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[摘 要]本文试图探讨复杂经济、管理问题通过变换问题角度以简化解决的映射变换方法。首先引出了数学和工程领域解决复杂问题时使用的变换方法；然后围绕商品定价使用映射变换思想分析了4P、参考价格理论，展示了映射变换方法的使用；最后总结并给出了管理、经济研究应用映射变换的原则。
[关键词]映射变换；管理创新；4P理论；参考价格
[中图分类号]F270 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432(2008)52-0027-03
1 问题的提出
管理、经济问题的研究大量使用直觉、经验以及猜想作为依据进行研究，主要是由如下两方面原因造成的：
(1)影响经济、管理问题的因素繁多。经济、组织的运行往往受到众多因素影响，因素之间又存在交互的多重影响，由于内部关系的交互影响以及与外部环境的物质（包括信息）交流都实时影响系统的运行及运行的结果，导致即使很小的经济体系、组织的运行都客观表现为一个复杂系统，而复杂系统所表现出来的众多不可预测现象，给我们的分析带来了不同程度的困难。
(2)经济、管理问题难于抽象。管理、经济问题涉及的变量之间往往存在相互影响，难于像物理学等自然科学那样排除其他影响针对某个因素来研究规律，导致多数经济、管理模型解释度不高。
本文以市场营销学的部分研究理论作为表达这种映射变换思想的例子来进行分析，并使用映射变换的方法对这些营销方法进行了分析。
2 空间变换的工程应用及空间映射变换
2.1 变换的工程应用
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。空间转换思想和转换方法在数学和工程应用领域当中已经广泛应用，在数学中，比较典型的是坐标之间的转换，如直角坐标和极坐标之间的相互转换；在工程应用中，比较典型的有傅利叶变换、拉普拉斯变换——使问题在时域和频域之间变换的方法。
2.2 商品定价问题的映射变换
自从商品出现，就对应产生了定价问题。价格是一个由厂商和消费者共同作用、共同博弈的综合结果。对于一般的消费商品，作用的双方数量庞大，作用关系复杂多变，众多变量之间存在复杂的交互影响。
定价管理研究的对象是一个典型的复杂系统，在定价管理过程中使用映射变换方法是根据对象的特质，按照正变换、逆变换的变换规则，将复杂的定价问题转化到容易解决的空间进行求解的过程，为复杂系统研究提供有效方法。
3 营销研究当中的映射变换
3.1 原始问题和原型映射
本文的讨论主要围绕商品的定价问题，即作为一個商品生产的厂商，如何订立合适的价格，以达到收益最大化的目标。此问题是本文的原始问题，此问题的映射称为原型映射。考虑到正逆变换表述的相对问题，为清晰表述，本文总是以原型映射朝向其他空间变换的过程称为变换或正变换，其他朝向原型模型空间的变换称为逆变换。
原型映射是商品属性与价格的一个映射关系，如图1所示。本文中所谓的商品属性指某个商品能给予消费者带来的全部效用之总和，包括销售价格、使用性、易得性等所有属性，此时商品被视作一个整体。以水的消费为例，某消费者如果有对水的需求，他可以有多种途径来满足这种需求，品质最低、价格最低的途径可能是对自然降水的收集，也可以使用自来水公司提供的管道使用稍作净化处理的自来水，也可以去商店购买瓶装纯净水，另外通过预订购买桶装水矿泉水也可以达到目的，原型映射表达的是通过各种方式获取的不同的水相对于价格而表现出的映射关系。
原型映射表达为的一个函数，其中商品属性是作为价格的自变量，考虑到影响价格的自变量——商品属性并不是一个简单的变量，而是一个函数，这里称之为商品属性函数；同时，商品属性函数与影响商品属性的因素之间也存在函数关系，即影响商品属性各个因素是自变量，而商品属性函数是因变量。多个因素综合作用形成商品属性函数，商品属性函数最终形成价格。由于形成函数与函数的映射关系，原型映射使用泛函的方法进行表述更为清晰，假设商品属性函数影响价格，且有个因素影响商品属性，则映射关系表示为：
