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摘 要：中职学生初学立体几何入门阶段，通常会遇到三大难点，一是建立空间概念难，二是立体几何语言表达难，三是定理不理解、记不住、不会用。克服这三个难点，仅仅靠教师多讲是远远不够的，首先要引导学生对实物模型进行观察，形成充分的感性认识，立足中职学生的基本学情，通过实物模型观察、看图、画图、核心定理分析与应用等训练阶梯，引导学生拾阶而上，步步推进，过好立体几何入门关。
关键词：识图 作图 符号语言 转化思想 数学模型
中职立体几何的教学，肩负对学生空间想象能力和逻辑思维能力的培养，但是不管从高职考试立体几何的低得分率来看，还是从教学现状来看，立体几何一直是中职学生的学习难点。究其原因，从学生学的层面看，既有知识性的原因，如中职学生在初中阶段对平面几何知识掌握不够扎实，也有能力性与心理性的原因;从教师教的层面上看，主要是因为教师没有把握好立体几何教学的起点和立足点，在学生没有充分建立空间感和空间概念的前提下，为了追求教学进度，急于求成，忽视了实物观察、识图绘图训练的重要性，从而导致学生出现空间图形认知障碍，使学生无法将画在纸上的立体几何直观图与空间模型联系起来，更不要说把头脑中的空间图形跃然纸上，或是难以用数学语言规范地表达出来。
按照布鲁纳的认知结构理论，任何知识的学习应该既是自然的，又是必然的，既要有循序渐进、自然生成的过程，又要遵循认知的必然规律，逐步深化，使其智慧生长。因此立体几何的教学应当放慢脚步，先引导学生充分经历对实物模型的观察与感知，训练学生的识图与绘图能力，掌握文字语言、符号语言与图形语言之间的相互转换;逐步建立空间感和空间概念，并在此基础上，对立体几何的基本概念和核心定理进行深入剖析，建立基本的解题模型，才能实现从二维平面到三维空间的跨越，为立体几何的后续学习打下坚实的基础。
一、开展模型展览 —— 注重空间体验
立体几何学习的第一步是在头脑中对客观实物的原型或模型建立数学表象，这是识图（观察直观图）、画图、建立数学概念的起点，同时积累丰富的感性认识，才能为形象思维提供广阔的天地，为向抽象思维过渡打好基础。虽然很多教师也意识到了感性认识的重要性，在课堂中借助铅笔、木棒等实物让学生摆一摆、或是展示一些常见立体几何模型让学生看一看，但是投入的时间是远远不够，以中职学生的数学能力，很难在短时间内对空间图形形成充分的感性认识，难以建立数学表象。
更有效的方法是开展立体几何模型“展览”活动课，带领学生零距离接触立体几何模型。首先可以挑选一些数学能力和动手能力较强的学生，成立模型制作小组，通过教师指导、小组合作交流，在制作模型的过程中，让这部分学生对立体几何内部结构的感性认知先丰富起来，引导他们用数学语言把立体几何的内部结构、线与面的位置关系讲出来，进而培养一批优秀的“展览”活动讲解员。
另外常见的立体几何模型尽量的大一些，比如：正方体、长方体、正三棱柱（锥）、正四棱柱（锥），这样在展览与讲解的过程中，更有利于帮助学生形成充分的感性认识，建立立体图形的空间感。同时要将立体几何基本概念制作成标签贴在模型上，比如：长方体的体对角线，正三棱锥、四棱锥的高与斜高等等中职立体几何的核心概念，初步渗透立体几何的基本概念。教师还需要精心设计活动课导学案，引导学生在老师和讲解员的带领下，用数学的眼光对模型进行自主观察、合作探究，解决导学案上提出问题，使展览活动课能够有的放矢。
显然这种以实物展览、讨论研究为手段的学习方式，更能充分激发学生的学习兴趣，调动学生自主学习的积极性，在实际教学过程中取得了良好的效果，也为下一阶段的识图（认识立体平面直观图）做好准备。
二、强化识图训练 —— 突破语言障碍
