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一元一次不等式是初中数学的重要组成部分,这一部分的内容也是今后学习高中数学课程的基础部分.
首先我们要弄清楚几个概念,如“不等式”､“解不等式”､“不等式的解”､“不等式的解集”等.
用“ <”(或“≤”)､“ >”(或“≥”) 表示不等关系的式子,叫做不等式.
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.但是,能使不等式成立的未知数往往不是一个或几个数值,而是一个数值范围. 不等式的所有解称为不等式的解集.
求出字母应该取什么范围内的数值,才能使不等式成立,这个过程叫做解不等式.
其次,我们要掌握不等式的性质.不等式的性质是解不等式的依据,运用它们才能熟练地解不等式. 不等式的性质有三条:
(1) 如果a > b,那么a + c > b + c , a - c > b - c;
(2) 如果a > b,并且c > 0 ,那么ac > bc;
(3) 如果a > b,并且c < 0 ,那么ac < bc.
特别是第(3) 个性质,初学时常常会出错误,必须熟记.因此在不等式两边同乘以一个数(或一个代数式) 时,要特别小心. 一定要看清楚所乘的那个数(或那个代数式的值) 是正数､负数,还是零.
最后我们要弄清等式和不等式的许多相似和不同的地方.
(1) 从不等式和等式的性质来看,两者基本是相同的,不同的是:等式的两边同乘(除)一个负数,等式仍然成立.
(2) 从一元一次方程和一元一次不等式的解题步骤来看,它们也是基本相同的,可以概括为四个字: 去､移､并､除. 去,就是去分母与去括号,上面已经谈过了,如果去分母时,不等号两边同乘(或除) 以的是一个负数,这时不等号的方向一定要改变. 移,就是移项,一般都是将含未知数的项移至方程或不等式的左边,常数项移至右边. 并,就是合并同类项. 除,就是两边同除以方程或不等式一次项的系数. 这里还得再一次强调,如果一元一次不等式一次项的系数为负数,这时不等号的方向一定要改变.
(3) 从方程的解和不等式的解这两个概念来看,它们是有区别的.一元一次方程如果有解,一般只有一个解. 例如:5x = 20 的解是 x = 4,它是唯一的. 可是,如果一个一元一次不等式有解,一般就有无穷多个解.
例如,对于不等式5x < 20来讲, 3 是它的一个解,2,1,0,-1, - 2. 3 ,- 4都是它的解,它有无穷多个解. 把所有这些解合在一起,就是不等式4x < 20“解集”, 它的解集是x < 5.
在了解了一元一次不等式之后,我们先来看这样两个例子:
甲同学在解不等式4(x - 1) < 6时,得x <,检验此解,对任取一个小于 的值,如取x = 1,得不等式的左边 = 0,右边 = 6,左边小于右边,根据不等式解集的意义可知,原不等式的解集为x <.然而,本题的正确答案是x <,我们知道只要满足x <的,就一定能满足x <,致使该同学查不出其中的错误,最后功亏一篑.
乙同学在解不等式4(x + 1) -5(x + 2) < 0时,得4 x + 4 - 5x - 10 < 0,(1) -x - 6 < 0,(2)x + 6 < 0,(3)x < -6,(4)经检验计算,如任取几个小于-6的数,如-7,-8,-10代入原不等式,均不满足原不等式.那么问题出在哪呢?经检验,问题在计算的第三步,即在将前面系数化为“1”时,等式两边乘以“-1”时,不等式的方向未改变.
我们回过头来看,就不难发现要使不等式的解集正确,一方面,就必须保证每一步的计算都正确;而另一方面要保证变形时不等号方向正确.一般地,为了避免不等号倒来倒去的麻烦,只要在最后,即系数化为1时,当未知数的系数是负数时,我们才运用不等式的两边同乘以(或除以)一个负数.
在正确理解一元一次不等式的基础上,接下来我们来讨论如何迅速而正确地解一元一次不等式.
第一,巧去括号.去括号一般是从里到外,也就说先去小括号,再去中括号,最后去大括号,但是有时候从相反的方向来解决问题,往往会得到意想不到的结果.
例1 2.5 × [0.4(x - 5) - 4] - 2x > 2.
分析 因为2.5 × 0.4 = 1,所以先去中括号,可以明显简化解题过程.
解 去中括号得:x - 5 - 10 - 2x > 2,
合并同类项可得:-x > 17,
即 x < -17.
第二,巧用整体法.
例2 3{(4x - 1) - [2(4x - 1) + 3]} > 0.
分析 把4 -1看成整体,可以明显简化解题过程.
解 去大括号得:3(4x - 1) - 3[2(4x - 1) + 3] > 0,
中括号得:3(4x - 1) - 6(4x - 1) - 9 > 0,
合并同类项可得:-3(4x -1) - 9 > 0,
化简得:-12x > -6,
即x < 0.5.
