2005年重庆第16题）联结抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）．
　　① 菱形，② 有3条边相等的四边形，③ 梯形，④ 平行四边形，⑤ 有一组对角相等的四边形．
　　本小题是一个区分度较高的试题，很多学生无从下手，因其是几何作图的存在性问题，所以没有办法构造出适合题意的四边形，要根据以往的解题经验进行联想，从而构造出特殊的四边形，特殊化是解决此题的思维利器．显然，平行四边形和菱形不可能，梯形是可能的．
　　条件②有3条边相等的四边形，如图1所示，构造如下：设点D是抛物线的顶点，点A，C是抛物线上关于其对称轴对称的两点，以点C为圆心，DC为半径作圆交抛物线于点B，联结AB，BC，CD，DA所得四边形就适合题意．
　　 图1 图2 条件⑤有一组对角相等的四边形，如图2所示，设A是抛物线顶点，过点A作两条互相垂直的直线交抛物线于点B，D，以线段BD为直径作圆与抛物线交于点C，则四边形ABCD适合题意（因为圆和抛物线均为二图3 次曲线，只要它们不是相切的特殊位置，其公共点应该成对出现，由于已经存在3个公共点，必有第4个公共点）；或者如图3所示：设A、C为抛物线上任意两点，只要AC与抛物线的对称轴不垂直，则作线段AC的垂直平分线交抛物线于点B、D（因为线段AC的中点在抛物线的内部，则过抛物线内部的点的直线必与抛物线交于两点），易得四边形ABCD的一组对角∠BCD=∠BAD，故适合题意．
　　对于一般圆锥曲线f(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，令 Δ=B2-4AC,若
　　Δ＜0，则 f(x,y)=0为椭圆型；若Δ=0，则
　　f(x,y)=0为抛物线型，若Δ＞0，则 f(x,y)=0为双曲线型．
　　性质若直线AB的方程为F1（x,y)=0，直线BC的方程为F2（x,y)=0，直线CD的方程为F3（x,y)=0，直线DA的直线方程为F4（x,y)=0，则方程F1(x,y)·F3（x,y)+λF2(x,y)·F4（x,y)=0表示过A，B，C，D四点的二次曲线方程（其中λ为参数）．
　　证明④平行四边形．
　　证明： 设Ax+By+Ci=0 (i=1,2), A′x+B′y+C′i=0 (i=1,2)分别为一平行四边形的两组对边，则过其四个顶点的二次曲线系为：
　　（Ax+By+C1)(Ax+By+C2)+λ(A′x+B′y+C′1)(A′x+B′y+C′2)=0，其中 x2的系数为A2+λA′2, y2的系数为B2+λB′2，xy的系数为2（AB+λA′B′)，而
　　Δ=4(AB+λA′B′)2-4(A2+λA′2)(B2+λB′2)=-4λ(AB′-A′B)
　　又 λ≠0，A A′ ≠ B B′ ，故 Δ≠0，故二次曲线方程不表示抛物线．
　　①菱形是特殊的平行四边形，显然不可能．
　　证明③梯形
　　证明： 设梯形EFGH，其中EF： Ax+By+C1=0, GH:Ax+By+C2=0， FG：A1x+B1y+C3=0, HE: A2x+B2y+C4=0，则过其四个顶点的二次曲线系为：（Ax+By+C1)(Ax+By+C2)+λ(A1x+B1y+C3)(A2x+B2y+C4)=0，其中x2的系数为A2+λA1A2，y2的系数为B2+λB1B2，xy的系数为2AB+λ(A1B2+A2B1)，而
　　Δ=［2AB+λ(A1B2+A2B1)］2-4(A2+λA1A2)(B2+λB1B2)=
　　(A1B2-A2B1)2λ2+［4AB(A1B2+A2B1)-4A2B1B2-4B2A1A2］λ
　　因为直线FG与HE不平行，所以 A1B2≠A2B1 即 A1B2-A2B1≠0
　　Δ′=［AB(A1B2+A2B1)-A2B1B2-B2A1A2］2=［(AB1-BA1)(AB2-BA2)］2
　　又因为 EF∥GH，FG与EF不平行，HE与EF不平行，所以 AB1-BA1≠0，AB2-BA2≠0， 则 Δ′＞0恒成立，即存在λ≠0使得Δ=0成立，故二次曲线方程可表示抛物线．
　　证明②有3条边相等的四边形．
　　证明： 设四边形为ABCD且BC=CD=DA=2a，以CD为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立如图4所示坐标系，则 C（-a,0), D(a,0)，设直线AD的倾斜角为α (0≤α＜π)，直线BC的倾斜角为 β (0≤β＜π)
　　则 A（2acosα, 2asinα), B(2acosβ, 2asinβ)
　　直线AD： y=tanα(x-a)，
　　即 tanα·x-y-atanα=0，
　　直线BC：y=tanβ(x+a)，
　　即 tanβ·x-y+atanβ=0，
　　直线CD： y=0
　　直线AB的斜率
　　kAB= 2asinα-2asinβ 2acosα-2acosβ = sinα-sinβ cosα-cosβ .
