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摘 要：Boussinesq假设下的湍流粘性系数法是雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程在工业应用中的重要方法，低普朗特数流体表现出与经典的普朗特数约为1流体不一样的湍流流动换热特性使得经典模型的通用性受限，雷诺比拟运用下通过湍流普朗特数求解湍流热流密度的雷诺平均方程不再适用，需要对湍流普朗特数构建模型。同时，由于液态金属温度边界层中线性区延长，在壁面函数的使用过程中需要进行相应修正。受浮力影响的混合对流和强迫对流又有不同，在浮升力辅助的上升流中，浮升力既会使传热受损也会使传热增强，取决于分子普朗特数和雷诺数，在浮升力阻碍的下降流动中，浮升力使得传热增强。
关键词：液态金属 涡粘系数法 湍流特性
中图分类号：O357.5 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）06（c）-0119-03
目前對于液态金属湍对流动换热的研究方法中大致分为实验研究、理论研究和数值模拟研究，其中数值方法因为成本小，专业要求低而被广泛使用，数值模拟又分为直接模拟（DNS）、大涡模拟（LES）、雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模拟。事实上，DNS和LES因为计算精度高、所需网格数量较多，常用来探索简单几何下液态金属的对流换热机理，但实际应用液态金属冷却设备的几何形状通常比较复杂，并且尺寸较大，使用DNS或者大涡模拟湍流模型对其进行非常详尽的数值仿真在网格划分和计算资源上很有挑战，因此在工业规模应用上使用RANS动量方程对液态金属的流动进行建模是目前使用的较为广泛的方式。但是液态金属的低普朗特数物性使得它在使用RANS湍流方程时需要根据自身流换热特性进行对其进行相应的改进。在实验研究时，液态金属的光学不透明性和相对较高的温度使得在液态金属应用中测量流场和温度场被认为比在水或空气中更具挑战性[1]，从基础研究的角度来看，测量能力非常有限会导致无法获得用于更详细的物理建模的数据，因此，DNS或者大涡模拟计算结果对RANS湍流模型进行评估和改进具有重要意义。本文主要使用目前已有的DNS和LES计算数据对液态金属流换热特性进行分析总结，在此基础上对基于涡粘系数的RANS湍流方程提出改进模型。
1 液态金属的湍流流动换热特性
相较于水和空气而言，诸如液钠这样的液态金属有一个显著的物性特征，就是分子导热系数非常大，分子普朗特数Pr=v/a要远远小于水和空气，其中v为运动粘度，a为分子热扩散系数，液态金属普朗特数数量级为0.001～0.01，空气和水的分子普朗特数量级约为1。
分子普朗特数是流体力学中表征流体流动中动量交换与热交换相对重要性的一个无量纲参数，表明温度边界层和流动边界层的关系，液态金属普朗特数随温度变化趋势如图1[3]。
低普朗特数特性使得液态金属流动换热过程中分子热传导占主导地位，而湍流传热较小，但是随着流动雷诺数的增大，湍流脉动增加，湍流传热会随之增加。Kawamura[4]使用直接数值模拟方法对Rev=180的不同普朗特数流体在平行加热板板内的流动换热进行研究时，对湍流热流密度和分子热流密度在总的热流密度中所占比例随普朗特数的变化发现，随着分子普朗特数的减小，湍流热流密度所占比例越来越小。L. Bricteux[5]和M. Duponcheel[6]在Kawamura的计算基础上对于更低普朗特数流体使用的更高湍流雷诺数将湍流热流密度和分子热流密度在总热流密度中所占份额的规律拓展宽到了不同雷诺数上，发现随着在较低普朗特数液态金属流体中，随着雷诺数的增大，湍流热流密度所占比例也在增大。