对平面直观图的观察与分析是学生在头脑中将实物模型“平面化”的过程，也是学生在思维中建立空间概念的关键，要逐渐引导学生将直观图中的“点、线、面”与实物模型的内部结构联系起来，并使学生掌握用文字语言、符号语言来表达“点、线、面”之间的位置关系。由于初中长时间平面几何学习而产生的负迁移与空间想象能力的缺失，部分学生会用观察平面几何的方式对待立体几何直观图，从而导致空间图形的“失真”，使学生的形象思維向抽象思维上升的过程中遇到认知障碍。突破一难点需要从以下三点入手：
（一）在实物模型与直观图之间搭建认知阶梯。教师首先可以向学生展示实物模型的照片，再借助立体几何画板、几何图霸等3D做图软件，通过对上下、左右、前后翻转，引导学生从多角度观察直观图，使学生能看清楚直观图中线、面的位置关系以及角度的视觉变化。
（二）对空间概念、符号语言进行深入的解析，既知其然，又知其所以然，把隐藏在知识背后的理性思考激活。比如：平面的表示方法。为什么在空间中要用平行四边形来表示一个平面？学生对此提出了疑问，为什么不用长方形来表示平面？教材上并没有解释用平行四边形来表示一个平面的原因。事实上用长方形表示平面确实更加简单直观，但是当长方形在空间中“斜放”的时候，长方形的四个内角有些看成了钝角，有些看成了锐角，这是由于视觉观察造成的偏差。
再比如：在学习符号语言时，需要将“点运动产生线、线运动产生面”这种运动思想与集合思想相结合，引导学生用点（元素）与集合的关系、集合与集合的关系来理解立体几何的符号语言，搞清楚符号含义，避免符号混淆和错用。如：为什么直线在平面上，记作：平面，而点在平面上，记作：平面。
（三）对图形语言、文字语言、符号语言之间的相互转化进行充分训练，帮助学生克服表达和书写障碍。对于中职学生来说，记忆立体几何的相关的概念、符号犹如背英语单词枯燥、容易忘，因此可以采取猜谜语的方式，将符号语言的理解和记忆融入到游戏中去，寓教于乐，提高学生学习立体几何的兴趣和信心。同时在边玩边学的过程中，逐步对线线、线面、面面之间的位置关系逐步进行梳理，使学生掌握用三种数学语言来表示线线、线面、面面，帮助学生初步建立立体几何的知识网络。 三、引导规范作图 —— 提升分析能力
立体几何的作图与学生的空间想象能力联系密切，与解题关系极大，解决立体几何问题，很多时候不是想出来，而是“画”出来的。如果说看图、辨图是学生在头脑中对模型建立表象的过程，那么画图就是几何图形表象输出与表达，对中职学生提出了较高的要求。因此要降低起点，由易到难，逐步训练学生作图能力;同时鼓励学生多画、有目的有方法的画，养成规范作图的良好习惯。
（一）学生的作图训练首先应该从基本图形的课堂临摹开始，再通过教师演示作图的基本步骤，引导学生在模仿中，掌握直观图的作图基本规则。比如：在用斜二测法作正方形（体）、长方形（体）直观图时，要特别强调画直观图的基本步骤与关键点，以及虚线、实线的准确使用。搞清楚先画什么？后画什么？为什么要某些直角在直观图中要对应画成45度，边长要缩小一半？另外还可以采取“静物写生”的方法训练学生的作图能力，即根据实物或模型画直观图， 这种画图训练学生能灵活地调整视图角度，从多角度观察模型内部结构，尤其是对于那些空间想象能力较差的学生帮助特别大。
（二）由于提升作图能力需要给予学生足够的练习时间，其中对典型图形进行变式训练可以有效的提高学生识图、辨图、作图能力。比如作出不同形式的异面直线、二面角，再加以对比分析。另外要重视典型的错图反例展示和分析，引导学生在合作谈论纠错的过程中，逐步掌握各类常见空间图形的正确作图方法
（三）引导学生掌握根据文字语言、符号语言来作空间图形。比如：作平面、平面，使;再比如：过正三棱锥的底面中心作侧面上斜高的垂线等等。显然这对于中职学生来说会具有一定的难度，所以要尽量与实物模型相结合，或者利用3D做图软件对直观图进行翻转观察，以此训练学生对图形结构分析能力。
