-■。代入原式得A=■。
　　四、解方程
　　9.解方程x■+■x■=4。
　　解:要使方程有意义,须-■■≤x≤■■,且x>0。
　　设■=(x,■x),■=(■,■),■与■的夹角为α,则由■·■=|■|·|■|cosα=x1x2+y1y2,得x■+■x■=■·■cosα=4■·■cosα=4。
　　所以■cosα=1,因为0≤■≤1,cosα≤1,所以■=1,即x=1或x=-1(舍去),所以原方程的解为x=1。
　　向量作为一种工具在数学方面的应用是非常之广泛的,我们只有不断积累、不断总结,才能充分挖掘和发挥向量法的应用价值,才能让向量法作用发挥得淋漓尽致。