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摘要：文史类专业开设数学课是我国文科高等教育的改革与创新。中国人民大学是国内率先开课的学校之一。现在我校的这门课已经建立了稳定的教学体系，并收到了较好的教学效果。本文介绍我校文科高等数学课培养学生创新能力的情况。我们通过教学内容的设置构造学生合理的知识结构、提高学生整体的思维能力，从而实现培养学生的创造性思维；通过教学方式的改革，增加“学生撰写数学小论文”的教学环节培养学生的创新实践能力。
关键词：数学教学；文科大学生；创新能力
中国人民大学从1993年开始在校内所有文史类专业开设高等数学必修课，是国内率先开课的学校之一。经过15年的教学探索，目前这门课在我校已经建立了相对稳定的教学体系，并形成了一系列教学制度。文科学生对课程的认可程度已由最初的不足20％，上升到现在的70％以上。实践证明，我们设置的文科数学课的教学目标、教学内容与教学方式都比较适合我校学生的情况，这门课也较好地发挥了培养文科学生理性思维与综合素质的作用。在全社会都高度重视人才创新能力的今天，我们感到，高等数学课对培养文科学生的创新能力也同样具有很好的效果。本文介绍的是我校文科高等数学教学培养文科大学生创新能力的情况。
文史类专业的数学课要面临一个改变学生学习态度的问题，这是它与其他类型数学课的不同之处。因为初学这门课的学生当中有相当多的人对数学有畏惧或抵触心理，他们之所以报考文科专业正是为了躲避数学。因此如何设置教学内容、采取怎样的教学方式才能使学生乐于接受数学课是个很大的问题。根据学生的学习现状与社会对文科人才数学素养的要求，我校把文科数学课定位为培养学生理性思维的文化素质课，把调动学生学习的积极性、培养学生的创新能力贯穿于教学内容的设置与教学方式的改革上。
一、教学内容的设置着眼于培养学生的创造性思维
在教学内容的设置上，我们是通过构造学生合理的知识结构与提高学生的思维能力，来实现培养学生的创造性性思维。
1、优化教学内容，构造学生合理的知识结构
合理的知识结构是创新的基础和前提。培养学生的创新能力首先要从构建其合理的知识结构着手。对于当今的文科大学生来说，掌握一定的高等数学知识，这本身就是在完善自身的知识结构。因为数学与人文科学、社会科学在内容和思维方式上都有着根本的不同，数学知识的加入，可以使得原有人文、社会科学知识所构成的平面知识结构变成立体知识结构。知识结构维数的拓展意味着思维空间在质上的扩大。只有在广阔的思维空间里，各种具体的创新思维技法如类比、移植才可以派上用场。
在文科学生的知识库中加入怎样的数学知识，才能使其数学知识的结构、乃至整个知识结构达到最优呢?经过十多年的教学实践与研究，2005年由我校严守权老师主编的教材《大学文科数学》正式出版了。这本教材就是我们探索这门课教学内容的研究成果。该教材设置的我校文科数学教学内容有四大模块，它们是向量空间与矩阵、微积分、概率论与数理统计、模糊数学与图论简介。我们认为以这些内容构建文科学生的数学知识结构是合适的。首先，这些内容都是现代数学的基础和最主要的部分，由它们生成的现代数学观念是当今文科人才必须具备。其次，它们都是重大的数学思想的典型代表，具有很好的教育意义。虽然这些教学内容与其他类型数学课的内容是重合的，但与其他数学课不同的是，我们尽可能地列举数学在人文科学和社会科学中应用的例子，使数学知识更贴近人文、社会科学。这也正是我们这本教材的一个特色。比如，讲函数时我们介绍马尔萨斯人口模型和油画赝品鉴定；讲极限时我们介绍古希腊哲学著名的芝诺悖论；讲导数时我们介绍新闻传播的速度问题等等。在具体教学内容的选择上，我们尽量摈弃不必要的抽象证明，比如，极限的ε－δ定义我们就没有详细地介绍。目前我校这门课教学内容实施的具体情况是这样的：中文、外语、国学三个专业实行一学期制，共72学时，讲授一元微积分。哲学、历史、党史、新闻、法学、国际政治、档案各专业实行二学期制，共144学时，讲授向量空间与矩阵、一元微积分、概率统计。模糊数学与图论简介部分根据学时情况选讲，一般作为学生自学阅读。