商品定价的原理大致可以划分为两类，一是市场交易的方法，二是市场比较的方法。
3.2 4P理论的映射变换
4P（产品、定价、渠道和促销）在营销学中广泛应用，是营销学的基本理论之一。除了同质性很高的产品外，其他有一定差异的产品难于通过商品属性与价格的这种映射来准确地确定合适价格。由于商品属性是一个较抽象的概念，无论是映射的确定，还是进行计算的基准都不易确定，因此直接利用这种定价方法过于复杂而难于应用。此时，应用4P的方法可以更容易的定价。根据映射变换的思想，4P的方法可以进行如下分析。
3.2.1 映射变换和比较
虽然确定商品价格的原型映射难于表达及应用，但是可以通过映射变换将原型映射转化为较易处理的其他映射，如图2，将原型映射依据4P的划分，以拆分维度的方法将产品变换为四个新维度上的映射。
图2 按照4P进行的映射变换
其中， j=1,2,3,4 i=1,2,…,n分别代表产品品质、渠道水平、促销程度和定价水平的影响因素，Pi 则分别代表4P中的每个P对最终4P定价的影响因素。
原型映射按照4P划分的方法进行转化后成为四个新的映射，分别为产品品质—价格、渠道水平—价格、促销程度—价格和定价水平—价格的映射。
由上述变换易知，Pi是构成P的自变量，而又对应4P的自变量，也构成函数与函数的映射关系，则使用映射变换思想对使用4P进行定价可用泛函的形式表示为：
产品品质—价格映射，表示为的一个函数关系，产品品质在本文当中的含义为商品的使用属性；渠道水平—价格映射，表示为的一个函数，渠道水平是厂商对于此种商品的分销能力也即商品到达消费者手中的便利程度；促销程度—价格映射，表示为的一个函数；定价水平—价格映射，表示为的一个函数。在营销领域当中，4P中的“P r i c e”拥有多种理解，大多数学者认为其代表“定价”，本文将“Price”理解为定价的一种能力（定价水平或者称为定价能力），或者将“定价”理解为是一个与最终价格P4P的一个自相关的变量。
此映射变换的过程是一个增加（拆分）维度的过程，通过增加维度，使产品品质这个难于确定的映射转化为较容易进行比较和计算的其他映射关系。通过这些拆分出来的新映射，可以通过计算或者对比来确定某商品A和某商品X的定量关系，或至少可以确定不同商品在每个4P维度上的相对差别。通过这些定量关系或相对关系就可以对商品进行定价。继续以水的供应为例子。根据4P的不同，会产生不同的厂商价格，如表1所示。
3.2.2 变换与反变换
按照映射变换的思想变换，首先需要知道变换的规则，根据4P的这种变换形式，需要知道每一个P相对于商 品属性的变换规则，以及可能存在的4P之间的替代变换规则即4P之间的影响规则。
由于需要解决的问题是处于“商品属性—价格”空间中，最后得到的结果应该也是这个空间上的结果表达，因此在各个分维度空间进行计算并做结果比较即可确定其在各个分维度上的关系，依照这些变换关系将“产品品质—价格”等映射中的结果反变换回“商品属性—价格”空间，就可得到最终结果。这个过程是一个减少维度的过程，是按照一定的方法进行降维而回到所讨论空间的过程。
3.2.3 相关讨论
(1)映射变换中的变换规则非常重要
同数学和工程中变换一样，管理研究中的变换规则同样非常重要。不同的变换规则可能导致变换的应用效果和结果差别很大。
以映射变换的思想来考察4P理论的产品定价方式，会发现4P都是基于厂商所掌握的信息因素进行划分的，因此4P的这种划分方法可能过粗而不能达到预期效果，即4P理论的因素函数过少而造成信息缺失；另外，4P的划分方法，会造成式3-3及式3-4所表达的两层函数的定量关系无论是通过模型计算还是调查的方法都非常难以界定，这会同时带来正逆变换上的困难。
(2)映射变换过程中会造成信息丢失
