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摘 要 双语教学要保证使学生达到中文授课相同的知识和能力目标，绝不能本末倒置。在此基本理念下衡量教学效果，应该看是否能促使学生向“学习金字塔”的更高层级攀爬。为此，比较、发现并在教学中融合中文教材严格、完备的特点及英文教材开放、应用性强的特色，设计出有助于最大限度拓展学生视野并提升学习能力的教学模式。
关键词 双语教学；教材；学习金字塔；微积分；MATLAB
中图分类号：G642 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2018）10-0088-03
1 背景与双语教学目的
教育部在《关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的若干意见》（教高〔2001〕4号）中明确要求，高校要积极开展公共课和专业课双语教学的研究和实践。与专业课不同，由于从条件、逻辑到结论大多可用通用符号和公式加以表述，大大降低了对学生英语基础的要求，客观上为在微积分教学中大量应用英文提供了很高的可行性。
上海对外经贸大学为适应经济全球化趋势，在上海市教委鼎力支持下，实施以实验班形式展开的“全球通用商科人才”培養计划。其中，微积分双语教学亦在其中。
在我国，高校对双语教学目的有着不同的理解，笔者赞同并实践以下看法，即双语教学的目的有三：
1）使学生达到中文授课相同的知识和能力目标；
2）有助于学生大量掌握英文专业词汇，提高英语水平；
3）提高学生的综合素质。
每门双语课都必须达到第一个基本目的；第二个目的则需通过一系列双语课程共同达到；第三个目的显然是最终目的，需要所有双语教学师生乃至教育部门共同努力才可能达到[1]。
2 课程设计
学生需求分析
1）定量分析是现代商业世界中最重要的工具之一。
2）微积分是诸多后续课程的基础，如概率论、西方经济学、计量经济学等。
3）本科生毕业后的出路无非三条，即出国深造、考研和直接工作，由于实验班学生对自身的期望值普遍较高，前两条出路对他们的吸引力更大，故需要扎实的数学基础。
课程目标
1）使用英文教材，虽然有助于数学和英语学习同步进行，但学好数学是本课程主要任务，因此，当与课时数发生冲突时，数学优先绝不动摇。
2）衡量教学效果，应该看是否能促使学生向图1所示的“学习金字塔”[2]的更高层级攀爬。
3 中英文教材的比较与分析
比较对象分别是号称美国最有影响力的、被大部分教材所仿效[3]的标准教科书《托马斯微积分》与国内最流行的同济大学的《高等数学》。
内容与体系的比较 若从字面和内容直接进行比对，两本教材内容和所含重要知识点差异不大，从纯数学角度看这非常自然[4]，因为这些内容本来就是前人在处理相关实际问题中创立的数学理论体系和方法，是经典的微积分知识。而知识点的顺序和逻辑体系略有差异，如可能是希望提供一个难度方面的缓冲，英文教材第二章讲导数，但对数、指数和反三角函数的导数到第六章才出现；其次，内容侧重也有不同，英文教材在多元微积分部分明显侧重向量和场论的概念。
英文教材的特点
1）时代性。虽然微积分体现了人类智慧的最伟大成就之一，但高等教育处在大众化阶段的事实提醒人们，对微积分课程的任何讨论都应置于该语境下。既然不是为数学专业学生设计，因此较少理论推导，不少地方论述不甚严格、但在数学上保证没有谬误，可以体现将微积分学作为通识教育组成之一、避免过高不及格率的贴近学生与时代的特点。此外，面对学生习惯使用计算机的时代，教材在引入概念、公式和定理时，一般先给出数值计算的近似结果并尽量给出几何直观说明，最后才给出较严格叙述。这样做可以体现数学理论与计算机应用的有机结合。具体来说，本教材注重学生使用图形计算器与数学软件如Mathematica和MATLAB进行直观学习的学习方法，迎合了变化的世界和当代学生的习惯。
