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[摘 要]根据定向井抽油杆柱的受力分析，通过对井眼轨迹、抽油杆柱结构的整体理解，在杆液管粘性摩擦和定向井造成的杆管库仑摩擦，建立定向井运用有杆抽油系统工况用来预测数学模型，并采用显示差分和隐式差分抽油杆柱与油管之间摩擦系数。运用升山结合的方法来求解预测模型。实例计算表明，这种数学模型能够准确预测定向井有杆抽油系统动态参数。
[关键词]有杆抽油；定向井；动态参数；预测
中图分类号：TE933 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）37-0058-01
因为定向井有杆抽油系统井下杆柱受力比直井复杂，在非线性的微分方程数学模型求解等问题上需要比直井预测考虑的因素更多。根据抽油杆柱在斜井中的运动状况，充分考虑井斜角、方位角对抽油杆柱节点载荷的影响，建立抽油杆柱载荷计算的三维数学模型。模型求解时，针对有杆抽油系统模拟模型的特点，在抽油杆柱均质杆段处用用隐式差分格式，在抽油杆柱组合杆柱相邻连接点处采用步长的显式差分格式。
一、模型分析
1.隐式有限差分形式
在建立定向井有杆抽油系统的预测数学模型时，计入了杆液管粘性摩擦和定向井井斜造成的杆管库仑摩擦，同时考虑了实际泵况对系统的影响。在系统非线性运动微分控制方程的解法上，为提高精度和速度，采用隐式有限差分形式表述同级抽油杆柱的非线性运动微分控制方程，
2.迭代法求解形式
对不同杆柱级间边界节点的非线性运动微分控制方程采用变单元的显式有限差分表示，组成定向井动态参数预测数学模型的差分方程组；运用迭代法求解此差分方程组，得到系统各截面及悬点的示功图，进而计算系统的各动力学参数。
二、模型建立
1.假设条件
数学模型的基本假设：①油管将上式两边同时除以prA，并整理得内壁呈刚形体，在外力作用下不产生变形；②抽油杆柱中心和井眼中心一致；
2.其密度為常数
抽油杆柱在轴向上做往复运动且其变形为线弹性变形。
3.定向井抽油杆柱力学行为分析
井眼上任意一点可由井眼斜深、井斜角和方位角三个参数来表示，斜深坐标用S表示，井斜角用口表示。在井
眼曲线坐标5处取一单元体出，设U（s，￡）为抽油杆柱上5点在时间为t时的位移，P（s，￡）为5截面处式中；P=ErA，
三、模型求解
1.针对有杆抽油系统模拟模型的特点
在抽油杆抽油杆柱的轴向力，P（s，￡）+△P为s+As截面处抽油杆柱的轴向力；N（s）为油管对单位长度单元体抽油杆柱的支反力。则式（1）成立。式（1）中Er为抽油杆材料弹性模量（Pa）；柱均质杆段处采用隐式差分格式，在抽油杆柱组合杆柱相邻连接点处采用变步长的显式差分格式。求解偏微分方程定解问题的主要步骤如下：利用网格线将定解区域化为离散点集；将偏微分方程在定解A，为抽油杆横截面积（m2）；P，为抽油杆材料密度（kg/m3）；pL为油井液体密度（kg/m3）；比为单位长度抽油杆柱的粘滞阻力系数（kg/m·s）；0为斜深s处井眼倾斜角；∞为斜深s处井眼方位角；f为区域内离散为差分方程，并将定解条件离散化；将原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，通过求解代数方程组，得到由定解问题的解在离散点集上的近似解组成的离散解。
2.有限差分法是求解式的常用方法
考虑到采用等效单元法处理不同级杆柱（材料、杆径不同）进行系统预测会造成杆级边界节点力的不连续‘引，误差较大，同时注意到显式差分法收敛条件严格，计算用时多。为解决上述问题，正确做法是：不同级的杆柱采用变单元显式差分方式，而同一级杆柱内采用等单元隐式差分方式I司材料及杆径杆柱内隐式差分形式。沿抽油杆柱进行纵向发分节点，且在一个周期内进行发分时间节点，因此取网格对波动方程进行有限差分近似，取网格建立以下三层隐式差分格式
a。=【z—z（，～zm）
于是求解波动方程，就归结为求解差分方程的线性方程组。其系数矩阵为大型的稀疏矩阵，采用阻尼波动方程的VonNeumann格式，可写为全选主元高斯消取法即可求解。
3.不同级杆柱间的有限差分形式