四、突出核心定理 —— 建立转化模型
在中职立体几何入门学习阶段，除了空间概念的建立和做图能力、空间想象能力的培养，学生还熟练掌握相关的公理、定理，才能触及立体几何的灵魂------推理证明。但是立体几何的定理繁多，容易混淆，中职学生在对定理理解和记忆方面有很大的难度，而用定理进行推理证明就更难。因此教师要从学生的实际需求和能力出发，依据高职考试大纲的要求，为学生减负。
（一）加强核心定理的剖析和应用，把教学的重点放在推理论证基本方法的掌握上，以此来提高学生的推理论证能力。另外通过对近十年高职考试卷立体几何部分考题的分析与统计，其中使用最频繁的定理是线面垂直的性质定理和判定定理，比如：在求线面直线所成角和二面角的计算过程中，都要用到这两个定理。
1.由于中职学生的逻辑推理能力、抽象思维比较薄弱，容易出现推理不严谨、书写不规范的错误，因此可以通过找反例加以纠错，提高学生反思的能力，使推理论证真正做到“言之有理、落笔有据”。 比如：下列线与面垂直的判定定理中，如果去掉定理是否成立？请学生举出反例。
定理：“已知 ”
2.由于中职学生对立体几何的推理证明普遍存在畏惧心理，因此要创设教学情境，将推理论证的教学过程生活化，提高学生的学习兴趣和积极性。
比如：对三垂线定理的证明（虽然高职考对该定理应用不做要求，但是可以用以训练学生的推理论证能力）做出生活化的解释：如图1所示，当一束阳光垂直照射在地面上时，斜线就会在地面留下一条影子，如果地面上的一条铁棒与影子垂直，那么铁棒垂直于斜线。实际教学过程中，如何结合实物进行讲解，就把抽象的推理与学生的生活经验有效的结合起来，既降低了理解的难度，又提高了学习的趣味性。
（二）强化转化思想，建立解题基本模型。将空间问题转化为平面问题是立体几何最重要的解题方法之一。如高职考试经常出现的空间角（线线角、线面角、二面角）的计算问题，通常要将空间角转化为平面角，再进行计算。在解题过程中，学生通常会遇到两个难点，一是不知道如何转化，二是不知道如何表达，因此在教学中要对三种空间角计算题建立基本的解题模型，落实转化思想。
以如上的异面直线所成角的计算为例，第一步将两条异面直线平移成相交的状态，才能对其测量或计算，所以平行和相交就是将异面直线所成角转化为平面角的關键，两个条件缺一不可。第二步是求出平面角的大小，第三步求出空间的大小。
上述解题模型，同样适用于求解线面所成的角和二面角的大小。求线面所成角的关键在于找射影，求二面角的大小在于通过找垂线、作垂线，确定二面角的平面角。该解题模型看似简单，但中职学生掌握起来还是有一定的难度，因此可以解答部分以填空的形成呈现，比如上题中划线部分改成填空，由潜入深，搭建解题，帮助学生逐步掌握空间角的求解方法。另外在教学中，还可以用曹冲称象这个典故对该解题模型进行生活化的解释与巩固，使用在数学中或者生活中遇到“称象难题”时，也能灵活运用转化思想，为数学思想方法在生活中找到“用武之地”。
基于以上的思考，中职学生在立体几何的入门阶段会不可避免地出现许多问题，对此教师应当充分考虑中职学生的基本学情，降低教学起点，给予学生足够的练习操作与知识内化的时间，引导学生充分经历实物观察、识图作图、推理论证等过程，逐步对立体几何的本质做出深入探究，提升学生解决问题的能力，对学生未来的学习打下良好基础。
参考文献：
[1]郝莉莉. 直观性教学原则在中学数学中的运用与探讨[D].上海师范大学，2019.
[2]李海东. 基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考[J].数学教育学报，2019.
[3]张瑨南. 中学数学中平面几何与立体几何转化构建过程的探究[D].西北大学，2018.
