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笔者有幸聆听了全国著名特级教师李庾南老师的“因式分解”这节课，可以说品味了跨越时空的一次课堂盛宴，让我再次惊慕李老师的大手笔。“淡中知真味，常里识英奇”，李老师在看似平淡的课堂上，演绎了一段精彩的学习之旅，引领了新课程理念下数学课堂的价值走向。其整合之力、设计之巧、引导之妙、选题之当、爱生之深在李老师的课堂中流淌出来，宛若玉浆琼液，透着芳香。本文撷取李老师这节课的两个教学片段进行赏析，与众同仁交流。
铺设温床，孕育新知
师：现在我请同学们计算，并且进行比赛，看谁完成的速度最快？
（多媒体展示）计算：
1. （x+y+1）2-x（x+y+1）-y（x+y+1）；
2.（x+1）2-2（x+1）+1；
3.（a+b+c）2-（a-b-c）2。
（生开始计算，师巡视）
师：好，现在有同学做好了，下面请这位同学说说他怎么算的？
生1：我把每一个因式里的相同因式“x+y+1”都提出来。
师（打断后追问）：是每一个因式还是每一项？
生1：每一项。
师：好！他发现每一项都有一个因式“x+y+1”，所以他就把它提出来了，提出来后的另外一个因式是什么？
生1：是“x+y+1-x-y”。
师：计算的结果等于多少？
生1：x+y+1。
师：你这样做的依据是什么？
生1：乘法分配律的逆应用。
师：你把它逆过来用了。谁还记得乘法分配律怎样用式子表示？
生2：m（a+b+c）=ma+mb+mc。
师：正确，你把分配律反过来用，该怎样表示？
生2：ma+mb+mc=m（a+b+c）。
师：由于把分配律反过来用了，所以就使得运算速度变快了。
师（讲解）：我看有些同学不是这么做的，他们把（x+y+1）2看成x+y+1乘x+y+1的积，有些同学先把积化成了和，再把后面的做乘法，最后做加法，可这样一来，做的速度就慢了，是不是？
由此可见，有时候计算，我不先求积，我把积化成了和，然后再来计算。有的时候，我们不先求和而是先把和化成积，这两种互逆的运用，要根据具体的情况来选用。那第2题，除了刚才那位同学，谁还做好了？
生3：它就等于x加1再减1括号的平方。
师（边重述学生的说法边板书）：原式=[（x+1）-1]2，它就等于多少？
生3：x的平方。
师：那你上来讲一讲为什么这样做？
生3（上台）：因为我看到这个式子，我感觉它就是完全平方公式乘出来的一个结果，我想把它逆过来用。如果逆过来用的话，那么它就等于[（x+1）-1]2。
…………
师：由于他认真地观察式子的特点，发现是一个完全平方式，他就反回来用了，就使得运算简便、迅速，很快就得到结果，那第3题呢？
…………
师：由于我们的同学巧妙地把运算法则或者公式反过来用，反过来用和正着用，观察一下有什么不同？
…………
师：我们运算时，有的时候先求积再求和比较方便，可有的时候根据算式的特点，比如说，第一题可看作是三项的和，我们不先求和，而是先把和化成积，就使得运算简单。正因此，所以我们不仅要研究积如何化成和，我们还要反过来研究特殊的和怎样化成积，把和化成积。这种变形叫因式分解。这就是我们今天要研究的课题！（板书：因式分解）
师：我们研究一个新的概念的时候，首先该研究什么？
生：定义。
…………
师（对照板书慢速讲解并强调要点）：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或者叫分解因式。变形前是多项式，变形后是整式的积！
李老师创设的教学情景并非脱胎于实际问题，而是以3道特殊计算题为载体，烘托出看谁算得又对又快的比赛情境。通过生1、生2、生3等算得快的同学自我阐释，暴露各自思维的轨迹，揭示出算得快的原因是逆用了乘法公式或运算律，让学生感知计算时用简便方法能更快更好地获得答案，从而激发起好奇心、求知欲。这能让学生先初步产生“分解因式”的印象，进而感悟“因式分解”是“和化积”与“整式乘法”是“积化和”的互逆过程。而这当中的每一道题都有其不同的目的和功能，通过计算的体验和正反对比，对生成概念、提炼概念、完善概念，都起到了积极的促进作用。这种基于数学的内部发展迸发出的力量，有效地调动了学生参与的积极性，在一种自然而然中，新的知识在李老师搭建的温床上孵化出来，没有丝毫的生拖硬拽。