数学和工程当中，变换是通过严格的变换方程和规则进行计算的，这些方程和规则要经过严密的数学推导和证明。与数学和工程中应用的变换方法不同，管理研究中的映射变换方法一般情况下是不准确的，会有信息的损失。这种信息损失将普遍存在于映射变换的整个过程中，如增加（拆分）维度、减少（合并）维度、变换关系、新空间关系以及拆分合并规则当中。
(3)可以增加分维度以提高信息完整程度
通过4P映射变换的例子可以看出，完全可以自由地增加分维度，分维度的增加使该层次上的各维度保有更多的上一级映射的信息。但是由减少维度所造成的信息丢失暂时还没有很好的方法来复原，一般是通过更好的算法尽量减少信息的丢 失。
(4)分维、减维过程增加了计算量，但使问题可解
观察分维、减维的这种映射变换方式，可以发现它增加了相关的计算量，比如4P将原空间一拆为四，相应的计算过程和计算量都同步增大很多。这种增加虽然带来计算上的不便，但它可以使复杂的、不可解的问题通过分散成细节的小问题来联合求解。
3.3 参考价格理论的映射变换解释
参考价格（Reference Price）是判断一个商品购买价格的标准。消费者主要在以往的购买行为、以往的参考价格和以往的促销经历中形成参考价格。消费者进行决策时通过对比参考价格和实际的购买价格后，做出是否购买的决策。参考价格理论主要研究参考价格的形成、参考价格的作用机制和参考价格的使用。主要用于厂商定价和消费者购买行为研究。
以映射变换思想考察参考价格理论，则其映射过程转变为：
考虑本文的原始问题、原型模型和参考价格模型可知。参考价格将原始问题转化到完全不同的空间进行研究。参考价格考虑的主要因素都是关于消费者的。参考价格模型与4P模型在对问题进行拆分的应用上没有本质差别，但可以发现，影响参考價格的一系列“过往”因素，都是容易通过调查的方式进行经验研究或者通过控制实验的方法进行研究的，调查这些因素要比4P研究渠道水平、产品品质等便利得多。
对于正逆变换，参考价格模型的变换规则容易确定。首先，这种变换无须正变换规则。其次，参考价格模型的逆变换规则也较容易确定，大多数情况下可以认为参考价格是合适价格的一个良好的估计，即在大多数情况下如果能得到参考价格，就可以认为实际定价应与参考价格一致。这时，逆变换转化成如下的映射关系：
此时，式3-6的因素函数与因素之间的函数关系变得不重要了，因为不需要详细了解因素对因素函数的影响，而通过调查的方式直接获得因素函数对参考价格的影响，最终可以形成对价格的一个估计。
4 管理研究中映射变换的原则
本文通过分析营销研究当中解决定价问题的三种理论，使用映射变换的思想对其进行了解释和分析，可以得到如下映射变换的原则。
4.1 空间优先的原则
映射变换的主旨是将在原空间中难以进行分析和解决的映射关系转化到新的、容易解决的空间当中去解决。因此，对象空间的选择很重要，能够寻找到好的目标空间则可以使问题解决大幅简化，目标空间若选择不当，则对解决原有问题不能提供很好的帮助。
4.2 方便求解的原则
无论是数学、工程还是管理研究中使用映射变换的方法都是为了方便求解，需要强调的是映射变换方法不是以方便计算为首要目标，而是以方便求解为首要目标。应用映射的方法有可能会使计算更为复杂，但是可使难于求解的问题能够求解。
4.3 方便转换的原则
虽然某些变换方法或转换空间能使问题更容易理解和求解，但是其正逆变换非常困难，变换规则难以准确界定，如果变换规则的确定都很困难，则经过正逆变换后的结论的可信度就会变差。
4.4 充分利用共轭相生的经济、管理问题特性
多数经济和管理问题都是共轭相生的，问题都同时存在相互作用的两个方面端点，一个端点不易解决的问题，可换在另外一个端点就相对容易解决，另外还可以将两端点的问题求解转化到另外一个完全不同的空间进行解决。
参考文献：
[1]覃正,陈昆玉.管理行为中的距离难题及距离管理思维[J].管理工程学报,2004(3):22-25.