[4]吴婉嘉. 高中生立体几何问题提出能力现状研究[D].湖南师范大学，2018.
[5]龙玉婧. 高中生立体几何学习中将文字语言转换为图形语言困难的研究[D].山东师范大学，2014.
关键词：识图 作图 符号语言 转化思想 数学模型
中职立体几何的教学，肩负对学生空间想象能力和逻辑思维能力的培养，但是不管从高职考试立体几何的低得分率来看，还是从教学现状来看，立体几何一直是中职学生的学习难点。究其原因，从学生学的层面看，既有知识性的原因，如中职学生在初中阶段对平面几何知识掌握不够扎实，也有能力性与心理性的原因;从教师教的层面上看，主要是因为教师没有把握好立体几何教学的起点和立足点，在学生没有充分建立空间感和空间概念的前提下，为了追求教学进度，急于求成，忽视了实物观察、识图绘图训练的重要性，从而导致学生出现空间图形认知障碍，使学生无法将画在纸上的立体几何直观图与空间模型联系起来，更不要说把头脑中的空间图形跃然纸上，或是难以用数学语言规范地表达出来。
按照布鲁纳的认知结构理论，任何知识的学习应该既是自然的，又是必然的，既要有循序渐进、自然生成的过程，又要遵循认知的必然规律，逐步深化，使其智慧生长。因此立体几何的教学应当放慢脚步，先引导学生充分经历对实物模型的观察与感知，训练学生的识图与绘图能力，掌握文字语言、符号语言与图形语言之间的相互转换;逐步建立空间感和空间概念，并在此基础上，对立体几何的基本概念和核心定理进行深入剖析，建立基本的解题模型，才能实现从二维平面到三维空间的跨越，为立体几何的后续学习打下坚实的基础。
一、开展模型展览 —— 注重空间体验
立体几何学习的第一步是在头脑中对客观实物的原型或模型建立数学表象，这是识图（观察直观图）、画图、建立数学概念的起点，同时积累丰富的感性认识，才能为形象思维提供广阔的天地，为向抽象思维过渡打好基础。虽然很多教师也意识到了感性认识的重要性，在课堂中借助铅笔、木棒等实物让学生摆一摆、或是展示一些常见立体几何模型让学生看一看，但是投入的时间是远远不够，以中职学生的数学能力，很难在短时间内对空间图形形成充分的感性认识，难以建立数学表象。
更有效的方法是开展立体几何模型“展览”活动课，带领学生零距离接触立体几何模型。首先可以挑选一些数学能力和动手能力较强的学生，成立模型制作小组，通过教师指导、小组合作交流，在制作模型的过程中，让这部分学生对立体几何内部结构的感性认知先丰富起来，引导他们用数学语言把立体几何的内部结构、线与面的位置关系讲出来，进而培养一批优秀的“展览”活动讲解员。
另外常见的立体几何模型尽量的大一些，比如：正方体、长方体、正三棱柱（锥）、正四棱柱（锥），这样在展览与讲解的过程中，更有利于帮助学生形成充分的感性认识，建立立体图形的空间感。同时要将立体几何基本概念制作成标签贴在模型上，比如：长方体的体对角线，正三棱锥、四棱锥的高与斜高等等中职立体几何的核心概念，初步渗透立体几何的基本概念。教师还需要精心设计活动课导学案，引导学生在老师和讲解员的带领下，用数学的眼光对模型进行自主观察、合作探究，解决导学案上提出问题，使展览活动课能够有的放矢。
显然这种以实物展览、讨论研究为手段的学习方式，更能充分激发学生的学习兴趣，调动学生自主学习的积极性，在实际教学过程中取得了良好的效果，也为下一阶段的识图（认识立体平面直观图）做好准备。
二、强化识图训练 —— 突破语言障碍
对平面直观图的观察与分析是学生在头脑中将实物模型“平面化”的过程，也是学生在思维中建立空间概念的关键，要逐渐引导学生将直观图中的“点、线、面”与实物模型的内部结构联系起来，并使学生掌握用文字语言、符号语言来表达“点、线、面”之间的位置关系。由于初中长时间平面几何学习而产生的负迁移与空间想象能力的缺失，部分学生会用观察平面几何的方式对待立体几何直观图，从而导致空间图形的“失真”，使学生的形象思維向抽象思维上升的过程中遇到认知障碍。突破一难点需要从以下三点入手：