对于不同如果阻尼系数C一0，则上式即为定向井的无杆径或杆界面处的条件，根据位移和力连续性条件，结合Hook定律经整理可以得不同材料和不同杆径界面处波动方程的有限显式差分形式（，o≤∞≤1。由于在构造三层隐式格式过程中，将波动方程离散化采用二阶中心差商，故式（4）、式（5）的截断误差为0（At2+Ah2）式中E，i为第i级杆所对应的弹性模量（Pa）；A，i为第i级杆所对应的面积（m2）；Asi为第i级杆所对稳定条件为：若百1<∞≤1，式（5）无条件稳定；若0<-G∞<1，则需要满足下式才能使之稳定应的步长（m）；At为时间方向上的步长（s）。
结合模型求解的下边界条件，可得如下的矩阵形式
四、算法开发的软件预测结果与实测数据相吻合
1.杆液牯性摩擦和定向井井斜造成的杆管库仑摩擦
因为定向井有杆抽油系统井下杆柱的受力比直井复杂，在非线性的微分方程数学模型求解过程上需要比直井预测考虑的因素更多，所以深入研究定向井有杆抽油系统预测的算法、模型、开发快速定向井有杆抽油系统预测软件对正确认识定向井有杆抽油系统特性，优化系统配置和提高有杆抽油系统运行效率十分重要。为了实现计算机定、提高预测精度和速度，向井有杆抽油系统预测，正确的预测模型计人了杆液牯性摩擦和定向井井斜造成的杆管库仑摩擦。
2.采用数据模拟实际泵况，使预测更接近实际系统工况。
在计算方法上采用同级（相同杆径及材料）抽油杆柱的隐式有限差分，不同杆柱级间用变单元的有限差分形式建立定向井有杆抽油系统预测的运动控制方程的差分方程组。实例说明运用本文算法开发的软件预测结果与实测数据是吻合的，预测的精度和速度都得到提高。
定向井有杆抽油系统是非常复杂的，为使问题简化，同时满足工程计算精度，对定向井有杆抽油系统做相应假设，具体假设同文献。通过对抽油杆柱微元受力分析，可得到定向井有杆抽油系统动态参数的预测模型
A，——杆柱截面积，m2；P魁——悬点载荷，N；以——悬点位移.m：口7、6式中p，——杆柱密度，k∥m3；
7、p（￡）——泵工作参数；
预测模型
u。——单位长度杆柱的粘滞阻力系数；
产_杆柱与油管间的摩擦系数；
￡——杆柱总长，m；
Ⅳ—一单位长度油管对杆柱的支反力，N/m；
s——井斜深，m
五、总结
本文所建立的抽油系统动态参数数学模型综合考虑了抽油杆柱的空间振动、杆管摩擦和井眼轨迹变化等因素，应用隐式同显示差分结合的方法对数学模型进行数值求解，加快了求解速度。实例计算表明，采用本文所建立的数学模型和数值求解方法所预测的地面示功图和实测结果基本吻合。
参考文献
[1]冯霞，戴荣东，熊跃，张峰.OIL-GASFIELDSURFACEENGINEERING[J].油气田地面工程，2008，27（5）
[2]李冬平.定向井专题研究[J].石油机械，2004，32（8）
[关键词]有杆抽油；定向井；动态参数；预测
中图分类号：TE933 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2018）37-0058-01
因为定向井有杆抽油系统井下杆柱受力比直井复杂，在非线性的微分方程数学模型求解等问题上需要比直井预测考虑的因素更多。根据抽油杆柱在斜井中的运动状况，充分考虑井斜角、方位角对抽油杆柱节点载荷的影响，建立抽油杆柱载荷计算的三维数学模型。模型求解时，针对有杆抽油系统模拟模型的特点，在抽油杆柱均质杆段处用用隐式差分格式，在抽油杆柱组合杆柱相邻连接点处采用步长的显式差分格式。
一、模型分析
1.隐式有限差分形式
在建立定向井有杆抽油系统的预测数学模型时，计入了杆液管粘性摩擦和定向井井斜造成的杆管库仑摩擦，同时考虑了实际泵况对系统的影响。在系统非线性运动微分控制方程的解法上，为提高精度和速度，采用隐式有限差分形式表述同级抽油杆柱的非线性运动微分控制方程，
2.迭代法求解形式
对不同杆柱级间边界节点的非线性运动微分控制方程采用变单元的显式有限差分表示，组成定向井动态参数预测数学模型的差分方程组；运用迭代法求解此差分方程组，得到系统各截面及悬点的示功图，进而计算系统的各动力学参数。
二、模型建立
1.假设条件
数学模型的基本假设：①油管将上式两边同时除以prA，并整理得内壁呈刚形体，在外力作用下不产生变形；②抽油杆柱中心和井眼中心一致；
2.其密度為常数
抽油杆柱在轴向上做往复运动且其变形为线弹性变形。
3.定向井抽油杆柱力学行为分析
井眼上任意一点可由井眼斜深、井斜角和方位角三个参数来表示，斜深坐标用S表示，井斜角用口表示。在井
眼曲线坐标5处取一单元体出，设U（s，￡）为抽油杆柱上5点在时间为t时的位移，P（s，￡）为5截面处式中；P=ErA，
三、模型求解
1.针对有杆抽油系统模拟模型的特点