Kasagi和Ohtsubo[7]使用DNS对液态金属（Pr=0.025）在平板中的强迫对流研究发现，相比于普朗特数（Pr～O（1））的流体充分发展湍流温度边界层上粘性底层、缓冲区、对数律区、湍流中心区的流态分布不同，低雷诺数的液态金属流动出现线性区延长、对数区消失的现象。Kawamura[3，8]先后研究了Pr数和Re数对温度平均量和近壁面湍流脉动量的影响，发现在相同雷诺数下，近壁面的平均温度随着Pr的减小条纹结构更厚更宽，随着Re数的增大，条纹结构也会变得更厚更宽。而Gr?tzbach G[2]对湍流脉动温度和脉动温度最大值出现的壁面距离无量纲数研究时整理前人数值模拟数据发现，对于Pr = 0.71及更大普朗特数的流体数据，湍流脉动温度分布与Re基本无关，这意味着它们只依赖于Pr，而低Pr的结果却发现湍流脉动温度分布强烈依赖于Re。在脉动最大值位置的壁面无量纲距离ymax+处也存在类似的复杂行为。因此，湍流速度场与湍流温度场之间差异较大。
液态金属冷却的流动和传热应用范围从强迫流动到自由对流。强迫对流与自由对流的过渡状态称为混合对流，混合对流在许多工业应用中都遇到过，比如热交换器和核反应堆。在强迫对流中，普朗特数只影响温度场和热流密度模型，速度场并不受普朗特数影响，但是在浮升力影响比较大的混合对流中，普朗特数也会影响速度场和应力模型[2，9]。混合对流状态可进一步细分为向上流动的浮力抑制流、向下流动的浮力辅助流和水平流动的交叉流[10]。对于浮力辅助的紊流，壁面剪切应力高于纯强迫对流情况，而对于浮力相反的情况，壁面剪切应力较低。离壁面越远，情况就越相反，流体应力在相对的浮力作用下越高，而在增加的浮力作用下则越低[11]。
当普朗特数约为1时，浮力与流动方向相反时，靠近管壁的速度减慢，但湍流动能的产生增加。增加湍流混合的第二个效应普遍存在，强化了传热。对于浮力辅助的混合对流，流动在靠近壁面处加速。湍流场的改变最初意味着湍流扩散的减少，从而导致更少的有效传热。 當湍流产生量再次增加时，它在足够高的壁面热流密度下恢复[12]。对于普朗特数远小于单位的流体，湍流的热扩散可能是次要的，因此，即使浮力显著地改变了湍流场，它对传热的影响也不再是主要的。L. Marocco[9]对环形向上的液态金属流动计算时给出了随着浮升力的增大，不同雷诺数流动下的换热影响如图2，这一计算数据趋势与Jackson[11，12]给出的理论值和实验值一致。
2 结论
Boussinesq假设下的湍流粘性系数法是雷诺时均方程在工业应用中的重要方法，是N-S方程在准确性要求和计算资源要求之间的一个平衡。低普朗特数流体表现出与经典的普朗特数约为1流体不一样的湍流流动换热特性使得经典模型的通用性受限。
（1）在相同雷诺数下，低普朗特数流体流动过程中，湍流热流密度和分子热流密度比值比中高普朗特数流体要小，分子传热系数对传热效率影响大，但是随着雷诺数的增大而减小。
（2）在同一雷诺数小，因为湍流对低普朗特数液态金属的传热影响较小，所以浮升力对湍流场的改变对传热影响也较小，这与中高普朗特数流体的混合对流状态不一样，随雷诺数增大，浮升力的影响增大。
（3）液态金属在流动过程中，湍流速度场和湍流温度场表现出迥异的分布特点，雷诺比拟将不再适用，经典的常数湍流普朗特数不再是常数而需要对之建模，使之适用于低普朗特数湍流场特征。
（4）壁面函数的使用对于工业应用规模来说十分有利，因为它能够有效减少网格，在低普朗特数流动换热的温度边界层中的对数律区，分子热扩散系数不可忽略，在经典壁面函数使用时，应该加上湍流热扩散系数对换热的影响。
参考文献
[1] Schulenberg T， Stieglitz R. Flow measurement techniques in heavy liquid metals[J]. Nuclear Engineering and Design， 2010， 240（9）： 2077-2087.
[2] Gr?tzbach G. Challenges in low-Prandtl number heat transfer simulation and modelling[J]. Nuclear engineering and design， 2013（264）： 41-55.
