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对基本概念的理解是学生建构数学知识体系的基础。在概念教学中，教师不能只关注概念在知识分类层面的位置，而是要将视角转向学生，从学习路径分析的角度来加强教学预设，来把控教学中的细节，这样才能让学生的学习更加充分，让学生对概念的理解更加精准到位，也更加深刻。笔者结合教学实际，就如何在学习路径分析的基础上推动学生对数学概念的理解，谈谈自己的认识。
一、概念教学中为什么要进行学习路径分析
数学概念是学习建构数学知识体系的基础，没有对概念的准确把握，学生的学习一定是浮于表面的，是浅层次的。在概念教学中，往往需要让学生经历从知道到理解再到建构的过程。这其中，学生对概念是如何理解的，学生在什么时候接触数学概念，有怎样的印象，学习过程中在思维层面做了哪些推进，这些问题就显得极其重要。
从纯数学的角度来看，数学概念是固定的，虽然不同教材对概念呈现的方式不同，概念的载体也不同，但是概念的内涵和外延已经固化。在教学过程中，如果教师忽视了学生的认知差异，那么不同的学生对概念的理解必然是有差别的。这就造成一些学生概念不清，甚至是概念混乱的状态。通俗地说，教师在教学数学概念的时候如果只是照本宣科，忽视学生学习的主体性，那么不同学生对于概念的建构程度将不同，而且多数学生会以自己的第一印象为本。所以，为了达成学生对概念的准确把握，教师在概念教学中必须要进行学习路径分析，对学生的已有知识经验有所了解，在教学过程中注重捕捉学生思维过程中的差别，引导学生经过不同的学习环节来定位概念，强化他们对于概念的认识和理解。只有这样，学生对数学概念的学习才能深入本质，才能更加多元、更加准确。
二、如何在概念教学中进行学习路径分析
建构主义认为，在教学中教师需要找准学生的最近发展区，从最接近学生已有知识经验的地方展开教学。这样的理念在概念教学中同样适用，因为在教学过程中，教师要立足于学生已有的知识经验而教，要对学生已有的知识经验进行升级和改造，使之形成较完善的知识体系。在以学生为主体的课堂教学中，教师应当从已有经验、思维过程和表征方式这几方面来进行学习路径分析，以促进学生对数学概念的深度理解。
1.对已有知识经验的分析
互动交流是知识建构的重要方式。但是，如果学生没有进行知识的个体建构，那么在集体建构的过程中学生就无法发挥自己的作用，只能接受别人的想法和意见，这样的学习就是接收学习。每个学生个人的学习路径其实就是个人知识建构的过程，不同学生的学习路径的碰撞可以让他们的知识建构过程更鲜活、更多元、更立体。所以，在概念教学中教师首先要考虑学生已有的知识经验，分析好这一要素，概念教学就会轻松许多。
例如，在《认识三角形》教学中涉及三角形的高的认识。对于“高”这个概念，学生有一定的了解，有相应的经验基础。所以，在教学中我直接揭示了三角形的高的概念，然后给出一组三角形，指定学生走上讲台画出不同三角形的高。在学生画图时我发现学生在画上图这个三角形的高时，出现了与我预想一致的情况，不少学生画出的高是第一种情况，也有学生画出的高是第二种情况（如图）。在学生练习之后，我展示了两种不同的“高”。学生经过对比发现第二种应该符合教材中对高的描述。在交流中学生也谈及画出第一幅图的理由，因为在一些学生的脑海中，高就是竖直方向的，比如人、建筑物等的高，他们默认是竖直的。在强烈的对比中，学生发现了三角形的高与生活中的高，概念不尽相同，在画三角形的高的时候，需要从一个顶点出发，向它的对边画一条垂直的线段，这里的垂直才吻合“高”这个概念的本质。经过这样的学习，学生不仅对三角形的高有了深度的理解，而且与之前的生活經验对比之后，学生对于概念的建构逐渐清晰明了。
在这个案例中，我从已有经验这个路径对学生的概念学习进行了分析，很多学生之前对高的认识就是“与水平线垂直方向的长度”，这样的认识对三角形高的概念教学构成一定的干扰。因此，在教学中我采用对比，强化了学生对于“高”的概念的认识，帮助学生建构了三角形的高的准确概念。如果没有这样的逆向学习过程，学生对于高的认识可能还会停留在经验层面。
2.对不同思维过程的把控
学生的思维发展水平有差异，他们对概念的认识程度也有差别。在概念建构的过程中，学生关注的点不同，他们会从不同的角度来看待概念。教学过程中教师要让学生将自己的想法充分表述出来，引导他们进行比较和交流，促进学生概念的精准定义。