2）开放性。与中文教材不足1800道习题相比，英文教材大约有6000道习题并包含大量应用性问题，且教材本身所讲述的知识点特别是解题技巧并不足以使学生借以独立完成全部习题。这就需要学生必须借助外力，如与教师的交流、查找参考书籍和辅助资料方能解决。这一方面可以在客观上刺激大多数学生的读书主动性，将要求从“replay
the known”变为“explore the unknown”，是对能力的培养，更重要的是特别有利于优秀学生向“学习金字塔”的最高层级进军；但也容易造成“更适合于优秀学生使用”的结果。
3）应用性。微积分学的显著特征之一，是核心内容相当稳定，但应用面越来越广。与中文教材习惯遵循纯数学线条处理各种知识点，仅仅将应用问题作为举例说明之特点相比，英文教材强调应用导向的特点十分明显：凡是能用微积分解决问题的地方，都尽量穿插应用问题，甚至哪怕只是一个简单的概念，也会告诉学生可以用在什么地方；且不少数据源自实际，真实感强，凸显了微积分应用面广的特点，甚至在预备知识章节中就早早提出回归方程的建立。在此过程中，还表现出以下三种特色：
①着重训练如何把实际问题用数学语言翻译为数学问题，再把数学问题得到解决后的结论或成果翻译成常人能懂的语言，这既有益于提高学生学习微积分的兴趣和积极性，亦帮助学生逐渐深刻理解数学建模的思想和方法；
②几乎每个习题组都包含鼓励甚至迫使学生需解析和数值地思考的具体问题，把解决问题的方法和技能的训练作为重点，有助于强化学生对微积分工具性的认识；
③不是从数学角度，如从多元函数导数、曲线和曲面积分应用的例子角度引入梯度、旋度等场论概念，而是从场论与应用问题关系、解决实际问题需要场论作为应用工具的角度，引入相应的多元微分与积分概念，这在强化微积分应用性认识的同时，有助于学生提升空间思维能力，有高屋建瓴之妙。 4）难度略低。缺少或部分缺少诸如利用无穷小等价代换计算极限、计算极限、两个重要的极限存在准则、导数定义各种变形、分段函数连续性与求极限问题、微分中值定理（相关内容不及中文教材的一半）、积分变限函数导数、较复杂的积分技巧等内容，使得英文教材在数学知识点与难度两方面无法适应目前中国学生的考研要求。特别是在严密性和技巧性方面的论述不如中文教材那么完备，这不利于培养大多数学生的分析能力，不利于他们向“学习金字塔”第四层级攀爬。
比较后的分析 在两年的教学实践中，更体会到中英文教材混合使用的优点：面对自小习惯于数学演绎和推理，不从逻辑上讲清楚道理和依据就不依不饶的中国学生，单纯地使用英文教材并过多依赖图形说明问题的做法，与中国学生的习惯和对数学的理解相差太大。同时，也让教师深刻体会到中英文教材表象差异后隐藏的培养目标和教学理念之间的深刻差异：中文教材知识点密集，不乏技巧性内容，体系相对封闭，若能仔细阅读教材，辅以用功训练，顺利完成其后的练习并应对考试不是很困难的事；英文教材的开放性则决定了若将阅读范围局限于单一教材，顺利完成技巧性高的练习题并不容易。这其实对学生提出更高要求：没有足够的理解力和思考力，没有将知识点融会贯通的能力，没有寻找适当外力帮助的能力，真正学好并不容易。“随着美国学习微积分的学生人数急剧增加，大量学生不能及格”[3]的现象从侧面证明了这一判断。
所以可以认为，中文教材教学理念和培养目标是使学生具有大致整齐的水平；英文教材侧重培养独立思考、解决问题的能力，鼓励“杰出”，学生水平分化的可能性较高。若分别单独使用两种教材，教学效果很可能表现为：对前5%顶尖人才的培养，英文体系会明显较强；但对能力在大约后80%的中低端人才培养方面，中文体系当然更强些。
基于以上分析，加之数学本就是通用语言，在实验班教学实践中交叉、统筹使用中、英文教材无疑是合理的：若出国，权威的教材《托马斯微积分》有助于证明他们的数学能力；若在国内读研，同济大学的《高等数学》完全可以满足考研大纲的要求。具体来说，是以中文教材为经线，英文教材为纬线，尽可能发挥中文教材数学线条清晰、英文教材应用范围广的各自优点，帮助学生在“学习金字塔”的攀升中脚步更稳。这样的做法需要教师精心设计教学模式和提高课堂授课效率，同时会增加学生学习负担。实验班优质生源为落实上述做法提供了保证。