（一）在实物模型与直观图之间搭建认知阶梯。教师首先可以向学生展示实物模型的照片，再借助立体几何画板、几何图霸等3D做图软件，通过对上下、左右、前后翻转，引导学生从多角度观察直观图，使学生能看清楚直观图中线、面的位置关系以及角度的视觉变化。
（二）对空间概念、符号语言进行深入的解析，既知其然，又知其所以然，把隐藏在知识背后的理性思考激活。比如：平面的表示方法。为什么在空间中要用平行四边形来表示一个平面？学生对此提出了疑问，为什么不用长方形来表示平面？教材上并没有解释用平行四边形来表示一个平面的原因。事实上用长方形表示平面确实更加简单直观，但是当长方形在空间中“斜放”的时候，长方形的四个内角有些看成了钝角，有些看成了锐角，这是由于视觉观察造成的偏差。
再比如：在学习符号语言时，需要将“点运动产生线、线运动产生面”这种运动思想与集合思想相结合，引导学生用点（元素）与集合的关系、集合与集合的关系来理解立体几何的符号语言，搞清楚符号含义，避免符号混淆和错用。如：为什么直线在平面上，记作：平面，而点在平面上，记作：平面。
（三）对图形语言、文字语言、符号语言之间的相互转化进行充分训练，帮助学生克服表达和书写障碍。对于中职学生来说，记忆立体几何的相关的概念、符号犹如背英语单词枯燥、容易忘，因此可以采取猜谜语的方式，将符号语言的理解和记忆融入到游戏中去，寓教于乐，提高学生学习立体几何的兴趣和信心。同时在边玩边学的过程中，逐步对线线、线面、面面之间的位置关系逐步进行梳理，使学生掌握用三种数学语言来表示线线、线面、面面，帮助学生初步建立立体几何的知识网络。 三、引导规范作图 —— 提升分析能力
立体几何的作图与学生的空间想象能力联系密切，与解题关系极大，解决立体几何问题，很多时候不是想出来，而是“画”出来的。如果说看图、辨图是学生在头脑中对模型建立表象的过程，那么画图就是几何图形表象输出与表达，对中职学生提出了较高的要求。因此要降低起点，由易到难，逐步训练学生作图能力;同时鼓励学生多画、有目的有方法的画，养成规范作图的良好习惯。
（一）学生的作图训练首先应该从基本图形的课堂临摹开始，再通过教师演示作图的基本步骤，引导学生在模仿中，掌握直观图的作图基本规则。比如：在用斜二测法作正方形（体）、长方形（体）直观图时，要特别强调画直观图的基本步骤与关键点，以及虚线、实线的准确使用。搞清楚先画什么？后画什么？为什么要某些直角在直观图中要对应画成45度，边长要缩小一半？另外还可以采取“静物写生”的方法训练学生的作图能力，即根据实物或模型画直观图， 这种画图训练学生能灵活地调整视图角度，从多角度观察模型内部结构，尤其是对于那些空间想象能力较差的学生帮助特别大。
（二）由于提升作图能力需要给予学生足够的练习时间，其中对典型图形进行变式训练可以有效的提高学生识图、辨图、作图能力。比如作出不同形式的异面直线、二面角，再加以对比分析。另外要重视典型的错图反例展示和分析，引导学生在合作谈论纠错的过程中，逐步掌握各类常见空间图形的正确作图方法
（三）引导学生掌握根据文字语言、符号语言来作空间图形。比如：作平面、平面，使;再比如：过正三棱锥的底面中心作侧面上斜高的垂线等等。显然这对于中职学生来说会具有一定的难度，所以要尽量与实物模型相结合，或者利用3D做图软件对直观图进行翻转观察，以此训练学生对图形结构分析能力。
四、突出核心定理 —— 建立转化模型