2、组织教学内容，培育学生的抽象思维与形象思维能力
鉴于文科数学课定位为文化素质课，因此在教学中更应该侧重于培养学生的理性思维。众所周知，学习数学是培养抽象思维的有效途径，其实学习数学也可以培养形象思维。我们是通过培养学生的抽象思维与形象思维能力来提升学生整体的思维能力，从而促进其创造性思维的发展。
在培养学生形象思维能力方面，首先，数学教学离不开形象思维，因为数学概念的引入必须借助直观的形象。因此数学教学的过程就是开发、锻炼学生形象思维的过程。其次，在文科数学的教学内容中有很多训练学生形象思维的好材料。比如，连续、导数、定积分直观形象的几何意义或物理意义，会丰富学生的表象；极限能地锻炼人的想象力；离散型和连续型随机变量的概率分布的对比能锻炼人的联想能力。我校文科数学课除了一般的形象思维训练之外，还根据文科学生的特点，特别加强了教学内容的直观性与整体性。所谓加强直观性就是将数学概念的实际意义、几何意义或物理意义讲解得更加详细，把它们作为教学内容的重要部分，而不是次要的附属部分。所谓加强整体性就是尽力展现数学知识的来龙去脉、展现数学思想产生的历史背景，使学生从整体上去理解和把握数学。而“从整体上去把握事物”正是形象思维所具有的特点。在教学中我们了解到，希望能从整体上去把握数学也正是不少文科学生的愿望。为此，我们在教材中穿插了数学史、数学小典故、数学家生平简介、数学名言警句等。教材也因此变得生动活泼。教学内容的直观性与整体性的加强，既化解了数学知识的抽象性，使得教学工作能顺利地进行，又使得培养学生形象思维的效果更加显著。这种把数学史融入数学教学的做法，是文科数学教学的一大特色。
在培养学生抽象思维能力方面，我们针对文科大学生思想活跃、思维跳跃性强的特点，特别注意训练学生思维的严谨性，以此作为提高他们抽象思维能力的突破口。比如，对于判断是非题“初等函数在其定义区间内可导”，有不少学生误认为是正确的，因为他们隐约记得有一个关于初等函数在其定义区间上的性质。其实那个性质是“初等函数在其定义区间上连续”。我们在纠正学生具体知识错误的同时，还纠正了他们容易犯的忽略概念准
的解法中，每一步都是有依据的，这就是推理的严谨。每当我们在课堂上给出正确的解法，学生都会深有感触地不断点头，看得出他们是被数学推理的严谨性折服。通过这样的教学，学生在加强思维的严谨性方面确实有所收获和进步。连一些入学时自以为抽象思维训练已足够的中学理科生，学完这门课之后都感慨自己的抽象思 维能力还有待提高。在教学中我们体会到，学生抽象思维能力的培养和提高是需要磨练的。只有通过大量的、反复的、手脑并用的练习才能有效地刺激学生的大脑，使之内化为一种思维的习惯，最终形成思维的能力。因此我们认为，即使定位为文化素质课，文科数学课也还是需要系统的教学，不宜开成单纯的数学讲座。
学生知识结构的合理化与整体思维能力的提高，会使得他们思维的品质得到改善。这些品质分别是思维的广阔性、思维的深刻性与思维的灵活性。而这些优良的思维品质正是创造性思维所不可缺少的。因此我们认为，文科学生学习高等数学有利于培养创造性思维。
二、改进传统数学教学方式以利于培养学生的创新实践能力
采取怎样的教学方式能使文科学生乐于接受数学课，是开课以来我们一直思考的问题。在开课后的第六年1998年，我们决定在数学课通常的教学环节(课堂讲授、学生作业、期中考试、期末考试)之外再增加“学生撰写数学小论文”一项。我们设计这项教学环节的初衷，一方面是要减轻学生的考试压力，加大平时学习成绩在总成绩中所占的比例，以缓解学生对学习数学的畏惧与抵触。另一方面是要调动学生的学习积极性，发挥他们善于阅读和写作的特长，倡导研究性学习。这一教学方式的改革立即得到广大学生的积极响应与热烈欢迎，同学们发现数学、学数学、用数学的兴趣一下子被激发了出来。其教学效果之好是我们始料未及的。