[3] Jaeger W. Heat transfer to liquid metals with empirical models for turbulent forced convection in various geometries[J]. Nuclear Engineering and Design， 2017（319）： 12-27.
[4] Kawamura H， Ohsaka K， Abe H， et al. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow， 1998， 19（5）： 482-491.
[5] Bricteux L， Duponcheel M， Winckelmans G， et al. Direct and large eddy simulation of turbulent heat transfer at very low Prandtl number： Application to lead–bismuth flows[J]. Nuclear Engineering and Design， 2012（246）： 91-97.
[6] Duponcheel， Matthieu， et al. "Assessment of RANS and improved near-wall modeling for forced convection at low Prandtl numbers based on LES up to Reτ= 2000." International Journal of Heat and Mass Transfer，2014（75）：470-482.
[7] Gr?tzbach， G.， 1981. Numerical simulation of turbulent temperature fluctuations in liquid metals. Int. J. Heat Mass Transfer，2015（24）：475-490.
[8] Kasagi N， Ohtsubo Y. Direct numerical simulation of low Prandtl number thermal field in a turbulent channel flow[M]//Turbulent Shear Flows 8. Springer， Berlin， Heidelberg，1993.
[9] Kawamura H， Ohsaka K， Abe H， et al. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow， 1998， 19（5）： 482-491.
[10]Marocco L， di Valmontana A A， Wetzel T. Numerical investigation of turbulent aided mixed convection of liquid metal flow through a concentric annulus[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2017（105）： 479-494.
[11]Gebhart， B.， Jaluria， Y.， Mahajan， R.L.， Sammakia， B.， 1991. Mixed convection. In：Buoyancy-Induced Flows and Transport， Moscow， Mir， In Russian，2016（15）：575-663.
[12]Jackson J D. Turbulent mixed convection heat transfer to liquid sodium[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow， 1983， 4（2）： 107-111.
关键词：液态金属 涡粘系数法 湍流特性
中图分类号：O357.5 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2019）06（c）-0119-03