[2]覃正.距离管理[M].西安:西安交通大学出版社,2005:32-34.
[关键词]映射变换；管理创新；4P理论；参考价格
[中图分类号]F270 [文献标识码]A [文章编号]1005-6432(2008)52-0027-03
1 问题的提出
管理、经济问题的研究大量使用直觉、经验以及猜想作为依据进行研究，主要是由如下两方面原因造成的：
(1)影响经济、管理问题的因素繁多。经济、组织的运行往往受到众多因素影响，因素之间又存在交互的多重影响，由于内部关系的交互影响以及与外部环境的物质（包括信息）交流都实时影响系统的运行及运行的结果，导致即使很小的经济体系、组织的运行都客观表现为一个复杂系统，而复杂系统所表现出来的众多不可预测现象，给我们的分析带来了不同程度的困难。
(2)经济、管理问题难于抽象。管理、经济问题涉及的变量之间往往存在相互影响，难于像物理学等自然科学那样排除其他影响针对某个因素来研究规律，导致多数经济、管理模型解释度不高。
本文以市场营销学的部分研究理论作为表达这种映射变换思想的例子来进行分析，并使用映射变换的方法对这些营销方法进行了分析。
2 空间变换的工程应用及空间映射变换
2.1 变换的工程应用
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。空间转换思想和转换方法在数学和工程应用领域当中已经广泛应用，在数学中，比较典型的是坐标之间的转换，如直角坐标和极坐标之间的相互转换；在工程应用中，比较典型的有傅利叶变换、拉普拉斯变换——使问题在时域和频域之间变换的方法。
2.2 商品定价问题的映射变换
自从商品出现，就对应产生了定价问题。价格是一个由厂商和消费者共同作用、共同博弈的综合结果。对于一般的消费商品，作用的双方数量庞大，作用关系复杂多变，众多变量之间存在复杂的交互影响。
定价管理研究的对象是一个典型的复杂系统，在定价管理过程中使用映射变换方法是根据对象的特质，按照正变换、逆变换的变换规则，将复杂的定价问题转化到容易解决的空间进行求解的过程，为复杂系统研究提供有效方法。
3 营销研究当中的映射变换
3.1 原始问题和原型映射
本文的讨论主要围绕商品的定价问题，即作为一個商品生产的厂商，如何订立合适的价格，以达到收益最大化的目标。此问题是本文的原始问题，此问题的映射称为原型映射。考虑到正逆变换表述的相对问题，为清晰表述，本文总是以原型映射朝向其他空间变换的过程称为变换或正变换，其他朝向原型模型空间的变换称为逆变换。
原型映射是商品属性与价格的一个映射关系，如图1所示。本文中所谓的商品属性指某个商品能给予消费者带来的全部效用之总和，包括销售价格、使用性、易得性等所有属性，此时商品被视作一个整体。以水的消费为例，某消费者如果有对水的需求，他可以有多种途径来满足这种需求，品质最低、价格最低的途径可能是对自然降水的收集，也可以使用自来水公司提供的管道使用稍作净化处理的自来水，也可以去商店购买瓶装纯净水，另外通过预订购买桶装水矿泉水也可以达到目的，原型映射表达的是通过各种方式获取的不同的水相对于价格而表现出的映射关系。
原型映射表达为的一个函数，其中商品属性是作为价格的自变量，考虑到影响价格的自变量——商品属性并不是一个简单的变量，而是一个函数，这里称之为商品属性函数；同时，商品属性函数与影响商品属性的因素之间也存在函数关系，即影响商品属性各个因素是自变量，而商品属性函数是因变量。多个因素综合作用形成商品属性函数，商品属性函数最终形成价格。由于形成函数与函数的映射关系，原型映射使用泛函的方法进行表述更为清晰，假设商品属性函数影响价格，且有个因素影响商品属性，则映射关系表示为：
商品定价的原理大致可以划分为两类，一是市场交易的方法，二是市场比较的方法。
3.2 4P理论的映射变换