4 教学模式
在调研其他高校类似课程经验、教训的基础上，确定了“宁愿牺牲英语要求也不降低数学要求”的原则，采取以下实验性做法。
融合中英文教材各自的优点，坚持从直观和应用需要的线条引入概念和结论，同时不牺牲严格的解析证明。作业则涵盖中英文两本教材的典型内容。
学生若依赖突击复习应对课程考核，学习效果往往不扎实。坚持强化过程管理：每学期测验四次，试题全部来自历年考研题，成绩占总分的40%。
为便于定量比较教学效果，期末试卷与本校相同年级中数学能力最强（A级）、直接使用中文版同济大学《高等数学》教材的一批学生所用的试卷除语言不同外，内容与要求完全一致。也就是说，数学知识和能力要求不降低，语言要求提高。考试结果表明：双语教学班的成绩优于其他班级。学生评教结果也始终保持“优秀”。
优秀学生通常具备很强的目的性（如一定要当工程师）、自我指导性（给他明确的资料就会自己钻研）和自我激发性（学得越好，反而越不满足甚至越焦虑）。本科学生毕业后不可能都做科研，实验班高强度的数学要求，同时加上专业外语要求，除非有足够的心理和知识准备，外加个人努力，并不适合大多数学生。此外，对在授课过程中英文使用比例多少最为合适这一问题，仍在探索中。
参考文献
[1]马新生.高等数学双语教学的研究和实践[J].高等数学研究，2005，8（2）：61-64.
[2]Bloom B S， Engelhart M D， Furst E J， et al. Taxo-nomy of educational objectives： the classification of
educational goals： Handbook I， Cognitive Domain[M].New York， Longmans， Green，1956.
[3]伏利德勒.美國的微积分教学：1940—2004[J].柴俊，等，译.高等数学研究，2005，8（3）：6-11，15.
[4]叶赛英，胡月.国内外两本微积分教材的比较与启示[J].大学数学，2007，23（1）：187-190.
[5]张秀平，郭玉峰，郇中丹.浅论微积分的双语教学[J].教育理论与实践，2007（S1）：121-122.
关键词 双语教学；教材；学习金字塔；微积分；MATLAB
中图分类号：G642 文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2018）10-0088-03
1 背景与双语教学目的
教育部在《关于加强高等学校本科教学工作提高教学质量的若干意见》（教高〔2001〕4号）中明确要求，高校要积极开展公共课和专业课双语教学的研究和实践。与专业课不同，由于从条件、逻辑到结论大多可用通用符号和公式加以表述，大大降低了对学生英语基础的要求，客观上为在微积分教学中大量应用英文提供了很高的可行性。
上海对外经贸大学为适应经济全球化趋势，在上海市教委鼎力支持下，实施以实验班形式展开的“全球通用商科人才”培養计划。其中，微积分双语教学亦在其中。
在我国，高校对双语教学目的有着不同的理解，笔者赞同并实践以下看法，即双语教学的目的有三：
1）使学生达到中文授课相同的知识和能力目标；
2）有助于学生大量掌握英文专业词汇，提高英语水平；
3）提高学生的综合素质。
每门双语课都必须达到第一个基本目的；第二个目的则需通过一系列双语课程共同达到；第三个目的显然是最终目的，需要所有双语教学师生乃至教育部门共同努力才可能达到[1]。
2 课程设计
学生需求分析
1）定量分析是现代商业世界中最重要的工具之一。
2）微积分是诸多后续课程的基础，如概率论、西方经济学、计量经济学等。
3）本科生毕业后的出路无非三条，即出国深造、考研和直接工作，由于实验班学生对自身的期望值普遍较高，前两条出路对他们的吸引力更大，故需要扎实的数学基础。
课程目标
1）使用英文教材，虽然有助于数学和英语学习同步进行，但学好数学是本课程主要任务，因此，当与课时数发生冲突时，数学优先绝不动摇。
