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合情推理是数学家波利亚（G. Polya）的“启发法”(heuristic，即“有助于发现的”)中的一个推理模式。他给我们指出数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，还有许许多多其它方面：推广、归纳、类比以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念等等。数学教师应使学生了解这些十分重要的“非形式”思维过程。在日常生活中，合情推理几乎无处不在，比如：“它可能是……”（猜测），“由上所述可得……”（归纳），“将人心比自心”（类比），“可以想象……”（联想）等。
一、合情推理的引入是高中数学新课程的一种趋势
世界上许多国家的中学数学课程中都有合情推理的内容，其中在美国、匈牙利、英国三国的中学数学课程和教学目标中均有体现。合情推理进入高中数学课程已经成为一种趋势。2003年我国颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》顺应了这种趋势，第一次把合情推理引入高中数学课程。按照通常数学思想方法论的观点，数学上的推理可分为两种：论证推理与合情推理。其中论证推理用于开展数学证明，而合情推理用于提出数学问题并寻求问题解答探索过程。但我国数学教育界一直高度重视学生论证推理能力的培养，而忽略了合情推理的教学。随着教育改革的深化，合情推理在数学教学中的意义和作用将越来越受到人们的重视。
二、合情推理已成为近几年数学新课程高考的热点
中学数学课程标准（新）明确规定：数学思维能力包括“会用归纳和类比进行推理的能力”，这种推理就是合情推理。波利亚一再强调：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”合情推理的实质就是“发现”。合情推理主要包括类比推理和归纳推理。归纳法是由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的推理；类比是在两个或两类事物之间进行比较，找出若干相似或相同的点后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的推理方法。因此它们所推出的结论不一定为真，只能作为一种猜想。但它们在人们的认识活动中，却发挥着极其重要的作用：“数学发现的方法。数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，它是衡量一个人数学水平的重要方面。”数学家拉普拉斯说：“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比。”哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”波利亚也说：“没有这些思路(普遍化、特殊化和类比)，特别是没有类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现。”新一轮课改加大了对数学发现的合情推理的力度，使得归纳、类比、猜想等合情推理方法堂堂正正进入课本，进一步培养学生的数学探索能力。考查合情推理能力的题目也成为近几年数学新课程高考的热点。
例1、(2003年全国高考新课程卷)在平面几何里，有勾股定理：“設△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB +AC =BC 。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
分析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住如下几个类比关系：
平面→立体，点→线，线→面，直角三角形→直角四面体，可以得到：
AB +AC =BC →S+ S + S = S，这是通过类比、归纳、猜想得出的结论，最后要进行证明。本题的答案是：S+ S + S= S
评注：本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，主要是通过类比的思想进行，因此平时运用合情推理进行教学时，要注意渗透类比。类比有利于把问题化难为易、启迪思维，正如波利亚指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”
三、合情推理的运用有利于培养学生的创造能力和创新精神
数学知识的创造需要猜想。一个定理被证明成立之前，往往要通过猜想发现这个定理的内容，并不断地检验、修改、完善所提出的猜想，还要推测证明的思路，这一切都需要运用合情推理的方法。在教学中，如果说通过论证推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理的能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力、求异精神和冒险精神，即培养学生的创造能力和创新精神。以下是一个运用合情推理进行教学的案例以及相应的反思。