下面简要地介绍一下这项教学工作开展的情况。此教学环节规定，学生在修课期间提交1篇与数学有关的小论文。数学小论文的选题很广泛，它可以是数学在文史学科应用的综述、可以是学生在文科专业或生活中应用数学的案例，可以是从数学的角度对事物的观察分析，可以是对学习数学与提高思维、培养素质的关系论述，可以谈学习数学的心得体会，可以是对文科高等数学教学内容和方式的探讨和建议等等。论文要求正式格式、字数不超过5000。论文成绩占总成绩的10％，论文成绩特别优秀者可以另外再得到总分加分的奖励。到目前为止，约有5000多名学生参与了这项教学工作。每学年，具有较高质量的论文约占论文总数的15％左右。已有60多人获得了总成绩加分的奖励。
每年我们都会收到一些令人耳目一新的高质量的学生数学小论文。例如，《数学精神与法律原则》、《数学与法律的比较》、《从数学看人生的道理》、《概率统计在辛普森杀妻案中的应用》、《关于台湾问题的概率分析》、《国际关系理论中的数学》、《数学思想方法在政治学领域中的应用》、《罚球角度与命中率的数学分析》、《交通事故与刑事案件中的数学》、《现代新闻人离不开数学》、《概率统计在公交车问题上的应用》、《浅析“诗经”中语言的连续性》、《用二项分布分析宿舍插座的使用情况》、《研究中国历史不同时期官阶、官员年龄结构的分布规律》、《大学生如何购买牛奶最省》、《大学生生活费的分配与使用》，《便民小餐馆每日购买多少扁豆能使成本最低》、《报贩每日的合理进报量》、《对希望工程的效益作评估》、《对所在村外出打工人员情况的调查与思考》、《对学生食堂就餐人流量的分布规律探讨》、《对学生公寓楼厕所坑位数目的合理设计》、《对大学生晚自习状况的统计分析》、《对家乡城市园林无障碍设施设计的调查报告》、《研究和比较几种体育记分法的公平性》、《对商场“买100元返88元”促销活动的分析》、《用正态分布验算个人所得税起征点调整的合理性》、《学生上网时间的数学分析》、《关于话费节省的函数思考》。学生论文的选题很广，内容也很新颖。透过这些论文，我们可以看到学生对社会问题的关注、看到文科学生所特有的敏锐洞察力与文采、看到学生试图从数学的角度去观察问题、解决问题所做出的努力、看到学生亲手应用数学后的兴奋与自豪。有学生在交给老师论文时高兴地说，“没有想到自己能写出这样精彩的数学论文”。
我们感到学生撰写数学小论文是一种非常适合文科学生特点的教学方式，它对于培养学生的创新实践能力具有很好的效果。这种创新实践能力表现在两个方面，一一是创新的技能，二是创新的精神。在创新的技能方面，撰写数学小论文培养和锻炼了学生发现问题、明确问题、阐述问题、组织问题和输出问题解决方案的能力。在创新精神方面，撰写数学小论文激发了学生的独立性、自信心和意志力，而这些都是人从事创新活动的动力、是创新精神的重要组成部分。通过布置小论文的作业我们发现，一般新生的独立性都不够强。每当我们宣布写小论文的事，学生们都会不约而同地发出惊讶的“啊”声。他们认为，自己的数学知识有限、数学学得也不够好，不可能有独到的见解和新颖的发现。经过近一年数学教学和学生个人的努力，一些学生最终写出了有创意的论文。这无疑是他们破除迷信、增强了独立性的结果。因此说，撰写数学小论文有利于培养学生的独立性。撰写数学小论文还有助于提升学生的自信心。由于自信心是人获得成功体验的产物，因此，一旦学生在自己相对薄弱的领域写出了有创新点的论文，他们成功的体验将会更深切，自信心增强的幅度会更大。撰写数学小论文还很好地锻炼了学生的意志力。我国中小学生写论文训练不多。文科生要在大学一年级自己确定选题作有关数学的论文，确实会遇到不少困难。这其中既有心理和认识上的困难，又有方法和技术上的困难。但也正是由于这些困难才更能磨砺学生的意志。学生撰写数学小论文所受到的锻炼是多方面的。因此我们认为，文科学生以这种研究性的方式学习高等数学有利于培养他们的创新实践能力。