多维对话，以知孕情
分解因式：
1.3a3b-12ab3 ；
2.（p-q）2-2（q-p） ；
3.（a2+b2）2-4a2b2。
（师安排学生板演）
师：三个题目做好了就小组交流：每个题怎么分解因式？方法是不是只有一个？
（5分钟后，小组交流、讨论）
师：好，同学们看黑板，第1题，做到3ab（a2-4b2）这个结果的请举手。
（生大部分举手，少部分没举）
师：大部分同学是这个结果，不是这个结果的同学上台讲一讲自己怎么做的？
生：我看到a2-4b2是一个平方差，它还可以化为（a+2b）（a-2b）。
师：不同的意见很正常，大家注意了，因式分解是把多项式化成几个整式的积的形式，大家一直认为，3a3b-12ab3有公因式3ab，提出后的另一因式为（a2-4b2），a2-4b2还能分解，要分解到不能再分解为止。 再看第2题（面对板演）：这个同学把（p-q）2变成了（q-p）2，哪个同学做的，你说一下你为什么这样做？
生：因为（p-q）与（q-p）互为相反数，我们知道互为相反数的平方是相等的。
师：对，回答得很好，互为相反数的平方相等，因此，取（p-q）为公因式呢？还是取（q-p）为公因式？方便的方法是变化有平方的；若取（p-q）为公因式，心算一下另一个因式是什么？
生：（p-q+2）。
师：这样两个式子不就不同了吗？不过我们做的时候，应该采用简化运算。是这样做的举手。
（生大多数举手）
师：还不错，我们看第3个题目，我发现有的同学不是这么做的，谁做的这个题目？上来讲一讲。
生：第二项可以化成“2ab”的平方，这样就可逆用平方差公式，得（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab），这一个括号里是完全平方式，就可化成（a+b）2，后边也同样化成了（a-b）2。
师：这里（a+b）2是一个多项式，是不是可以继续化简了——不可以；这里的（a-b）2也不可以化简了，所以就把它叫作分解完了；可是我看了下面有不少的同学不是这样的结果，不是这个结果的同学请举手。
…………
现代教学论认为：课堂教学除了知识对流的主线外，还有一条情感对流的主线。李老师在这一环节组织了两次大型交流：
一是第三组题目解答5分钟后的小组交流，这是在学生独立思考、独立解题后的基础上展开的。这种基于学生真切体验下的交流，学生已经拥有了交流的素材，每一位同学都会有话可说，交流得更加充分、深入，变大课堂统领为小课堂的格局，为教师的指导增强了针对性。小范围的互助互学、互促互进，为学生的个性发展搭建了优质的平台，在师生、生生的平等对话中，理顺思路，优化认识，在可视化思维的碰撞中，达至心灵的默契。这种厚实的真味课堂是对“没有独立思考就合作交流”等形式化课堂的有力反击，它摆正了学生的主体地位，实现了情与知的融汇。
二是全班交流。在对话中，不时有李老师那亲切的话语：“大家注意了！”“大家听清楚了吗？”“你还有什么问题吗？”，等等，她用欣赏口吻的课堂语言及其透射出的亲和力，营造出温馨的情感场，润泽着学生的心灵，流露出对学生的尊重，能让我们真切感受到学生始终是在一种心理安全、平等交流的氛围中轻松地学习。这种尊重本身就是真切的情感孕育，我们看到，李老师设置的练习环节，不是单纯地要求学生去解题，而是以此为载体，通过追问引领，驱动学生展开丰富的思维活动，实施高级的心智交流，在交流中享受数学带来的苦思冥想和浪漫情趣。
李老师的单元教学法，是基于整体建构下对教材整合的灵活把握，在本节课充分展露。李老师通过三组题目涵盖了所有知识点，承载起对概念、方法、原理的形成过程的研究，只用了一节课把因式分解的全貌勾勒出来，是那样的顺乎自然。这种大胆的尝试，其实对李老师来说是常态的，本堂课彰显出李老师对教材的深刻理解和对课堂的调控能力，可谓是对“不是教教材，而是用教材教”的最好的诠释，是新理念的践行注脚。
本堂课，看似波澜不惊，甚至在有些人眼里实在是平淡，但就在这平淡之中，数学教学的真谛通过课堂的教学活动外化出来。不难发现，两个教学环节中有一个关键词反复出现——逆应用，这个词本身很平凡，岂知这就是本节课的内核，从逻辑关联的角度看，本节课其实没什么新的东西，无非就是把原来的法则反过来用，可就是这么一个反过来即为新知的构建、概念的建构在不经意间落成，看似随意挥洒，实则是李老师的精心策划。 （作者单位：山东省滨州市北镇中学初中部）