　　直线AB： y-2asinα= sinα-sinβ cosα-cosβ (x-2acosα) 即 （sinα-sinβ)x-(cosα-cosβ)y+2asinα(cosα-cosβ)-2acosα(sinα-sinβ)=0，
　　则过ABCD四点的二次曲线系为：
　　［(sinα-sinβ)x-(cosα-cosβ)y+2asinα(cosα-cosβ)-2acosα(sinα-sinβ)］y+λ(tanα-y-atanα)(tanβ·x-y+acosβ)=0，其中x2的系数为λtanαtanβ，y2的系数为λ-(cosα-cosβ)，xy的系数为（sinα-sinβ)-λ(tanα-tanβ)，而
　　Δ=［(sinα-sinβ)-λ(tanα+tanβ)］2-4λtanαtanβ［λ-(cosα-cosβ)］=
　　(tanα-tanβ)λ2+2(tanβ-tanα)(sinα+sinβ)λ+(sinα-sinβ)2
　　当 α=β时，四边形ABCD为菱形，二次曲线方程不表示抛物线．
　　当α≠β时，Δ′=4(tanβ-tanα)2(sinα+sinβ)2-4(tanα-tanβ)2(sinα-sinβ)2=
　　16(tanα-tanβ)2sinαsinβ
　　又因为 0≤α＜π，0 ≤β＜π，所以 Δ′＞0恒成立，即存在 λ≠0使Δ=0成立，故二次曲线方程可表示抛物线．
　　 图4 图5 证明⑤有一组对角相等的四边形．
　　证明： 取符合上述条件的特殊的四边形ABCD且∠ABC=∠ADC, AB=AD，BC=CD，则对角线AC与BD垂直，以BD所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图5所示的坐标系，则A（0,b), B(-a,0), C(0,c), D(a,0)
　　直线AD：x a + y b =1 即 bx+ay-ab=0，
　　直线AB： x -a + y b =1 即 bx-ay+ab=0,
　　直线BC：x -a + y -c =1 即 cx+ay+ac=0，
　　直线CD：x a + y -c =1 即 cx-ay-ac=0．
　　则过ABCD四点的二次曲线系为：
　　（bx+ay-ab)(cx+ay+ac)+λ(bx-ay+ab)(cx-ay-ac)=0
　　其中x2的系数为（1+λ)bc， y2的系数为（1+λ)a2，xy的系数为（1-λ)(ab+ac)，而
　　Δ=(1-λ)2(ab+ac)2-4(1+λ)2a2bc=
　　a2{(b-c)2λ2-［2(b+c)2+8bc］λ+(b-c)2}
　　当b=c时，四边形ABCD为菱形，二次曲线方程不表示抛物线．
　　当b≠c时，Δ′=［2(b+c)2+8bc］2-4(b-c)2(b-c)2=
　　8(b2+c2)bc+32(b+c)2bc+64b2c2
　　又因为 a＞0, b＞0, c＞0，所以 Δ′＞0恒成立，所以存在λ≠0使得Δ=0，故二次曲线方程可表示抛物线．
　　
　　注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文