例如，在《体积和体积单位》的教学中，我从乌鸦喝水的故事引入，让学生从乌鸦为什么会喝到水的问题出发来进行思考。学生普遍认为水被石子“挤”上去了，在通过动画演示了这个过程之后，有学生从瓶子中原有的空间和现在的空间出发去看石子加进去前后的变化。学生指出，随着石子的增多，水逐渐上升了，瓶子里的剩余空间变小了，所以乌鸦可以喝到水了。还有学生提出石子也要占空间，所以石子将水挤上去了，这样乌鸦就可以喝到水了。在综合了学生的不同意见之后，我引导学生总结了他们想法中的共性：石子占据了原来水占据的空间。在这样的基础上揭示体积的概念，学生对于概念的认识就相当清晰了。
在这个案例中，我结合情境让学生将自己的想法充分表述出来，虽然学生的视角可能不同，但是在他们的想法中也存在一些共性，这些共性恰恰是“体积”这个概念的重点。所以，在了解学生不同的思维过程之后，我引导他们找到本质的共同点，让学生沿着这个方向对“体积”的概念进行充分的建构，学生的学习就轻松许多。
3.对概念表征方式的剖析
学生对于概念的不同表征方式体现了学生内在的思考和对概念的把握程度。在概念教学中，我们要推动学生用自己的语言来描述概念，来展示自己的想法，并引导大家体会不同的表征方法，逐渐推动概念的准确化。
例如，在《分数的意义》教学中，我引导学生回忆了认识一个物体的几分之几和一个整体的几分之几的过程，让学生比较不同情形中的分数的相同点和不同点。然后，在这个基础上再创设情境，让学生认识到还可以将一个计量单位平均分从而产生分数。经历了这样的学习之后，我揭示了单位“1”的概念，并让学生尝试在不同情境中阐述分数的意义。实际教学中我发现一些学生对于分数的认识不够清晰，他们只是模仿“将（ ）平均分成几份，表示这样的几份”的句式来阐述分数的含义。于是我追问学生：“什么是单位‘1’？”大多数学生只能根据之前教师给出的定义，指出一个物体、一些物体和一个计量单位都可以是单位“1”，只有少数学生给出了自己的意见：将什么平均分，什么就是单位“1”。在引导学生体会两种不同表述之后，大家从中加强了对单位“1”的认识，更好地理解了这一数学概念，这也为学生把握分数的意义奠定了基础。
总之，数学概念的教学应当以学生为主体，应当体现学生的个性思考和多元建构角度，这样才能让概念更加精准，让学生对于概念的把握更加到位。实际教学中教师在关注数学层面的概念之外，要着重学习路径的分析，为数学概念的教学添砖加瓦。
（作者单位：江苏省南通市经济技术开发区实验小学教育集团）
（责任编辑 晓寒）
一、概念教学中为什么要进行学习路径分析
数学概念是学习建构数学知识体系的基础，没有对概念的准确把握，学生的学习一定是浮于表面的，是浅层次的。在概念教学中，往往需要让学生经历从知道到理解再到建构的过程。这其中，学生对概念是如何理解的，学生在什么时候接触数学概念，有怎样的印象，学习过程中在思维层面做了哪些推进，这些问题就显得极其重要。
从纯数学的角度来看，数学概念是固定的，虽然不同教材对概念呈现的方式不同，概念的载体也不同，但是概念的内涵和外延已经固化。在教学过程中，如果教师忽视了学生的认知差异，那么不同的学生对概念的理解必然是有差别的。这就造成一些学生概念不清，甚至是概念混乱的状态。通俗地说，教师在教学数学概念的时候如果只是照本宣科，忽视学生学习的主体性，那么不同学生对于概念的建构程度将不同，而且多数学生会以自己的第一印象为本。所以，为了达成学生对概念的准确把握，教师在概念教学中必须要进行学习路径分析，对学生的已有知识经验有所了解，在教学过程中注重捕捉学生思维过程中的差别，引导学生经过不同的学习环节来定位概念，强化他们对于概念的认识和理解。只有这样，学生对数学概念的学习才能深入本质，才能更加多元、更加准确。
二、如何在概念教学中进行学习路径分析
建构主义认为，在教学中教师需要找准学生的最近发展区，从最接近学生已有知识经验的地方展开教学。这样的理念在概念教学中同样适用，因为在教学过程中，教师要立足于学生已有的知识经验而教，要对学生已有的知识经验进行升级和改造，使之形成较完善的知识体系。在以学生为主体的课堂教学中，教师应当从已有经验、思维过程和表征方式这几方面来进行学习路径分析，以促进学生对数学概念的深度理解。
1.对已有知识经验的分析