文科大学生由学习高等数学培养起来的创造性思维和创新实践能力，实际上是一种创新的素质。这种创新素质就像一颗种子，日后它会生根发芽、开花结果。
[责任编辑：陈立民]
关键词：数学教学；文科大学生；创新能力
中国人民大学从1993年开始在校内所有文史类专业开设高等数学必修课，是国内率先开课的学校之一。经过15年的教学探索，目前这门课在我校已经建立了相对稳定的教学体系，并形成了一系列教学制度。文科学生对课程的认可程度已由最初的不足20％，上升到现在的70％以上。实践证明，我们设置的文科数学课的教学目标、教学内容与教学方式都比较适合我校学生的情况，这门课也较好地发挥了培养文科学生理性思维与综合素质的作用。在全社会都高度重视人才创新能力的今天，我们感到，高等数学课对培养文科学生的创新能力也同样具有很好的效果。本文介绍的是我校文科高等数学教学培养文科大学生创新能力的情况。
文史类专业的数学课要面临一个改变学生学习态度的问题，这是它与其他类型数学课的不同之处。因为初学这门课的学生当中有相当多的人对数学有畏惧或抵触心理，他们之所以报考文科专业正是为了躲避数学。因此如何设置教学内容、采取怎样的教学方式才能使学生乐于接受数学课是个很大的问题。根据学生的学习现状与社会对文科人才数学素养的要求，我校把文科数学课定位为培养学生理性思维的文化素质课，把调动学生学习的积极性、培养学生的创新能力贯穿于教学内容的设置与教学方式的改革上。
一、教学内容的设置着眼于培养学生的创造性思维
在教学内容的设置上，我们是通过构造学生合理的知识结构与提高学生的思维能力，来实现培养学生的创造性性思维。
1、优化教学内容，构造学生合理的知识结构
合理的知识结构是创新的基础和前提。培养学生的创新能力首先要从构建其合理的知识结构着手。对于当今的文科大学生来说，掌握一定的高等数学知识，这本身就是在完善自身的知识结构。因为数学与人文科学、社会科学在内容和思维方式上都有着根本的不同，数学知识的加入，可以使得原有人文、社会科学知识所构成的平面知识结构变成立体知识结构。知识结构维数的拓展意味着思维空间在质上的扩大。只有在广阔的思维空间里，各种具体的创新思维技法如类比、移植才可以派上用场。
在文科学生的知识库中加入怎样的数学知识，才能使其数学知识的结构、乃至整个知识结构达到最优呢?经过十多年的教学实践与研究，2005年由我校严守权老师主编的教材《大学文科数学》正式出版了。这本教材就是我们探索这门课教学内容的研究成果。该教材设置的我校文科数学教学内容有四大模块，它们是向量空间与矩阵、微积分、概率论与数理统计、模糊数学与图论简介。我们认为以这些内容构建文科学生的数学知识结构是合适的。首先，这些内容都是现代数学的基础和最主要的部分，由它们生成的现代数学观念是当今文科人才必须具备。其次，它们都是重大的数学思想的典型代表，具有很好的教育意义。虽然这些教学内容与其他类型数学课的内容是重合的，但与其他数学课不同的是，我们尽可能地列举数学在人文科学和社会科学中应用的例子，使数学知识更贴近人文、社会科学。这也正是我们这本教材的一个特色。比如，讲函数时我们介绍马尔萨斯人口模型和油画赝品鉴定；讲极限时我们介绍古希腊哲学著名的芝诺悖论；讲导数时我们介绍新闻传播的速度问题等等。在具体教学内容的选择上，我们尽量摈弃不必要的抽象证明，比如，极限的ε－δ定义我们就没有详细地介绍。目前我校这门课教学内容实施的具体情况是这样的：中文、外语、国学三个专业实行一学期制，共72学时，讲授一元微积分。哲学、历史、党史、新闻、法学、国际政治、档案各专业实行二学期制，共144学时，讲授向量空间与矩阵、一元微积分、概率统计。模糊数学与图论简介部分根据学时情况选讲，一般作为学生自学阅读。
2、组织教学内容，培育学生的抽象思维与形象思维能力