例2、在等差数列{a }中，若a =0，则有等式a +a +…+a =a +a +…+a (n＜19，n∈N )成立，类比上述性质，相应的：在等比数列{b }中，若b =1，则有等式成立。
师：“类比”就是“类似比较”的意思，本例是等差数列与等比数列两类数列的类比问题，我们不妨先用两个示意图来比较一下两类数列的定义和性质：
①等差数列→用减法定义→性质用加法表述
②等比数列→用除法定义→性质用乘法表述
生：它们的定义相似，一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是常数，那么称它是等差数列；如果把其中的“差”字改写成“比”字，那么就是等比数列的定义，即前者是“减”，后者是“除”。它们的性质也相似，在等差数列中，若m，n，q，p∈N ，且m+n=q+p，则a +a =a +a ；在等比数列中，若m，n，q，p∈N ，且m+n=p+q，则a ·a =a ·a ；前者是“加”，后者是“乘”。
师：现在本例中已知条件是在等差数列{a }中，若a =0，则有等式a +a +…+a =a +a +…+a (n＜19，n∈N 成立，已知条件是等差数列而且等式是用“加”法。
(学生很有兴趣对结论进行类比猜测，更有兴趣“克隆”已知条件，类比写出结论b b …b =b b …b (n＜19，n∈N ))
案例反思：合情推理是创新的萌芽，它不仅是一种重要的推理形式，更是解决问题的一种重要方法。合情推理对于发展学生的创造性思维有着无法估量的作用。教学中，不论是概念的产生、定理、公式的发现，规律的探求，解决问题的方法与途径的选择，适当地引导学生运用合情推理去猜想，无论学生是否猜想出，都有助于培养学生的数学文化素养，即培养学生思维的习惯，使他们学会发现（发明）的技巧，领会数学的精神实质和基本结构，并提供应用于其他学科的推理方法。
传统的数学课程内容“重结果、轻过程，重证明、轻猜想”。而理解一个数学命题，不是靠传授和迁移，而是在学生自主参与的推理活动中“领悟”出来的，这是一个体验、探索的“再创造”过程。现代教学论从“数学发现”出发，重视概念的形成过程、结论定理的发现过程、解题思路的产生过程，这些过程性的教学原则都离不开合情推理这种探索式的认知过程。而且，经历这种“过程”不仅有助于学生学习和掌握数学知识，还有助于培养学生对数学的兴趣和优良的思维品质。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社，2003，4.
［2］［美］G.波利亚著.李志尧译.数学与猜想；合情推理模式(第二卷).科学出版社，2001，5.
［3］［美］贝尔著.徐源译.数学大师：从芝诺到庞加莱.上海科技教育出版社，2004年12月.
［4］［加拿大］约翰·华特生编选.韦卓民译.康德哲学原著选读.华中师范大学出版社，2000年5月.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、合情推理的引入是高中数学新课程的一种趋势
世界上许多国家的中学数学课程中都有合情推理的内容，其中在美国、匈牙利、英国三国的中学数学课程和教学目标中均有体现。合情推理进入高中数学课程已经成为一种趋势。2003年我国颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》顺应了这种趋势，第一次把合情推理引入高中数学课程。按照通常数学思想方法论的观点，数学上的推理可分为两种：论证推理与合情推理。其中论证推理用于开展数学证明，而合情推理用于提出数学问题并寻求问题解答探索过程。但我国数学教育界一直高度重视学生论证推理能力的培养，而忽略了合情推理的教学。随着教育改革的深化，合情推理在数学教学中的意义和作用将越来越受到人们的重视。
二、合情推理已成为近几年数学新课程高考的热点
中学数学课程标准（新）明确规定：数学思维能力包括“会用归纳和类比进行推理的能力”，这种推理就是合情推理。波利亚一再强调：“数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”合情推理的实质就是“发现”。合情推理主要包括类比推理和归纳推理。归纳法是由一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的推理；类比是在两个或两类事物之间进行比较，找出若干相似或相同的点后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的推理方法。因此它们所推出的结论不一定为真，只能作为一种猜想。但它们在人们的认识活动中，却发挥着极其重要的作用：“数学发现的方法。数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，它是衡量一个人数学水平的重要方面。”数学家拉普拉斯说：“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比。”哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。”波利亚也说：“没有这些思路(普遍化、特殊化和类比)，特别是没有类比，在初等或高等数学中也许就不会有发现。”新一轮课改加大了对数学发现的合情推理的力度，使得归纳、类比、猜想等合情推理方法堂堂正正进入课本，进一步培养学生的数学探索能力。考查合情推理能力的题目也成为近几年数学新课程高考的热点。