互动交流是知识建构的重要方式。但是，如果学生没有进行知识的个体建构，那么在集体建构的过程中学生就无法发挥自己的作用，只能接受别人的想法和意见，这样的学习就是接收学习。每个学生个人的学习路径其实就是个人知识建构的过程，不同学生的学习路径的碰撞可以让他们的知识建构过程更鲜活、更多元、更立体。所以，在概念教学中教师首先要考虑学生已有的知识经验，分析好这一要素，概念教学就会轻松许多。
例如，在《认识三角形》教学中涉及三角形的高的认识。对于“高”这个概念，学生有一定的了解，有相应的经验基础。所以，在教学中我直接揭示了三角形的高的概念，然后给出一组三角形，指定学生走上讲台画出不同三角形的高。在学生画图时我发现学生在画上图这个三角形的高时，出现了与我预想一致的情况，不少学生画出的高是第一种情况，也有学生画出的高是第二种情况（如图）。在学生练习之后，我展示了两种不同的“高”。学生经过对比发现第二种应该符合教材中对高的描述。在交流中学生也谈及画出第一幅图的理由，因为在一些学生的脑海中，高就是竖直方向的，比如人、建筑物等的高，他们默认是竖直的。在强烈的对比中，学生发现了三角形的高与生活中的高，概念不尽相同，在画三角形的高的时候，需要从一个顶点出发，向它的对边画一条垂直的线段，这里的垂直才吻合“高”这个概念的本质。经过这样的学习，学生不仅对三角形的高有了深度的理解，而且与之前的生活經验对比之后，学生对于概念的建构逐渐清晰明了。
在这个案例中，我从已有经验这个路径对学生的概念学习进行了分析，很多学生之前对高的认识就是“与水平线垂直方向的长度”，这样的认识对三角形高的概念教学构成一定的干扰。因此，在教学中我采用对比，强化了学生对于“高”的概念的认识，帮助学生建构了三角形的高的准确概念。如果没有这样的逆向学习过程，学生对于高的认识可能还会停留在经验层面。
2.对不同思维过程的把控
学生的思维发展水平有差异，他们对概念的认识程度也有差别。在概念建构的过程中，学生关注的点不同，他们会从不同的角度来看待概念。教学过程中教师要让学生将自己的想法充分表述出来，引导他们进行比较和交流，促进学生概念的精准定义。
例如，在《体积和体积单位》的教学中，我从乌鸦喝水的故事引入，让学生从乌鸦为什么会喝到水的问题出发来进行思考。学生普遍认为水被石子“挤”上去了，在通过动画演示了这个过程之后，有学生从瓶子中原有的空间和现在的空间出发去看石子加进去前后的变化。学生指出，随着石子的增多，水逐渐上升了，瓶子里的剩余空间变小了，所以乌鸦可以喝到水了。还有学生提出石子也要占空间，所以石子将水挤上去了，这样乌鸦就可以喝到水了。在综合了学生的不同意见之后，我引导学生总结了他们想法中的共性：石子占据了原来水占据的空间。在这样的基础上揭示体积的概念，学生对于概念的认识就相当清晰了。
在这个案例中，我结合情境让学生将自己的想法充分表述出来，虽然学生的视角可能不同，但是在他们的想法中也存在一些共性，这些共性恰恰是“体积”这个概念的重点。所以，在了解学生不同的思维过程之后，我引导他们找到本质的共同点，让学生沿着这个方向对“体积”的概念进行充分的建构，学生的学习就轻松许多。
3.对概念表征方式的剖析
学生对于概念的不同表征方式体现了学生内在的思考和对概念的把握程度。在概念教学中，我们要推动学生用自己的语言来描述概念，来展示自己的想法，并引导大家体会不同的表征方法，逐渐推动概念的准确化。
例如，在《分数的意义》教学中，我引导学生回忆了认识一个物体的几分之几和一个整体的几分之几的过程，让学生比较不同情形中的分数的相同点和不同点。然后，在这个基础上再创设情境，让学生认识到还可以将一个计量单位平均分从而产生分数。经历了这样的学习之后，我揭示了单位“1”的概念，并让学生尝试在不同情境中阐述分数的意义。实际教学中我发现一些学生对于分数的认识不够清晰，他们只是模仿“将（ ）平均分成几份，表示这样的几份”的句式来阐述分数的含义。于是我追问学生：“什么是单位‘1’？”大多数学生只能根据之前教师给出的定义，指出一个物体、一些物体和一个计量单位都可以是单位“1”，只有少数学生给出了自己的意见：将什么平均分，什么就是单位“1”。在引导学生体会两种不同表述之后，大家从中加强了对单位“1”的认识，更好地理解了这一数学概念，这也为学生把握分数的意义奠定了基础。
总之，数学概念的教学应当以学生为主体，应当体现学生的个性思考和多元建构角度，这样才能让概念更加精准，让学生对于概念的把握更加到位。实际教学中教师在关注数学层面的概念之外，要着重学习路径的分析，为数学概念的教学添砖加瓦。
（作者单位：江苏省南通市经济技术开发区实验小学教育集团）
（责任编辑 晓寒）