责任编辑 周瑜芽
E-mail：jxjyjzyyl@163.com
铺设温床，孕育新知
师：现在我请同学们计算，并且进行比赛，看谁完成的速度最快？
（多媒体展示）计算：
1. （x+y+1）2-x（x+y+1）-y（x+y+1）；
2.（x+1）2-2（x+1）+1；
3.（a+b+c）2-（a-b-c）2。
（生开始计算，师巡视）
师：好，现在有同学做好了，下面请这位同学说说他怎么算的？
生1：我把每一个因式里的相同因式“x+y+1”都提出来。
师（打断后追问）：是每一个因式还是每一项？
生1：每一项。
师：好！他发现每一项都有一个因式“x+y+1”，所以他就把它提出来了，提出来后的另外一个因式是什么？
生1：是“x+y+1-x-y”。
师：计算的结果等于多少？
生1：x+y+1。
师：你这样做的依据是什么？
生1：乘法分配律的逆应用。
师：你把它逆过来用了。谁还记得乘法分配律怎样用式子表示？
生2：m（a+b+c）=ma+mb+mc。
师：正确，你把分配律反过来用，该怎样表示？
生2：ma+mb+mc=m（a+b+c）。
师：由于把分配律反过来用了，所以就使得运算速度变快了。
师（讲解）：我看有些同学不是这么做的，他们把（x+y+1）2看成x+y+1乘x+y+1的积，有些同学先把积化成了和，再把后面的做乘法，最后做加法，可这样一来，做的速度就慢了，是不是？
由此可见，有时候计算，我不先求积，我把积化成了和，然后再来计算。有的时候，我们不先求和而是先把和化成积，这两种互逆的运用，要根据具体的情况来选用。那第2题，除了刚才那位同学，谁还做好了？
生3：它就等于x加1再减1括号的平方。
师（边重述学生的说法边板书）：原式=[（x+1）-1]2，它就等于多少？
生3：x的平方。
师：那你上来讲一讲为什么这样做？
生3（上台）：因为我看到这个式子，我感觉它就是完全平方公式乘出来的一个结果，我想把它逆过来用。如果逆过来用的话，那么它就等于[（x+1）-1]2。
…………
师：由于他认真地观察式子的特点，发现是一个完全平方式，他就反回来用了，就使得运算简便、迅速，很快就得到结果，那第3题呢？
…………
师：由于我们的同学巧妙地把运算法则或者公式反过来用，反过来用和正着用，观察一下有什么不同？
…………
师：我们运算时，有的时候先求积再求和比较方便，可有的时候根据算式的特点，比如说，第一题可看作是三项的和，我们不先求和，而是先把和化成积，就使得运算简单。正因此，所以我们不仅要研究积如何化成和，我们还要反过来研究特殊的和怎样化成积，把和化成积。这种变形叫因式分解。这就是我们今天要研究的课题！（板书：因式分解）
师：我们研究一个新的概念的时候，首先该研究什么？
生：定义。
…………
师（对照板书慢速讲解并强调要点）：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或者叫分解因式。变形前是多项式，变形后是整式的积！
李老师创设的教学情景并非脱胎于实际问题，而是以3道特殊计算题为载体，烘托出看谁算得又对又快的比赛情境。通过生1、生2、生3等算得快的同学自我阐释，暴露各自思维的轨迹，揭示出算得快的原因是逆用了乘法公式或运算律，让学生感知计算时用简便方法能更快更好地获得答案，从而激发起好奇心、求知欲。这能让学生先初步产生“分解因式”的印象，进而感悟“因式分解”是“和化积”与“整式乘法”是“积化和”的互逆过程。而这当中的每一道题都有其不同的目的和功能，通过计算的体验和正反对比，对生成概念、提炼概念、完善概念，都起到了积极的促进作用。这种基于数学的内部发展迸发出的力量，有效地调动了学生参与的积极性，在一种自然而然中，新的知识在李老师搭建的温床上孵化出来，没有丝毫的生拖硬拽。
多维对话，以知孕情
分解因式：
1.3a3b-12ab3 ；
2.（p-q）2-2（q-p） ；
3.（a2+b2）2-4a2b2。
（师安排学生板演）
