论文部分内容阅读
【摘 要】高中数学课堂教学的核心是学生思维能力的培养， 只有学生思维效率的提高，才能提高课堂教学效率，也才能使每个学生得到充分自主的发展。本文就在课堂中如何引导学生展开丰富联想、训练发散思维、启发学生深入探究、最终实现飞跃，谈谈自己几点粗浅的认识。
【关键词】高中数学；引领思维；数学语言；联想；数学思想；归纳
研究背景：经常有学生这样说：“高中理科数学，总是在考试时想不到那里去，看了答案后才明白，但换个题又想不到那里。”还有一种声音：“高中每次数学考试都太难了，都做不完”这种现象主要原因在于学生的思维效率不高，基于此，如何在高中数学课堂教学将触角延伸到学生的思维层次，提高学生思维效率，使学生在解题中能迅速地想到解题思路，缩短解题时间从而提高数学成绩，进而提高学生的数学素养。
思维效率，简言之就是在思维过程中的投入与产出之比。它是高中生对数学思维过程及其结果的一种综合评定，是质与量的统一。从量上讲它是对高中学生解题速度的一种综合测评；从质上讲，它是对高中学生思维结果的质量如严密性、深度、广度、正确度的评价。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维和创新能力方面不可替代的作用。”著名教育心理学家布鲁纳指出：数学教学的核心是“思维”的教学，数学的核心价值是发展人的思维，使人变聪明，思维更加严密。那么在高中数学教学中，如何提高学生的思维效率，引领学生学会由“想不到”迅速变为“想到”解题的明确方向，找到更加简洁的思路，笔者认为高中数学教学中主要引领学生学会以下几种思维习惯：
1.引领学生养成审题时对三种数学语言的转化的习惯
从数学语言的表达形式主要分为文字语言、符号语言和图式语言三种，准确把握文字语言、符号语言和图式语言的特点，灵活地对三种数学语言进行转换，是提高数学解题能力的关键。笔者认为这是数学思维的发展的起点。因此在教学时要引领学生对三种数学语言及其它们之间的关系所表达的含义进行认真分析、仔细推敲，实现三种语言进行转化。这在教学上是常规现象，教师都要处处时时引导学生进行语言的转化，在此不过多累述。
2.引导学生产生有价值的联想
不少高中生对数学的基本定理、公理、公式及性质都烂熟于胸，但解题时不知从何入手，其重要原因是不能对题意进行合理、全方位的联想。因此有必要引导学生学会产生有价值的联想，找到解题突破口。
2.1审清题意的显性条件，联想发现有价值的隐性条件
善于根据题意的显性条件去联想与其有关的定理、定义及性质，从而转化得到一些有利于解题的隐性条件，并要观察结论的形式特征，尽量把联想到的向结论靠拢。
例1：已知双曲线■-■=1（a，b>0），过x轴上点P的直线L与双曲線的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN。若∠MPO=60■，∠MNQ=30■，则该双曲线的离心率为_____。
师：由题“已知双曲线”想到什么？
生1：双曲线的定义、性质。
师：根据题意，我们要先怎么做？
生：数形结合（文字语文转化成图形语言）
师：由“∠MPO=60■，∠MNQ=30■，”想到什么？
生2：解三角形；
生3：角度转化为斜率。
师：“则该双曲线的离心率”怎么求？
生4：找出一个关于a，b，c的“齐次式”。
师：你们的联想哪个较有价值？
生5：生1联想的定义没价值，因为题目与焦点无关；应是生1提到的性质中的双曲线的中心对称性较有价值。生2的解三角形MNQ有角没边，解不了三角形，应是生3提到的角度与斜率有关。可以知道K■=-■。
生6：“点o是MN的中点”，可以想到构造△MPQ中位线。取MN的中点G，连OG，如图（2）可以得到∠OGM=∠MNQ=30■从而可得到∠POG=∠OGM=∠MNQ=30■即得K■=-■。由“点差法”。易得：K■·K■=1，∴e■=1+■=2。