在中职立体几何入门学习阶段，除了空间概念的建立和做图能力、空间想象能力的培养，学生还熟练掌握相关的公理、定理，才能触及立体几何的灵魂------推理证明。但是立体几何的定理繁多，容易混淆，中职学生在对定理理解和记忆方面有很大的难度，而用定理进行推理证明就更难。因此教师要从学生的实际需求和能力出发，依据高职考试大纲的要求，为学生减负。
（一）加强核心定理的剖析和应用，把教学的重点放在推理论证基本方法的掌握上，以此来提高学生的推理论证能力。另外通过对近十年高职考试卷立体几何部分考题的分析与统计，其中使用最频繁的定理是线面垂直的性质定理和判定定理，比如：在求线面直线所成角和二面角的计算过程中，都要用到这两个定理。
1.由于中职学生的逻辑推理能力、抽象思维比较薄弱，容易出现推理不严谨、书写不规范的错误，因此可以通过找反例加以纠错，提高学生反思的能力，使推理论证真正做到“言之有理、落笔有据”。 比如：下列线与面垂直的判定定理中，如果去掉定理是否成立？请学生举出反例。
定理：“已知 ”
2.由于中职学生对立体几何的推理证明普遍存在畏惧心理，因此要创设教学情境，将推理论证的教学过程生活化，提高学生的学习兴趣和积极性。
比如：对三垂线定理的证明（虽然高职考对该定理应用不做要求，但是可以用以训练学生的推理论证能力）做出生活化的解释：如图1所示，当一束阳光垂直照射在地面上时，斜线就会在地面留下一条影子，如果地面上的一条铁棒与影子垂直，那么铁棒垂直于斜线。实际教学过程中，如何结合实物进行讲解，就把抽象的推理与学生的生活经验有效的结合起来，既降低了理解的难度，又提高了学习的趣味性。
（二）强化转化思想，建立解题基本模型。将空间问题转化为平面问题是立体几何最重要的解题方法之一。如高职考试经常出现的空间角（线线角、线面角、二面角）的计算问题，通常要将空间角转化为平面角，再进行计算。在解题过程中，学生通常会遇到两个难点，一是不知道如何转化，二是不知道如何表达，因此在教学中要对三种空间角计算题建立基本的解题模型，落实转化思想。
以如上的异面直线所成角的计算为例，第一步将两条异面直线平移成相交的状态，才能对其测量或计算，所以平行和相交就是将异面直线所成角转化为平面角的關键，两个条件缺一不可。第二步是求出平面角的大小，第三步求出空间的大小。
上述解题模型，同样适用于求解线面所成的角和二面角的大小。求线面所成角的关键在于找射影，求二面角的大小在于通过找垂线、作垂线，确定二面角的平面角。该解题模型看似简单，但中职学生掌握起来还是有一定的难度，因此可以解答部分以填空的形成呈现，比如上题中划线部分改成填空，由潜入深，搭建解题，帮助学生逐步掌握空间角的求解方法。另外在教学中，还可以用曹冲称象这个典故对该解题模型进行生活化的解释与巩固，使用在数学中或者生活中遇到“称象难题”时，也能灵活运用转化思想，为数学思想方法在生活中找到“用武之地”。
基于以上的思考，中职学生在立体几何的入门阶段会不可避免地出现许多问题，对此教师应当充分考虑中职学生的基本学情，降低教学起点，给予学生足够的练习操作与知识内化的时间，引导学生充分经历实物观察、识图作图、推理论证等过程，逐步对立体几何的本质做出深入探究，提升学生解决问题的能力，对学生未来的学习打下良好基础。
参考文献：
[1]郝莉莉. 直观性教学原则在中学数学中的运用与探讨[D].上海师范大学，2019.
[2]李海东. 基于核心素养的“立体几何初步”教材设计与教学思考[J].数学教育学报，2019.
[3]张瑨南. 中学数学中平面几何与立体几何转化构建过程的探究[D].西北大学，2018.
[4]吴婉嘉. 高中生立体几何问题提出能力现状研究[D].湖南师范大学，2018.
[5]龙玉婧. 高中生立体几何学习中将文字语言转换为图形语言困难的研究[D].山东师范大学，2014.