2）衡量教学效果，应该看是否能促使学生向图1所示的“学习金字塔”[2]的更高层级攀爬。
3 中英文教材的比较与分析
比较对象分别是号称美国最有影响力的、被大部分教材所仿效[3]的标准教科书《托马斯微积分》与国内最流行的同济大学的《高等数学》。
内容与体系的比较 若从字面和内容直接进行比对，两本教材内容和所含重要知识点差异不大，从纯数学角度看这非常自然[4]，因为这些内容本来就是前人在处理相关实际问题中创立的数学理论体系和方法，是经典的微积分知识。而知识点的顺序和逻辑体系略有差异，如可能是希望提供一个难度方面的缓冲，英文教材第二章讲导数，但对数、指数和反三角函数的导数到第六章才出现；其次，内容侧重也有不同，英文教材在多元微积分部分明显侧重向量和场论的概念。
英文教材的特点
1）时代性。虽然微积分体现了人类智慧的最伟大成就之一，但高等教育处在大众化阶段的事实提醒人们，对微积分课程的任何讨论都应置于该语境下。既然不是为数学专业学生设计，因此较少理论推导，不少地方论述不甚严格、但在数学上保证没有谬误，可以体现将微积分学作为通识教育组成之一、避免过高不及格率的贴近学生与时代的特点。此外，面对学生习惯使用计算机的时代，教材在引入概念、公式和定理时，一般先给出数值计算的近似结果并尽量给出几何直观说明，最后才给出较严格叙述。这样做可以体现数学理论与计算机应用的有机结合。具体来说，本教材注重学生使用图形计算器与数学软件如Mathematica和MATLAB进行直观学习的学习方法，迎合了变化的世界和当代学生的习惯。
2）开放性。与中文教材不足1800道习题相比，英文教材大约有6000道习题并包含大量应用性问题，且教材本身所讲述的知识点特别是解题技巧并不足以使学生借以独立完成全部习题。这就需要学生必须借助外力，如与教师的交流、查找参考书籍和辅助资料方能解决。这一方面可以在客观上刺激大多数学生的读书主动性，将要求从“replay
the known”变为“explore the unknown”，是对能力的培养，更重要的是特别有利于优秀学生向“学习金字塔”的最高层级进军；但也容易造成“更适合于优秀学生使用”的结果。
3）应用性。微积分学的显著特征之一，是核心内容相当稳定，但应用面越来越广。与中文教材习惯遵循纯数学线条处理各种知识点，仅仅将应用问题作为举例说明之特点相比，英文教材强调应用导向的特点十分明显：凡是能用微积分解决问题的地方，都尽量穿插应用问题，甚至哪怕只是一个简单的概念，也会告诉学生可以用在什么地方；且不少数据源自实际，真实感强，凸显了微积分应用面广的特点，甚至在预备知识章节中就早早提出回归方程的建立。在此过程中，还表现出以下三种特色：
①着重训练如何把实际问题用数学语言翻译为数学问题，再把数学问题得到解决后的结论或成果翻译成常人能懂的语言，这既有益于提高学生学习微积分的兴趣和积极性，亦帮助学生逐渐深刻理解数学建模的思想和方法；
②几乎每个习题组都包含鼓励甚至迫使学生需解析和数值地思考的具体问题，把解决问题的方法和技能的训练作为重点，有助于强化学生对微积分工具性的认识；
③不是从数学角度，如从多元函数导数、曲线和曲面积分应用的例子角度引入梯度、旋度等场论概念，而是从场论与应用问题关系、解决实际问题需要场论作为应用工具的角度，引入相应的多元微分与积分概念，这在强化微积分应用性认识的同时，有助于学生提升空间思维能力，有高屋建瓴之妙。 4）难度略低。缺少或部分缺少诸如利用无穷小等价代换计算极限、计算极限、两个重要的极限存在准则、导数定义各种变形、分段函数连续性与求极限问题、微分中值定理（相关内容不及中文教材的一半）、积分变限函数导数、较复杂的积分技巧等内容，使得英文教材在数学知识点与难度两方面无法适应目前中国学生的考研要求。特别是在严密性和技巧性方面的论述不如中文教材那么完备，这不利于培养大多数学生的分析能力，不利于他们向“学习金字塔”第四层级攀爬。