当然教师也可以再适当地发散学生的思维进行变式练习，将双曲线变为椭圆或圆等。
2.2引领学生学会“执果索因，寻根求源”的思维方式
分析和解答数学问题时“不要忘记为何出发”，也就是要从结论出发，逐步地追溯使结论成立的条件，反映在解法上就是分析法，也称之为逆推法。笔者认为“执果索因”的方法不仅是数学解题的思维方式，也是生活中的思维方式，它能使人更聪明。培养学生的创造力。
例2：证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
已知：α⊥β，a α，α∩β=b，a⊥b，求证：a⊥β。
分析：要证明这个面面垂直的性质定理，不少高一学生会无从下手，教师可以这样引导。
师：如何证α⊥β？
生：只需证a垂直β内的两条相交直线。
师：题目只有a⊥b，怎么办？ 生：创造一条。
师：如何创造这一条？还需要关注题目的哪个条件？
生：由α与β所成的二面角的平面角为90■，过a和b的交点O
在β面内做b的垂线c，由二面角的定义可得a⊥c如图3所示，进而得到证明。
3.引领学生学习并运用数学的思想分析问题
高考解题需要灵活运用数学思想方法才能突破。教学的时候应当引导学生先认识数学的七大重要思想，如什么是函数与方程、分类与整合、数形结合、转化与化归、特殊与一般、有限与无限这七大思想的意义。此处重点举例函数与方程的思想和转化归的思想在课堂教学中的渗透。 3.1重视渗透函数的思想，提升学生的思维效率
函数与方程思想就是通过函数问题与方程问题相互转化，从而解决问题的一种思维方式。简单的讲就是“设量、找等量关系、消元、构建目标函数、用函数的图象或性质分析解决问题。”，引导学生应用思想方法分析，让学生的思维多点开花，迅速找到解题最佳途经。
例3：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A=■，若D为BC上一点，且A=■且■=2■，b=3，AD=■，求a。
师：此题应当如何分析呢？
生1：求值问题求范围问题应当用函数与方程的思想来分析解题。
生2：以数解形的数形结合的思想，题目有A=■即可建立適当的坐标系。
师：除了这两种思想，那还有没有其它联想呢？
生3：由题意中有向量、模长和角度，可选择用向量基底表示来解此题。
生4：点D为BD的三等分点，想到做辅助线，构造两个三角形相似。
师：同学们分别用这几种思想对比下，时间有限，你们认为哪种方法最快呢？大家试试。
思路1：函数与方程的思想的应用
生5：题目中角A=■且■=2■，b=3，AD=■，为了求出目标需要知道|AB|。
第一步：设量：可设|AB|=C，但用公式时还需要进行设BD=x则BD=2x，BC=3x。
第二步：找两个等量关系：有三个等量，找三个等量关系。在△ABD，和△ABC中，
由余弦定理cosB=■=■得：3x■-c■+27=0 （1）
或者由cos∠BDA=-cos∠CDA=■=-■得3x■-c■+27=0 （1）
在△ABC中，由余弦定理得：9x■=c■+9-3C （2）
第三步：消元：联立（1）、（2）可求出a=3x=3■。
当然还可以有以下思路如：
思路2：数形结合，以数辅形
以A为原点，以AB所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，如图7所示：设B（x，0），易求出C坐标并用x表示点D的坐标由|AD|=■得x=6，在△ABC中，由余弦定理得a=BC=3■。
思路3：联想到向量法
以■，■为基底，则■=■■+■■又■■=21，得：■AB■+■（AB）+1=21，可得■=6。
思路4：初中的补割法
如图8，过D作DE//AC交AB于E，通过相似比，可发现∠EDB=∠ACB=90■得解。