师：三个题目做好了就小组交流：每个题怎么分解因式？方法是不是只有一个？
（5分钟后，小组交流、讨论）
师：好，同学们看黑板，第1题，做到3ab（a2-4b2）这个结果的请举手。
（生大部分举手，少部分没举）
师：大部分同学是这个结果，不是这个结果的同学上台讲一讲自己怎么做的？
生：我看到a2-4b2是一个平方差，它还可以化为（a+2b）（a-2b）。
师：不同的意见很正常，大家注意了，因式分解是把多项式化成几个整式的积的形式，大家一直认为，3a3b-12ab3有公因式3ab，提出后的另一因式为（a2-4b2），a2-4b2还能分解，要分解到不能再分解为止。 再看第2题（面对板演）：这个同学把（p-q）2变成了（q-p）2，哪个同学做的，你说一下你为什么这样做？
生：因为（p-q）与（q-p）互为相反数，我们知道互为相反数的平方是相等的。
师：对，回答得很好，互为相反数的平方相等，因此，取（p-q）为公因式呢？还是取（q-p）为公因式？方便的方法是变化有平方的；若取（p-q）为公因式，心算一下另一个因式是什么？
生：（p-q+2）。
师：这样两个式子不就不同了吗？不过我们做的时候，应该采用简化运算。是这样做的举手。
（生大多数举手）
师：还不错，我们看第3个题目，我发现有的同学不是这么做的，谁做的这个题目？上来讲一讲。
生：第二项可以化成“2ab”的平方，这样就可逆用平方差公式，得（a2+b2+2ab）（a2+b2-2ab），这一个括号里是完全平方式，就可化成（a+b）2，后边也同样化成了（a-b）2。
师：这里（a+b）2是一个多项式，是不是可以继续化简了——不可以；这里的（a-b）2也不可以化简了，所以就把它叫作分解完了；可是我看了下面有不少的同学不是这样的结果，不是这个结果的同学请举手。
…………
现代教学论认为：课堂教学除了知识对流的主线外，还有一条情感对流的主线。李老师在这一环节组织了两次大型交流：
一是第三组题目解答5分钟后的小组交流，这是在学生独立思考、独立解题后的基础上展开的。这种基于学生真切体验下的交流，学生已经拥有了交流的素材，每一位同学都会有话可说，交流得更加充分、深入，变大课堂统领为小课堂的格局，为教师的指导增强了针对性。小范围的互助互学、互促互进，为学生的个性发展搭建了优质的平台，在师生、生生的平等对话中，理顺思路，优化认识，在可视化思维的碰撞中，达至心灵的默契。这种厚实的真味课堂是对“没有独立思考就合作交流”等形式化课堂的有力反击，它摆正了学生的主体地位，实现了情与知的融汇。
二是全班交流。在对话中，不时有李老师那亲切的话语：“大家注意了！”“大家听清楚了吗？”“你还有什么问题吗？”，等等，她用欣赏口吻的课堂语言及其透射出的亲和力，营造出温馨的情感场，润泽着学生的心灵，流露出对学生的尊重，能让我们真切感受到学生始终是在一种心理安全、平等交流的氛围中轻松地学习。这种尊重本身就是真切的情感孕育，我们看到，李老师设置的练习环节，不是单纯地要求学生去解题，而是以此为载体，通过追问引领，驱动学生展开丰富的思维活动，实施高级的心智交流，在交流中享受数学带来的苦思冥想和浪漫情趣。
李老师的单元教学法，是基于整体建构下对教材整合的灵活把握，在本节课充分展露。李老师通过三组题目涵盖了所有知识点，承载起对概念、方法、原理的形成过程的研究，只用了一节课把因式分解的全貌勾勒出来，是那样的顺乎自然。这种大胆的尝试，其实对李老师来说是常态的，本堂课彰显出李老师对教材的深刻理解和对课堂的调控能力，可谓是对“不是教教材，而是用教材教”的最好的诠释，是新理念的践行注脚。
本堂课，看似波澜不惊，甚至在有些人眼里实在是平淡，但就在这平淡之中，数学教学的真谛通过课堂的教学活动外化出来。不难发现，两个教学环节中有一个关键词反复出现——逆应用，这个词本身很平凡，岂知这就是本节课的内核，从逻辑关联的角度看，本节课其实没什么新的东西，无非就是把原来的法则反过来用，可就是这么一个反过来即为新知的构建、概念的建构在不经意间落成，看似随意挥洒，实则是李老师的精心策划。 （作者单位：山东省滨州市北镇中学初中部）
责任编辑 周瑜芽
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