4P（产品、定价、渠道和促销）在营销学中广泛应用，是营销学的基本理论之一。除了同质性很高的产品外，其他有一定差异的产品难于通过商品属性与价格的这种映射来准确地确定合适价格。由于商品属性是一个较抽象的概念，无论是映射的确定，还是进行计算的基准都不易确定，因此直接利用这种定价方法过于复杂而难于应用。此时，应用4P的方法可以更容易的定价。根据映射变换的思想，4P的方法可以进行如下分析。
3.2.1 映射变换和比较
虽然确定商品价格的原型映射难于表达及应用，但是可以通过映射变换将原型映射转化为较易处理的其他映射，如图2，将原型映射依据4P的划分，以拆分维度的方法将产品变换为四个新维度上的映射。
图2 按照4P进行的映射变换
其中， j=1,2,3,4 i=1,2,…,n分别代表产品品质、渠道水平、促销程度和定价水平的影响因素，Pi 则分别代表4P中的每个P对最终4P定价的影响因素。
原型映射按照4P划分的方法进行转化后成为四个新的映射，分别为产品品质—价格、渠道水平—价格、促销程度—价格和定价水平—价格的映射。
由上述变换易知，Pi是构成P的自变量，而又对应4P的自变量，也构成函数与函数的映射关系，则使用映射变换思想对使用4P进行定价可用泛函的形式表示为：
产品品质—价格映射，表示为的一个函数关系，产品品质在本文当中的含义为商品的使用属性；渠道水平—价格映射，表示为的一个函数，渠道水平是厂商对于此种商品的分销能力也即商品到达消费者手中的便利程度；促销程度—价格映射，表示为的一个函数；定价水平—价格映射，表示为的一个函数。在营销领域当中，4P中的“P r i c e”拥有多种理解，大多数学者认为其代表“定价”，本文将“Price”理解为定价的一种能力（定价水平或者称为定价能力），或者将“定价”理解为是一个与最终价格P4P的一个自相关的变量。
此映射变换的过程是一个增加（拆分）维度的过程，通过增加维度，使产品品质这个难于确定的映射转化为较容易进行比较和计算的其他映射关系。通过这些拆分出来的新映射，可以通过计算或者对比来确定某商品A和某商品X的定量关系，或至少可以确定不同商品在每个4P维度上的相对差别。通过这些定量关系或相对关系就可以对商品进行定价。继续以水的供应为例子。根据4P的不同，会产生不同的厂商价格，如表1所示。
3.2.2 变换与反变换
按照映射变换的思想变换，首先需要知道变换的规则，根据4P的这种变换形式，需要知道每一个P相对于商 品属性的变换规则，以及可能存在的4P之间的替代变换规则即4P之间的影响规则。
由于需要解决的问题是处于“商品属性—价格”空间中，最后得到的结果应该也是这个空间上的结果表达，因此在各个分维度空间进行计算并做结果比较即可确定其在各个分维度上的关系，依照这些变换关系将“产品品质—价格”等映射中的结果反变换回“商品属性—价格”空间，就可得到最终结果。这个过程是一个减少维度的过程，是按照一定的方法进行降维而回到所讨论空间的过程。
3.2.3 相关讨论
(1)映射变换中的变换规则非常重要
同数学和工程中变换一样，管理研究中的变换规则同样非常重要。不同的变换规则可能导致变换的应用效果和结果差别很大。
以映射变换的思想来考察4P理论的产品定价方式，会发现4P都是基于厂商所掌握的信息因素进行划分的，因此4P的这种划分方法可能过粗而不能达到预期效果，即4P理论的因素函数过少而造成信息缺失；另外，4P的划分方法，会造成式3-3及式3-4所表达的两层函数的定量关系无论是通过模型计算还是调查的方法都非常难以界定，这会同时带来正逆变换上的困难。
(2)映射变换过程中会造成信息丢失
数学和工程当中，变换是通过严格的变换方程和规则进行计算的，这些方程和规则要经过严密的数学推导和证明。与数学和工程中应用的变换方法不同，管理研究中的映射变换方法一般情况下是不准确的，会有信息的损失。这种信息损失将普遍存在于映射变换的整个过程中，如增加（拆分）维度、减少（合并）维度、变换关系、新空间关系以及拆分合并规则当中。