3.2引领学生善于化“陌生”为“熟悉”，培养学生转化与化归的思维方式
在高中数学解题中所用到的数学思想其实归根结底都是化归思想因此化归思想是高中阶段数学思想的精髓。
例4：（2015全国Ⅰ卷理12）设函数f（x）=e■（2x-1）-ax+a，其中a≤1，若存在唯一的整数x■，使得f（x■）<0，则a的取值范围是___。
分析1：考虑转化为e■（2x-1） 分析2：考虑用较为熟悉的“参数分离法”技巧，分离成一个可通过求导画出草图的定曲线h（x）=■和参数a，但须要进行分类讨论。
略解1：设g（x）=e■（2x-1），h（x）=a（x-1），由题知存在唯一的整数x■，使得g（x■）在直线h（x）的下方.易画出g（x）的草图如图9所示，求出g（x）■=-2e■，且g（x）过点A（0，-1），B（-1，-■）。直线h（x）恒过点P（1，0），由图象可得故K■≤a 略解2：当x>1时，问题转化为存在唯一的整数x■，使得h（x■）■ 可得函数h（x）在（1，+∞）的草图如图10所示，可得h（x）■=h（■）=4e■>1，舍去
当x=1时，h（1）=e>1，舍去。当x<1时，问题转化为存在唯一的整数x■，使得h（x■） 可得h（x）■=h（0）=1，h（-1）=■，如图11所示，即■≤a<1。
4.要求并引导学生自我归纳总结提升
归纳的意义在于抓住本质，切中要害，由表及里，以此及彼，去粗取精，抓住主线，不仅在题型的归纳，更在于如何思维的归纳，使学生的解题效率更高，数学素养得到提升。
总之，在传统的教学中，一堂课下来很多教师的做法是直接灌输，讲好几道题，教学效率看似很高，但学生的基本技能、数学方法、科学的探究以及解决问题的思维能力没有得到发展。因此，在高中教学中更要强调培养学生良好的思维习惯，除了数学知识的摄入，还应通过引导、联想、发现，点燃学生的智慧，挖掘学生的潜力，提高思维效率，实现真正意义上的素质提高。
【参考文献】
[1]阿迪力江·苏来曼.上海内高班学生数学语言转换能力的调查研究[D].[出版地不详]：上海师范大学，2018
[2]佚名.执果索因-回归常理-简化[J].刊名缺失，出版年缺失，卷缺失（期缺失）：页码范围缺失
[3]杨社锋.化归思想在高中数学解题中的应用[D].[出版地不详]：河南大学，2015
【关键词】高中数学；引领思维；数学语言；联想；数学思想；归纳
研究背景：经常有学生这样说：“高中理科数学，总是在考试时想不到那里去，看了答案后才明白，但换个题又想不到那里。”还有一种声音：“高中每次数学考试都太难了，都做不完”这种现象主要原因在于学生的思维效率不高，基于此，如何在高中数学课堂教学将触角延伸到学生的思维层次，提高学生思维效率，使学生在解题中能迅速地想到解题思路，缩短解题时间从而提高数学成绩，进而提高学生的数学素养。
思维效率，简言之就是在思维过程中的投入与产出之比。它是高中生对数学思维过程及其结果的一种综合评定，是质与量的统一。从量上讲它是对高中学生解题速度的一种综合测评；从质上讲，它是对高中学生思维结果的质量如严密性、深度、广度、正确度的评价。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维和创新能力方面不可替代的作用。”著名教育心理学家布鲁纳指出：数学教学的核心是“思维”的教学，数学的核心价值是发展人的思维，使人变聪明，思维更加严密。那么在高中数学教学中，如何提高学生的思维效率，引领学生学会由“想不到”迅速变为“想到”解题的明确方向，找到更加简洁的思路，笔者认为高中数学教学中主要引领学生学会以下几种思维习惯：
1.引领学生养成审题时对三种数学语言的转化的习惯