第三,巧用分数的基本性质.
例3 解不等式:- 6.5 > - 7.5.
分析 此不等式,直接去分母较复杂,然而此题有两个特点,(1)的分子,分母均含有公因式2,约去公因式2后,两边的分母相同了;(2)两个常数项移项合并后为整数.
解 原不等式可化为- > -1.
4 - 6x - 0.01 + x > -0.01,
-6x + x > -4,
得-5x > -4,故x<.
第四,巧用拆项法.
例4 解不等式:+ + - 3 ≥ 0. 分析 将不等式左边的-3拆为三个-1,再分别与前面的三项结合,便可以巧妙地解答此题.
解 原不等式可化为- 1 + - 1+ - 1 ≥ 0, 得+ + ≥ 0.
提取公因式可得: (x - 1)+ + - 1 ≥ 0, 得(x - 1) ≥ 0,即x ≥ 1 .
第五,巧用提取公因式法.
例5 解不等式:78(x - 4) + 51(8 - 2x) - 63(4 - x) > 0.
分析 观察此不等式,直接去括号较复杂,注意到左边各项均含有公因式x - 4,因此,提取公因式可以速解此题.
解 原不等式可化为:
78(x - 4) - 51 × 2(x - 4) + 63(x - 4) > 0.
提取公因式x - 4,可得(x - 4)(78 - 51 × 2 + 63) > 0.
即39(x - 4) > 0,故x > 4.
第六,巧用不等式的性质.
例6 解不等式:- 6 <3x - 2 < 2.
分析 这是一个双重不等式, 可以将不等式左､中､右3 个式子分别加2 ,这样可以简化解题过程.
解 不等式左､中､右3 个式子分别加2,得
- 4 < 3x < 4.
再将不等式各项都除以3 ,得
-< 3x <.
第七,巧将未知量看做已知量.
例7 当k 取什么值时,方程 x - 3k = 5(x - k) + 1的解是正数,负数,零?
分析 如果我们暂时把方程中的k 看成是已知数,那么这就是关于x 的一元一次方程,解这个方程,得x = .
下面问题又转化为分别解下列不等式和方程:
> 0,< 0,= 0.
解 原方程的解为x =.
当方程的解为正数时,得> 0, 即k >.
当方程的解为负数时,得< 0, 即 k <. 当方程的解为零时,得= 0,即k =.
在以后解不等式的过程中,在正确理解不等式的各种概念的基础上,巧妙地运用简便方法,可以达到事半功倍的效果.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”
首先我们要弄清楚几个概念,如“不等式”､“解不等式”､“不等式的解”､“不等式的解集”等.
用“ <”(或“≤”)､“ >”(或“≥”) 表示不等关系的式子,叫做不等式.
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.但是,能使不等式成立的未知数往往不是一个或几个数值,而是一个数值范围. 不等式的所有解称为不等式的解集.
求出字母应该取什么范围内的数值,才能使不等式成立,这个过程叫做解不等式.
其次,我们要掌握不等式的性质.不等式的性质是解不等式的依据,运用它们才能熟练地解不等式. 不等式的性质有三条:
(1) 如果a > b,那么a + c > b + c , a - c > b - c;
(2) 如果a > b,并且c > 0 ,那么ac > bc;
(3) 如果a > b,并且c < 0 ,那么ac < bc.
特别是第(3) 个性质,初学时常常会出错误,必须熟记.因此在不等式两边同乘以一个数(或一个代数式) 时,要特别小心. 一定要看清楚所乘的那个数(或那个代数式的值) 是正数､负数,还是零.
最后我们要弄清等式和不等式的许多相似和不同的地方.
(1) 从不等式和等式的性质来看,两者基本是相同的,不同的是:等式的两边同乘(除)一个负数,等式仍然成立.
(2) 从一元一次方程和一元一次不等式的解题步骤来看,它们也是基本相同的,可以概括为四个字: 去､移､并､除. 去,就是去分母与去括号,上面已经谈过了,如果去分母时,不等号两边同乘(或除) 以的是一个负数,这时不等号的方向一定要改变. 移,就是移项,一般都是将含未知数的项移至方程或不等式的左边,常数项移至右边. 并,就是合并同类项. 除,就是两边同除以方程或不等式一次项的系数. 这里还得再一次强调,如果一元一次不等式一次项的系数为负数,这时不等号的方向一定要改变.
(3) 从方程的解和不等式的解这两个概念来看,它们是有区别的.一元一次方程如果有解,一般只有一个解. 例如:5x = 20 的解是 x = 4,它是唯一的. 可是,如果一个一元一次不等式有解,一般就有无穷多个解.
例如,对于不等式5x < 20来讲, 3 是它的一个解,2,1,0,-1, - 2. 3 ,- 4都是它的解,它有无穷多个解. 把所有这些解合在一起,就是不等式4x < 20“解集”, 它的解集是x < 5.