鉴于文科数学课定位为文化素质课，因此在教学中更应该侧重于培养学生的理性思维。众所周知，学习数学是培养抽象思维的有效途径，其实学习数学也可以培养形象思维。我们是通过培养学生的抽象思维与形象思维能力来提升学生整体的思维能力，从而促进其创造性思维的发展。
在培养学生形象思维能力方面，首先，数学教学离不开形象思维，因为数学概念的引入必须借助直观的形象。因此数学教学的过程就是开发、锻炼学生形象思维的过程。其次，在文科数学的教学内容中有很多训练学生形象思维的好材料。比如，连续、导数、定积分直观形象的几何意义或物理意义，会丰富学生的表象；极限能地锻炼人的想象力；离散型和连续型随机变量的概率分布的对比能锻炼人的联想能力。我校文科数学课除了一般的形象思维训练之外，还根据文科学生的特点，特别加强了教学内容的直观性与整体性。所谓加强直观性就是将数学概念的实际意义、几何意义或物理意义讲解得更加详细，把它们作为教学内容的重要部分，而不是次要的附属部分。所谓加强整体性就是尽力展现数学知识的来龙去脉、展现数学思想产生的历史背景，使学生从整体上去理解和把握数学。而“从整体上去把握事物”正是形象思维所具有的特点。在教学中我们了解到，希望能从整体上去把握数学也正是不少文科学生的愿望。为此，我们在教材中穿插了数学史、数学小典故、数学家生平简介、数学名言警句等。教材也因此变得生动活泼。教学内容的直观性与整体性的加强，既化解了数学知识的抽象性，使得教学工作能顺利地进行，又使得培养学生形象思维的效果更加显著。这种把数学史融入数学教学的做法，是文科数学教学的一大特色。
在培养学生抽象思维能力方面，我们针对文科大学生思想活跃、思维跳跃性强的特点，特别注意训练学生思维的严谨性，以此作为提高他们抽象思维能力的突破口。比如，对于判断是非题“初等函数在其定义区间内可导”，有不少学生误认为是正确的，因为他们隐约记得有一个关于初等函数在其定义区间上的性质。其实那个性质是“初等函数在其定义区间上连续”。我们在纠正学生具体知识错误的同时，还纠正了他们容易犯的忽略概念准
的解法中，每一步都是有依据的，这就是推理的严谨。每当我们在课堂上给出正确的解法，学生都会深有感触地不断点头，看得出他们是被数学推理的严谨性折服。通过这样的教学，学生在加强思维的严谨性方面确实有所收获和进步。连一些入学时自以为抽象思维训练已足够的中学理科生，学完这门课之后都感慨自己的抽象思 维能力还有待提高。在教学中我们体会到，学生抽象思维能力的培养和提高是需要磨练的。只有通过大量的、反复的、手脑并用的练习才能有效地刺激学生的大脑，使之内化为一种思维的习惯，最终形成思维的能力。因此我们认为，即使定位为文化素质课，文科数学课也还是需要系统的教学，不宜开成单纯的数学讲座。
学生知识结构的合理化与整体思维能力的提高，会使得他们思维的品质得到改善。这些品质分别是思维的广阔性、思维的深刻性与思维的灵活性。而这些优良的思维品质正是创造性思维所不可缺少的。因此我们认为，文科学生学习高等数学有利于培养创造性思维。
二、改进传统数学教学方式以利于培养学生的创新实践能力
采取怎样的教学方式能使文科学生乐于接受数学课，是开课以来我们一直思考的问题。在开课后的第六年1998年，我们决定在数学课通常的教学环节(课堂讲授、学生作业、期中考试、期末考试)之外再增加“学生撰写数学小论文”一项。我们设计这项教学环节的初衷，一方面是要减轻学生的考试压力，加大平时学习成绩在总成绩中所占的比例，以缓解学生对学习数学的畏惧与抵触。另一方面是要调动学生的学习积极性，发挥他们善于阅读和写作的特长，倡导研究性学习。这一教学方式的改革立即得到广大学生的积极响应与热烈欢迎，同学们发现数学、学数学、用数学的兴趣一下子被激发了出来。其教学效果之好是我们始料未及的。