从数学语言的表达形式主要分为文字语言、符号语言和图式语言三种，准确把握文字语言、符号语言和图式语言的特点，灵活地对三种数学语言进行转换，是提高数学解题能力的关键。笔者认为这是数学思维的发展的起点。因此在教学时要引领学生对三种数学语言及其它们之间的关系所表达的含义进行认真分析、仔细推敲，实现三种语言进行转化。这在教学上是常规现象，教师都要处处时时引导学生进行语言的转化，在此不过多累述。
2.引导学生产生有价值的联想
不少高中生对数学的基本定理、公理、公式及性质都烂熟于胸，但解题时不知从何入手，其重要原因是不能对题意进行合理、全方位的联想。因此有必要引导学生学会产生有价值的联想，找到解题突破口。
2.1审清题意的显性条件，联想发现有价值的隐性条件
善于根据题意的显性条件去联想与其有关的定理、定义及性质，从而转化得到一些有利于解题的隐性条件，并要观察结论的形式特征，尽量把联想到的向结论靠拢。
例1：已知双曲线■-■=1（a，b>0），过x轴上点P的直线L与双曲線的右支交于M，N两点（M在第一象限），直线MO交双曲线左支于点Q（O为坐标原点），连接QN。若∠MPO=60■，∠MNQ=30■，则该双曲线的离心率为_____。
师：由题“已知双曲线”想到什么？
生1：双曲线的定义、性质。
师：根据题意，我们要先怎么做？
生：数形结合（文字语文转化成图形语言）
师：由“∠MPO=60■，∠MNQ=30■，”想到什么？
生2：解三角形；
生3：角度转化为斜率。
师：“则该双曲线的离心率”怎么求？
生4：找出一个关于a，b，c的“齐次式”。
师：你们的联想哪个较有价值？
生5：生1联想的定义没价值，因为题目与焦点无关；应是生1提到的性质中的双曲线的中心对称性较有价值。生2的解三角形MNQ有角没边，解不了三角形，应是生3提到的角度与斜率有关。可以知道K■=-■。
生6：“点o是MN的中点”，可以想到构造△MPQ中位线。取MN的中点G，连OG，如图（2）可以得到∠OGM=∠MNQ=30■从而可得到∠POG=∠OGM=∠MNQ=30■即得K■=-■。由“点差法”。易得：K■·K■=1，∴e■=1+■=2。
当然教师也可以再适当地发散学生的思维进行变式练习，将双曲线变为椭圆或圆等。
2.2引领学生学会“执果索因，寻根求源”的思维方式
分析和解答数学问题时“不要忘记为何出发”，也就是要从结论出发，逐步地追溯使结论成立的条件，反映在解法上就是分析法，也称之为逆推法。笔者认为“执果索因”的方法不仅是数学解题的思维方式，也是生活中的思维方式，它能使人更聪明。培养学生的创造力。
例2：证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
已知：α⊥β，a α，α∩β=b，a⊥b，求证：a⊥β。
分析：要证明这个面面垂直的性质定理，不少高一学生会无从下手，教师可以这样引导。
师：如何证α⊥β？
生：只需证a垂直β内的两条相交直线。
师：题目只有a⊥b，怎么办？ 生：创造一条。
师：如何创造这一条？还需要关注题目的哪个条件？
生：由α与β所成的二面角的平面角为90■，过a和b的交点O
在β面内做b的垂线c，由二面角的定义可得a⊥c如图3所示，进而得到证明。
3.引领学生学习并运用数学的思想分析问题
高考解题需要灵活运用数学思想方法才能突破。教学的时候应当引导学生先认识数学的七大重要思想，如什么是函数与方程、分类与整合、数形结合、转化与化归、特殊与一般、有限与无限这七大思想的意义。此处重点举例函数与方程的思想和转化归的思想在课堂教学中的渗透。 3.1重视渗透函数的思想，提升学生的思维效率
函数与方程思想就是通过函数问题与方程问题相互转化，从而解决问题的一种思维方式。简单的讲就是“设量、找等量关系、消元、构建目标函数、用函数的图象或性质分析解决问题。”，引导学生应用思想方法分析，让学生的思维多点开花，迅速找到解题最佳途经。