在了解了一元一次不等式之后,我们先来看这样两个例子:
甲同学在解不等式4(x - 1) < 6时,得x <,检验此解,对任取一个小于 的值,如取x = 1,得不等式的左边 = 0,右边 = 6,左边小于右边,根据不等式解集的意义可知,原不等式的解集为x <.然而,本题的正确答案是x <,我们知道只要满足x <的,就一定能满足x <,致使该同学查不出其中的错误,最后功亏一篑.
乙同学在解不等式4(x + 1) -5(x + 2) < 0时,得4 x + 4 - 5x - 10 < 0,(1) -x - 6 < 0,(2)x + 6 < 0,(3)x < -6,(4)经检验计算,如任取几个小于-6的数,如-7,-8,-10代入原不等式,均不满足原不等式.那么问题出在哪呢?经检验,问题在计算的第三步,即在将前面系数化为“1”时,等式两边乘以“-1”时,不等式的方向未改变.
我们回过头来看,就不难发现要使不等式的解集正确,一方面,就必须保证每一步的计算都正确;而另一方面要保证变形时不等号方向正确.一般地,为了避免不等号倒来倒去的麻烦,只要在最后,即系数化为1时,当未知数的系数是负数时,我们才运用不等式的两边同乘以(或除以)一个负数.
在正确理解一元一次不等式的基础上,接下来我们来讨论如何迅速而正确地解一元一次不等式.
第一,巧去括号.去括号一般是从里到外,也就说先去小括号,再去中括号,最后去大括号,但是有时候从相反的方向来解决问题,往往会得到意想不到的结果.
例1 2.5 × [0.4(x - 5) - 4] - 2x > 2.
分析 因为2.5 × 0.4 = 1,所以先去中括号,可以明显简化解题过程.
解 去中括号得:x - 5 - 10 - 2x > 2,
合并同类项可得:-x > 17,
即 x < -17.
第二,巧用整体法.
例2 3{(4x - 1) - [2(4x - 1) + 3]} > 0.
分析 把4 -1看成整体,可以明显简化解题过程.
解 去大括号得:3(4x - 1) - 3[2(4x - 1) + 3] > 0,
中括号得:3(4x - 1) - 6(4x - 1) - 9 > 0,
合并同类项可得:-3(4x -1) - 9 > 0,
化简得:-12x > -6,
即x < 0.5.
第三,巧用分数的基本性质.
例3 解不等式:- 6.5 > - 7.5.
分析 此不等式,直接去分母较复杂,然而此题有两个特点,(1)的分子,分母均含有公因式2,约去公因式2后,两边的分母相同了;(2)两个常数项移项合并后为整数.
解 原不等式可化为- > -1.
4 - 6x - 0.01 + x > -0.01,
-6x + x > -4,
得-5x > -4,故x<.
第四,巧用拆项法.
例4 解不等式:+ + - 3 ≥ 0. 分析 将不等式左边的-3拆为三个-1,再分别与前面的三项结合,便可以巧妙地解答此题.
解 原不等式可化为- 1 + - 1+ - 1 ≥ 0, 得+ + ≥ 0.
提取公因式可得: (x - 1)+ + - 1 ≥ 0, 得(x - 1) ≥ 0,即x ≥ 1 .
第五,巧用提取公因式法.
例5 解不等式:78(x - 4) + 51(8 - 2x) - 63(4 - x) > 0.
分析 观察此不等式,直接去括号较复杂,注意到左边各项均含有公因式x - 4,因此,提取公因式可以速解此题.
解 原不等式可化为:
78(x - 4) - 51 × 2(x - 4) + 63(x - 4) > 0.
提取公因式x - 4,可得(x - 4)(78 - 51 × 2 + 63) > 0.
即39(x - 4) > 0,故x > 4.
第六,巧用不等式的性质.
例6 解不等式:- 6 <3x - 2 < 2.
分析 这是一个双重不等式, 可以将不等式左､中､右3 个式子分别加2 ,这样可以简化解题过程.
解 不等式左､中､右3 个式子分别加2,得
- 4 < 3x < 4.
再将不等式各项都除以3 ,得
-< 3x <.
第七,巧将未知量看做已知量.
例7 当k 取什么值时,方程 x - 3k = 5(x - k) + 1的解是正数,负数,零?
分析 如果我们暂时把方程中的k 看成是已知数,那么这就是关于x 的一元一次方程,解这个方程,得x = .
下面问题又转化为分别解下列不等式和方程:
> 0,< 0,= 0.
解 原方程的解为x =.
当方程的解为正数时,得> 0, 即k >.
当方程的解为负数时,得< 0, 即 k <. 当方程的解为零时,得= 0,即k =.
在以后解不等式的过程中,在正确理解不等式的各种概念的基础上,巧妙地运用简便方法,可以达到事半功倍的效果.
注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”