下面简要地介绍一下这项教学工作开展的情况。此教学环节规定，学生在修课期间提交1篇与数学有关的小论文。数学小论文的选题很广泛，它可以是数学在文史学科应用的综述、可以是学生在文科专业或生活中应用数学的案例，可以是从数学的角度对事物的观察分析，可以是对学习数学与提高思维、培养素质的关系论述，可以谈学习数学的心得体会，可以是对文科高等数学教学内容和方式的探讨和建议等等。论文要求正式格式、字数不超过5000。论文成绩占总成绩的10％，论文成绩特别优秀者可以另外再得到总分加分的奖励。到目前为止，约有5000多名学生参与了这项教学工作。每学年，具有较高质量的论文约占论文总数的15％左右。已有60多人获得了总成绩加分的奖励。
每年我们都会收到一些令人耳目一新的高质量的学生数学小论文。例如，《数学精神与法律原则》、《数学与法律的比较》、《从数学看人生的道理》、《概率统计在辛普森杀妻案中的应用》、《关于台湾问题的概率分析》、《国际关系理论中的数学》、《数学思想方法在政治学领域中的应用》、《罚球角度与命中率的数学分析》、《交通事故与刑事案件中的数学》、《现代新闻人离不开数学》、《概率统计在公交车问题上的应用》、《浅析“诗经”中语言的连续性》、《用二项分布分析宿舍插座的使用情况》、《研究中国历史不同时期官阶、官员年龄结构的分布规律》、《大学生如何购买牛奶最省》、《大学生生活费的分配与使用》，《便民小餐馆每日购买多少扁豆能使成本最低》、《报贩每日的合理进报量》、《对希望工程的效益作评估》、《对所在村外出打工人员情况的调查与思考》、《对学生食堂就餐人流量的分布规律探讨》、《对学生公寓楼厕所坑位数目的合理设计》、《对大学生晚自习状况的统计分析》、《对家乡城市园林无障碍设施设计的调查报告》、《研究和比较几种体育记分法的公平性》、《对商场“买100元返88元”促销活动的分析》、《用正态分布验算个人所得税起征点调整的合理性》、《学生上网时间的数学分析》、《关于话费节省的函数思考》。学生论文的选题很广，内容也很新颖。透过这些论文，我们可以看到学生对社会问题的关注、看到文科学生所特有的敏锐洞察力与文采、看到学生试图从数学的角度去观察问题、解决问题所做出的努力、看到学生亲手应用数学后的兴奋与自豪。有学生在交给老师论文时高兴地说，“没有想到自己能写出这样精彩的数学论文”。
我们感到学生撰写数学小论文是一种非常适合文科学生特点的教学方式，它对于培养学生的创新实践能力具有很好的效果。这种创新实践能力表现在两个方面，一一是创新的技能，二是创新的精神。在创新的技能方面，撰写数学小论文培养和锻炼了学生发现问题、明确问题、阐述问题、组织问题和输出问题解决方案的能力。在创新精神方面，撰写数学小论文激发了学生的独立性、自信心和意志力，而这些都是人从事创新活动的动力、是创新精神的重要组成部分。通过布置小论文的作业我们发现，一般新生的独立性都不够强。每当我们宣布写小论文的事，学生们都会不约而同地发出惊讶的“啊”声。他们认为，自己的数学知识有限、数学学得也不够好，不可能有独到的见解和新颖的发现。经过近一年数学教学和学生个人的努力，一些学生最终写出了有创意的论文。这无疑是他们破除迷信、增强了独立性的结果。因此说，撰写数学小论文有利于培养学生的独立性。撰写数学小论文还有助于提升学生的自信心。由于自信心是人获得成功体验的产物，因此，一旦学生在自己相对薄弱的领域写出了有创新点的论文，他们成功的体验将会更深切，自信心增强的幅度会更大。撰写数学小论文还很好地锻炼了学生的意志力。我国中小学生写论文训练不多。文科生要在大学一年级自己确定选题作有关数学的论文，确实会遇到不少困难。这其中既有心理和认识上的困难，又有方法和技术上的困难。但也正是由于这些困难才更能磨砺学生的意志。学生撰写数学小论文所受到的锻炼是多方面的。因此我们认为，文科学生以这种研究性的方式学习高等数学有利于培养他们的创新实践能力。
文科大学生由学习高等数学培养起来的创造性思维和创新实践能力，实际上是一种创新的素质。这种创新素质就像一颗种子，日后它会生根发芽、开花结果。
[责任编辑：陈立民]