例3：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A=■，若D为BC上一点，且A=■且■=2■，b=3，AD=■，求a。
师：此题应当如何分析呢？
生1：求值问题求范围问题应当用函数与方程的思想来分析解题。
生2：以数解形的数形结合的思想，题目有A=■即可建立適当的坐标系。
师：除了这两种思想，那还有没有其它联想呢？
生3：由题意中有向量、模长和角度，可选择用向量基底表示来解此题。
生4：点D为BD的三等分点，想到做辅助线，构造两个三角形相似。
师：同学们分别用这几种思想对比下，时间有限，你们认为哪种方法最快呢？大家试试。
思路1：函数与方程的思想的应用
生5：题目中角A=■且■=2■，b=3，AD=■，为了求出目标需要知道|AB|。
第一步：设量：可设|AB|=C，但用公式时还需要进行设BD=x则BD=2x，BC=3x。
第二步：找两个等量关系：有三个等量，找三个等量关系。在△ABD，和△ABC中，
由余弦定理cosB=■=■得：3x■-c■+27=0 （1）
或者由cos∠BDA=-cos∠CDA=■=-■得3x■-c■+27=0 （1）
在△ABC中，由余弦定理得：9x■=c■+9-3C （2）
第三步：消元：联立（1）、（2）可求出a=3x=3■。
当然还可以有以下思路如：
思路2：数形结合，以数辅形
以A为原点，以AB所在的直线为x轴建立如图直角坐标系，如图7所示：设B（x，0），易求出C坐标并用x表示点D的坐标由|AD|=■得x=6，在△ABC中，由余弦定理得a=BC=3■。
思路3：联想到向量法
以■，■为基底，则■=■■+■■又■■=21，得：■AB■+■（AB）+1=21，可得■=6。
思路4：初中的补割法
如图8，过D作DE//AC交AB于E，通过相似比，可发现∠EDB=∠ACB=90■得解。
3.2引领学生善于化“陌生”为“熟悉”，培养学生转化与化归的思维方式
在高中数学解题中所用到的数学思想其实归根结底都是化归思想因此化归思想是高中阶段数学思想的精髓。
例4：（2015全国Ⅰ卷理12）设函数f（x）=e■（2x-1）-ax+a，其中a≤1，若存在唯一的整数x■，使得f（x■）<0，则a的取值范围是___。
分析1：考虑转化为e■（2x-1）
略解1：设g（x）=e■（2x-1），h（x）=a（x-1），由题知存在唯一的整数x■，使得g（x■）在直线h（x）的下方.易画出g（x）的草图如图9所示，求出g（x）■=-2e■，且g（x）过点A（0，-1），B（-1，-■）。直线h（x）恒过点P（1，0），由图象可得故K■≤a
当x=1时，h（1）=e>1，舍去。当x<1时，问题转化为存在唯一的整数x■，使得h（x■）
4.要求并引导学生自我归纳总结提升
归纳的意义在于抓住本质，切中要害，由表及里，以此及彼，去粗取精，抓住主线，不仅在题型的归纳，更在于如何思维的归纳，使学生的解题效率更高，数学素养得到提升。
总之，在传统的教学中，一堂课下来很多教师的做法是直接灌输，讲好几道题，教学效率看似很高，但学生的基本技能、数学方法、科学的探究以及解决问题的思维能力没有得到发展。因此，在高中教学中更要强调培养学生良好的思维习惯，除了数学知识的摄入，还应通过引导、联想、发现，点燃学生的智慧，挖掘学生的潜力，提高思维效率，实现真正意义上的素质提高。
【参考文献】
[1]阿迪力江·苏来曼.上海内高班学生数学语言转换能力的调查研究[D].[出版地不详]：上海师范大学，2018
[2]佚名.执果索因-回归常理-简化[J].刊名缺失，出版年缺失，卷缺失（期缺失）：页码范围缺失
[3]杨社锋.化归思想在高中数学解题中的应用[D].[出版地不详]：河南大学，2015