比较后的分析 在两年的教学实践中，更体会到中英文教材混合使用的优点：面对自小习惯于数学演绎和推理，不从逻辑上讲清楚道理和依据就不依不饶的中国学生，单纯地使用英文教材并过多依赖图形说明问题的做法，与中国学生的习惯和对数学的理解相差太大。同时，也让教师深刻体会到中英文教材表象差异后隐藏的培养目标和教学理念之间的深刻差异：中文教材知识点密集，不乏技巧性内容，体系相对封闭，若能仔细阅读教材，辅以用功训练，顺利完成其后的练习并应对考试不是很困难的事；英文教材的开放性则决定了若将阅读范围局限于单一教材，顺利完成技巧性高的练习题并不容易。这其实对学生提出更高要求：没有足够的理解力和思考力，没有将知识点融会贯通的能力，没有寻找适当外力帮助的能力，真正学好并不容易。“随着美国学习微积分的学生人数急剧增加，大量学生不能及格”[3]的现象从侧面证明了这一判断。
所以可以认为，中文教材教学理念和培养目标是使学生具有大致整齐的水平；英文教材侧重培养独立思考、解决问题的能力，鼓励“杰出”，学生水平分化的可能性较高。若分别单独使用两种教材，教学效果很可能表现为：对前5%顶尖人才的培养，英文体系会明显较强；但对能力在大约后80%的中低端人才培养方面，中文体系当然更强些。
基于以上分析，加之数学本就是通用语言，在实验班教学实践中交叉、统筹使用中、英文教材无疑是合理的：若出国，权威的教材《托马斯微积分》有助于证明他们的数学能力；若在国内读研，同济大学的《高等数学》完全可以满足考研大纲的要求。具体来说，是以中文教材为经线，英文教材为纬线，尽可能发挥中文教材数学线条清晰、英文教材应用范围广的各自优点，帮助学生在“学习金字塔”的攀升中脚步更稳。这样的做法需要教师精心设计教学模式和提高课堂授课效率，同时会增加学生学习负担。实验班优质生源为落实上述做法提供了保证。
4 教学模式
在调研其他高校类似课程经验、教训的基础上，确定了“宁愿牺牲英语要求也不降低数学要求”的原则，采取以下实验性做法。
融合中英文教材各自的优点，坚持从直观和应用需要的线条引入概念和结论，同时不牺牲严格的解析证明。作业则涵盖中英文两本教材的典型内容。
学生若依赖突击复习应对课程考核，学习效果往往不扎实。坚持强化过程管理：每学期测验四次，试题全部来自历年考研题，成绩占总分的40%。
为便于定量比较教学效果，期末试卷与本校相同年级中数学能力最强（A级）、直接使用中文版同济大学《高等数学》教材的一批学生所用的试卷除语言不同外，内容与要求完全一致。也就是说，数学知识和能力要求不降低，语言要求提高。考试结果表明：双语教学班的成绩优于其他班级。学生评教结果也始终保持“优秀”。
优秀学生通常具备很强的目的性（如一定要当工程师）、自我指导性（给他明确的资料就会自己钻研）和自我激发性（学得越好，反而越不满足甚至越焦虑）。本科学生毕业后不可能都做科研，实验班高强度的数学要求，同时加上专业外语要求，除非有足够的心理和知识准备，外加个人努力，并不适合大多数学生。此外，对在授课过程中英文使用比例多少最为合适这一问题，仍在探索中。
参考文献
[1]马新生.高等数学双语教学的研究和实践[J].高等数学研究，2005，8（2）：61-64.
[2]Bloom B S， Engelhart M D， Furst E J， et al. Taxo-nomy of educational objectives： the classification of
educational goals： Handbook I， Cognitive Domain[M].New York， Longmans， Green，1956.
[3]伏利德勒.美國的微积分教学：1940—2004[J].柴俊，等，译.高等数学研究，2005，8（3）：6-11，15.
[4]叶赛英，胡月.国内外两本微积分教材的比较与启示[J].大学数学，2007，23（1）：187-190.
[5]张秀平，郭玉峰，郇中丹.浅论微积分的双语教学[J].教育理论与实践，2007（S1）：121-122.