在抽油杆抽油杆柱的轴向力，P（s，￡）+△P为s+As截面处抽油杆柱的轴向力；N（s）为油管对单位长度单元体抽油杆柱的支反力。则式（1）成立。式（1）中Er为抽油杆材料弹性模量（Pa）；柱均质杆段处采用隐式差分格式，在抽油杆柱组合杆柱相邻连接点处采用变步长的显式差分格式。求解偏微分方程定解问题的主要步骤如下：利用网格线将定解区域化为离散点集；将偏微分方程在定解A，为抽油杆横截面积（m2）；P，为抽油杆材料密度（kg/m3）；pL为油井液体密度（kg/m3）；比为单位长度抽油杆柱的粘滞阻力系数（kg/m·s）；0为斜深s处井眼倾斜角；∞为斜深s处井眼方位角；f为区域内离散为差分方程，并将定解条件离散化；将原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，通过求解代数方程组，得到由定解问题的解在离散点集上的近似解组成的离散解。
2.有限差分法是求解式的常用方法
考虑到采用等效单元法处理不同级杆柱（材料、杆径不同）进行系统预测会造成杆级边界节点力的不连续‘引，误差较大，同时注意到显式差分法收敛条件严格，计算用时多。为解决上述问题，正确做法是：不同级的杆柱采用变单元显式差分方式，而同一级杆柱内采用等单元隐式差分方式I司材料及杆径杆柱内隐式差分形式。沿抽油杆柱进行纵向发分节点，且在一个周期内进行发分时间节点，因此取网格对波动方程进行有限差分近似，取网格建立以下三层隐式差分格式
a。=【z—z（，～zm）
于是求解波动方程，就归结为求解差分方程的线性方程组。其系数矩阵为大型的稀疏矩阵，采用阻尼波动方程的VonNeumann格式，可写为全选主元高斯消取法即可求解。
3.不同级杆柱间的有限差分形式
对于不同如果阻尼系数C一0，则上式即为定向井的无杆径或杆界面处的条件，根据位移和力连续性条件，结合Hook定律经整理可以得不同材料和不同杆径界面处波动方程的有限显式差分形式（，o≤∞≤1。由于在构造三层隐式格式过程中，将波动方程离散化采用二阶中心差商，故式（4）、式（5）的截断误差为0（At2+Ah2）式中E，i为第i级杆所对应的弹性模量（Pa）；A，i为第i级杆所对应的面积（m2）；Asi为第i级杆所对稳定条件为：若百1<∞≤1，式（5）无条件稳定；若0<-G∞<1，则需要满足下式才能使之稳定应的步长（m）；At为时间方向上的步长（s）。
结合模型求解的下边界条件，可得如下的矩阵形式
四、算法开发的软件预测结果与实测数据相吻合
1.杆液牯性摩擦和定向井井斜造成的杆管库仑摩擦
因为定向井有杆抽油系统井下杆柱的受力比直井复杂，在非线性的微分方程数学模型求解过程上需要比直井预测考虑的因素更多，所以深入研究定向井有杆抽油系统预测的算法、模型、开发快速定向井有杆抽油系统预测软件对正确认识定向井有杆抽油系统特性，优化系统配置和提高有杆抽油系统运行效率十分重要。为了实现计算机定、提高预测精度和速度，向井有杆抽油系统预测，正确的预测模型计人了杆液牯性摩擦和定向井井斜造成的杆管库仑摩擦。
2.采用数据模拟实际泵况，使预测更接近实际系统工况。
在计算方法上采用同级（相同杆径及材料）抽油杆柱的隐式有限差分，不同杆柱级间用变单元的有限差分形式建立定向井有杆抽油系统预测的运动控制方程的差分方程组。实例说明运用本文算法开发的软件预测结果与实测数据是吻合的，预测的精度和速度都得到提高。
定向井有杆抽油系统是非常复杂的，为使问题简化，同时满足工程计算精度，对定向井有杆抽油系统做相应假设，具体假设同文献。通过对抽油杆柱微元受力分析，可得到定向井有杆抽油系统动态参数的预测模型
A，——杆柱截面积，m2；P魁——悬点载荷，N；以——悬点位移.m：口7、6式中p，——杆柱密度，k∥m3；
7、p（￡）——泵工作参数；
预测模型
u。——单位长度杆柱的粘滞阻力系数；
产_杆柱与油管间的摩擦系数；
￡——杆柱总长，m；
Ⅳ—一单位长度油管对杆柱的支反力，N/m；
s——井斜深，m
五、总结
本文所建立的抽油系统动态参数数学模型综合考虑了抽油杆柱的空间振动、杆管摩擦和井眼轨迹变化等因素，应用隐式同显示差分结合的方法对数学模型进行数值求解，加快了求解速度。实例计算表明，采用本文所建立的数学模型和数值求解方法所预测的地面示功图和实测结果基本吻合。
参考文献
[1]冯霞，戴荣东，熊跃，张峰.OIL-GASFIELDSURFACEENGINEERING[J].油气田地面工程，2008，27（5）
[2]李冬平.定向井专题研究[J].石油机械，2004，32（8）