平面向量是数与形联系的纽带，它既有数的相关运算，又有形的结构特点，具有代数与几何的双重身份.近年来一些短小精悍的平面向量题时有考查，题目多以选择填空的形式出现. 这类问题往往条件不多，注重对思维能力的考查，难度较大，往往感到无从入手.
　　策略1 用基底，体会转化与化归思想的运用
　　根据平面向量基本定理，任何向量都可用不共线的两个向量线性表示.解决问题时，通常选取两个模长和夹角或易求的向量作为基底，然后将未知的向量用基底表示出来，体现了转化与化归的数学思想.
　　例1 如图，在平行四边形[ABCD]中，[∠BAD=][π3]，边[AB]，[AD]的长分别为2，1，若[M]，[N]分别是边[BC]，[CD]上的点，且满足[BMBC=CNCD]，则[AM?AN]的取值范围 .
　　解析 设[BMBC=CNCD=k]，[k∈[0，1]]，
　　则[AM=AB+BM=AB+kAD]，
　　[AN=AD+DN=AD+（1-k）DC=（1-k）AB+AD.]
　　∵[AB=2，AD=1]，[∠BAD=60°]，
　　∴[AB?AD=2×1×cos60°=1.]
　　∴[AM?AN=（AB+kAD）?[（1-k）AB+AD]]
　　[=（1-k）AB2+AB?AD+k（1-k）AD?AB+kAD2]
　　[=4（1-k）+1+k（1-k）+k=-k2-2k+5=-（k+1）2+6]
　　∵[k∈[0，1]]，∴[-（k+1）2+6∈[2，5]]，
　　即[AM?AN]的取值范围是[[2，5]].
　　点拨 本题中已知[AB]，[AD]的长度及[∠BAD]的大小，于是选择[AB]，[AD]为基向量，利用平面向量的运算，将[AM]，[AN]转化成[AB]，[AD].
　　策略2 用坐标，体会函数、方程思想的运用
　　向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入坐标系后将向量运算完全代数化，这样可将许多几何问题转化为大家熟知的数量运算.
　　例2 已知直角梯形[ABCD]中，[AD∥BC]，[∠ADC=90°]，[AD=2]，[BC=1]，点[P]是腰[DC]上的动点，则[PA+3PB]的最小值为 .
　　解析 以[D]为坐标原点，[DA]，[DC]所在直线分别为[x]，[y]轴建立如图直角坐标系.
　　设[DC=a]，[DP=y]，[y∈[0，a]]，
　　则[A（2，0）]，[B（1，a）]，[P（0，y）].
　　则[PA=（2，-y）]，[PB=（1，a-y）].
　　则[PA+3PB=（5，3a-4y）].
　　∴[PA+3PB=25+（3a-4y）2].
　　∵[y∈[0，a]]，
　　∴[y=3a4]时，[|PA+3PB|min=5].
　　策略3 构图形，体会数形结合思想的运用
　　例3 已知平面向量[α]，[β]（[α≠0]，[β≠0]，[α≠β]），满足[β=1]，且[α]与[β-α]的夹角为[120°]，则[α]的取值范围是 .
　　解析 如图，记[AB=α]，[AC=β]，
　　则[BC=β-α].
　　∵[|β|=1]，且[α]与[β-α]的夹角为[120°]，
　　∴在[ΔABC]中，[AC=1]，[B=60°].
　　由正弦定理知[ACsinB=ABsinC].
　　即[AB=233sinC]，[C∈（0，2π3）.]
　　∴[AB∈（0，233]]，即[α∈（0，233]].
　　1. 如图，在矩形[ABCD]中，[AB=2 ， BC=2 ， ]点[E]为[BC]的中点，点[F]在边[CD]上，若[AB?AF=2]，则[AE?BF]的值是 .
　　2. 若平面向量[α，β]满足[α=1，β1]，且以向量[α，β]为邻边的平行四边形的面积为[12]，则[α]与[β]的夹角[θ]的取值范围是 .
　　
　　1. [2] 2. [θ∈π6，5π6]