例1、(2003年全国高考新课程卷)在平面几何里，有勾股定理：“設△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB +AC =BC 。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇。
分析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住如下几个类比关系：
平面→立体，点→线，线→面，直角三角形→直角四面体，可以得到：
AB +AC =BC →S+ S + S = S，这是通过类比、归纳、猜想得出的结论，最后要进行证明。本题的答案是：S+ S + S= S
评注：本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，主要是通过类比的思想进行，因此平时运用合情推理进行教学时，要注意渗透类比。类比有利于把问题化难为易、启迪思维，正如波利亚指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”
三、合情推理的运用有利于培养学生的创造能力和创新精神
数学知识的创造需要猜想。一个定理被证明成立之前，往往要通过猜想发现这个定理的内容，并不断地检验、修改、完善所提出的猜想，还要推测证明的思路，这一切都需要运用合情推理的方法。在教学中，如果说通过论证推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力、逻辑推理的能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力、求异精神和冒险精神，即培养学生的创造能力和创新精神。以下是一个运用合情推理进行教学的案例以及相应的反思。
例2、在等差数列{a }中，若a =0，则有等式a +a +…+a =a +a +…+a (n＜19，n∈N )成立，类比上述性质，相应的：在等比数列{b }中，若b =1，则有等式成立。
师：“类比”就是“类似比较”的意思，本例是等差数列与等比数列两类数列的类比问题，我们不妨先用两个示意图来比较一下两类数列的定义和性质：
①等差数列→用减法定义→性质用加法表述
②等比数列→用除法定义→性质用乘法表述
生：它们的定义相似，一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的差是常数，那么称它是等差数列；如果把其中的“差”字改写成“比”字，那么就是等比数列的定义，即前者是“减”，后者是“除”。它们的性质也相似，在等差数列中，若m，n，q，p∈N ，且m+n=q+p，则a +a =a +a ；在等比数列中，若m，n，q，p∈N ，且m+n=p+q，则a ·a =a ·a ；前者是“加”，后者是“乘”。
师：现在本例中已知条件是在等差数列{a }中，若a =0，则有等式a +a +…+a =a +a +…+a (n＜19，n∈N 成立，已知条件是等差数列而且等式是用“加”法。
(学生很有兴趣对结论进行类比猜测，更有兴趣“克隆”已知条件，类比写出结论b b …b =b b …b (n＜19，n∈N ))
案例反思：合情推理是创新的萌芽，它不仅是一种重要的推理形式，更是解决问题的一种重要方法。合情推理对于发展学生的创造性思维有着无法估量的作用。教学中，不论是概念的产生、定理、公式的发现，规律的探求，解决问题的方法与途径的选择，适当地引导学生运用合情推理去猜想，无论学生是否猜想出，都有助于培养学生的数学文化素养，即培养学生思维的习惯，使他们学会发现（发明）的技巧，领会数学的精神实质和基本结构，并提供应用于其他学科的推理方法。
传统的数学课程内容“重结果、轻过程，重证明、轻猜想”。而理解一个数学命题，不是靠传授和迁移，而是在学生自主参与的推理活动中“领悟”出来的，这是一个体验、探索的“再创造”过程。现代教学论从“数学发现”出发，重视概念的形成过程、结论定理的发现过程、解题思路的产生过程，这些过程性的教学原则都离不开合情推理这种探索式的认知过程。而且，经历这种“过程”不仅有助于学生学习和掌握数学知识，还有助于培养学生对数学的兴趣和优良的思维品质。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验).人民教育出版社，2003，4.
［2］［美］G.波利亚著.李志尧译.数学与猜想；合情推理模式(第二卷).科学出版社，2001，5.
［3］［美］贝尔著.徐源译.数学大师：从芝诺到庞加莱.上海科技教育出版社，2004年12月.
［4］［加拿大］约翰·华特生编选.韦卓民译.康德哲学原著选读.华中师范大学出版社，2000年5月.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”