(3)可以增加分维度以提高信息完整程度
通过4P映射变换的例子可以看出，完全可以自由地增加分维度，分维度的增加使该层次上的各维度保有更多的上一级映射的信息。但是由减少维度所造成的信息丢失暂时还没有很好的方法来复原，一般是通过更好的算法尽量减少信息的丢 失。
(4)分维、减维过程增加了计算量，但使问题可解
观察分维、减维的这种映射变换方式，可以发现它增加了相关的计算量，比如4P将原空间一拆为四，相应的计算过程和计算量都同步增大很多。这种增加虽然带来计算上的不便，但它可以使复杂的、不可解的问题通过分散成细节的小问题来联合求解。
3.3 参考价格理论的映射变换解释
参考价格（Reference Price）是判断一个商品购买价格的标准。消费者主要在以往的购买行为、以往的参考价格和以往的促销经历中形成参考价格。消费者进行决策时通过对比参考价格和实际的购买价格后，做出是否购买的决策。参考价格理论主要研究参考价格的形成、参考价格的作用机制和参考价格的使用。主要用于厂商定价和消费者购买行为研究。
以映射变换思想考察参考价格理论，则其映射过程转变为：
考虑本文的原始问题、原型模型和参考价格模型可知。参考价格将原始问题转化到完全不同的空间进行研究。参考价格考虑的主要因素都是关于消费者的。参考价格模型与4P模型在对问题进行拆分的应用上没有本质差别，但可以发现，影响参考價格的一系列“过往”因素，都是容易通过调查的方式进行经验研究或者通过控制实验的方法进行研究的，调查这些因素要比4P研究渠道水平、产品品质等便利得多。
对于正逆变换，参考价格模型的变换规则容易确定。首先，这种变换无须正变换规则。其次，参考价格模型的逆变换规则也较容易确定，大多数情况下可以认为参考价格是合适价格的一个良好的估计，即在大多数情况下如果能得到参考价格，就可以认为实际定价应与参考价格一致。这时，逆变换转化成如下的映射关系：
此时，式3-6的因素函数与因素之间的函数关系变得不重要了，因为不需要详细了解因素对因素函数的影响，而通过调查的方式直接获得因素函数对参考价格的影响，最终可以形成对价格的一个估计。
4 管理研究中映射变换的原则
本文通过分析营销研究当中解决定价问题的三种理论，使用映射变换的思想对其进行了解释和分析，可以得到如下映射变换的原则。
4.1 空间优先的原则
映射变换的主旨是将在原空间中难以进行分析和解决的映射关系转化到新的、容易解决的空间当中去解决。因此，对象空间的选择很重要，能够寻找到好的目标空间则可以使问题解决大幅简化，目标空间若选择不当，则对解决原有问题不能提供很好的帮助。
4.2 方便求解的原则
无论是数学、工程还是管理研究中使用映射变换的方法都是为了方便求解，需要强调的是映射变换方法不是以方便计算为首要目标，而是以方便求解为首要目标。应用映射的方法有可能会使计算更为复杂，但是可使难于求解的问题能够求解。
4.3 方便转换的原则
虽然某些变换方法或转换空间能使问题更容易理解和求解，但是其正逆变换非常困难，变换规则难以准确界定，如果变换规则的确定都很困难，则经过正逆变换后的结论的可信度就会变差。
4.4 充分利用共轭相生的经济、管理问题特性
多数经济和管理问题都是共轭相生的，问题都同时存在相互作用的两个方面端点，一个端点不易解决的问题，可换在另外一个端点就相对容易解决，另外还可以将两端点的问题求解转化到另外一个完全不同的空间进行解决。
参考文献：
[1]覃正,陈昆玉.管理行为中的距离难题及距离管理思维[J].管理工程学报,2004(3):22-25.
[2]覃正.距离管理[M].西安:西安交通大学出版社,2005:32-34.