目前對于液态金属湍对流动换热的研究方法中大致分为实验研究、理论研究和数值模拟研究，其中数值方法因为成本小，专业要求低而被广泛使用，数值模拟又分为直接模拟（DNS）、大涡模拟（LES）、雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）模拟。事实上，DNS和LES因为计算精度高、所需网格数量较多，常用来探索简单几何下液态金属的对流换热机理，但实际应用液态金属冷却设备的几何形状通常比较复杂，并且尺寸较大，使用DNS或者大涡模拟湍流模型对其进行非常详尽的数值仿真在网格划分和计算资源上很有挑战，因此在工业规模应用上使用RANS动量方程对液态金属的流动进行建模是目前使用的较为广泛的方式。但是液态金属的低普朗特数物性使得它在使用RANS湍流方程时需要根据自身流换热特性进行对其进行相应的改进。在实验研究时，液态金属的光学不透明性和相对较高的温度使得在液态金属应用中测量流场和温度场被认为比在水或空气中更具挑战性[1]，从基础研究的角度来看，测量能力非常有限会导致无法获得用于更详细的物理建模的数据，因此，DNS或者大涡模拟计算结果对RANS湍流模型进行评估和改进具有重要意义。本文主要使用目前已有的DNS和LES计算数据对液态金属流换热特性进行分析总结，在此基础上对基于涡粘系数的RANS湍流方程提出改进模型。
1 液态金属的湍流流动换热特性
相较于水和空气而言，诸如液钠这样的液态金属有一个显著的物性特征，就是分子导热系数非常大，分子普朗特数Pr=v/a要远远小于水和空气，其中v为运动粘度，a为分子热扩散系数，液态金属普朗特数数量级为0.001～0.01，空气和水的分子普朗特数量级约为1。
分子普朗特数是流体力学中表征流体流动中动量交换与热交换相对重要性的一个无量纲参数，表明温度边界层和流动边界层的关系，液态金属普朗特数随温度变化趋势如图1[3]。
低普朗特数特性使得液态金属流动换热过程中分子热传导占主导地位，而湍流传热较小，但是随着流动雷诺数的增大，湍流脉动增加，湍流传热会随之增加。Kawamura[4]使用直接数值模拟方法对Rev=180的不同普朗特数流体在平行加热板板内的流动换热进行研究时，对湍流热流密度和分子热流密度在总的热流密度中所占比例随普朗特数的变化发现，随着分子普朗特数的减小，湍流热流密度所占比例越来越小。L. Bricteux[5]和M. Duponcheel[6]在Kawamura的计算基础上对于更低普朗特数流体使用的更高湍流雷诺数将湍流热流密度和分子热流密度在总热流密度中所占份额的规律拓展宽到了不同雷诺数上，发现随着在较低普朗特数液态金属流体中，随着雷诺数的增大，湍流热流密度所占比例也在增大。
Kasagi和Ohtsubo[7]使用DNS对液态金属（Pr=0.025）在平板中的强迫对流研究发现，相比于普朗特数（Pr～O（1））的流体充分发展湍流温度边界层上粘性底层、缓冲区、对数律区、湍流中心区的流态分布不同，低雷诺数的液态金属流动出现线性区延长、对数区消失的现象。Kawamura[3，8]先后研究了Pr数和Re数对温度平均量和近壁面湍流脉动量的影响，发现在相同雷诺数下，近壁面的平均温度随着Pr的减小条纹结构更厚更宽，随着Re数的增大，条纹结构也会变得更厚更宽。而Gr?tzbach G[2]对湍流脉动温度和脉动温度最大值出现的壁面距离无量纲数研究时整理前人数值模拟数据发现，对于Pr = 0.71及更大普朗特数的流体数据，湍流脉动温度分布与Re基本无关，这意味着它们只依赖于Pr，而低Pr的结果却发现湍流脉动温度分布强烈依赖于Re。在脉动最大值位置的壁面无量纲距离ymax+处也存在类似的复杂行为。因此，湍流速度场与湍流温度场之间差异较大。
液态金属冷却的流动和传热应用范围从强迫流动到自由对流。强迫对流与自由对流的过渡状态称为混合对流，混合对流在许多工业应用中都遇到过，比如热交换器和核反应堆。在强迫对流中，普朗特数只影响温度场和热流密度模型，速度场并不受普朗特数影响，但是在浮升力影响比较大的混合对流中，普朗特数也会影响速度场和应力模型[2，9]。混合对流状态可进一步细分为向上流动的浮力抑制流、向下流动的浮力辅助流和水平流动的交叉流[10]。对于浮力辅助的紊流，壁面剪切应力高于纯强迫对流情况，而对于浮力相反的情况，壁面剪切应力较低。离壁面越远，情况就越相反，流体应力在相对的浮力作用下越高，而在增加的浮力作用下则越低[11]。
当普朗特数约为1时，浮力与流动方向相反时，靠近管壁的速度减慢，但湍流动能的产生增加。增加湍流混合的第二个效应普遍存在，强化了传热。对于浮力辅助的混合对流，流动在靠近壁面处加速。湍流场的改变最初意味着湍流扩散的减少，从而导致更少的有效传热。 當湍流产生量再次增加时，它在足够高的壁面热流密度下恢复[12]。对于普朗特数远小于单位的流体，湍流的热扩散可能是次要的，因此，即使浮力显著地改变了湍流场，它对传热的影响也不再是主要的。L. Marocco[9]对环形向上的液态金属流动计算时给出了随着浮升力的增大，不同雷诺数流动下的换热影响如图2，这一计算数据趋势与Jackson[11，12]给出的理论值和实验值一致。
2 结论
Boussinesq假设下的湍流粘性系数法是雷诺时均方程在工业应用中的重要方法，是N-S方程在准确性要求和计算资源要求之间的一个平衡。低普朗特数流体表现出与经典的普朗特数约为1流体不一样的湍流流动换热特性使得经典模型的通用性受限。
（1）在相同雷诺数下，低普朗特数流体流动过程中，湍流热流密度和分子热流密度比值比中高普朗特数流体要小，分子传热系数对传热效率影响大，但是随着雷诺数的增大而减小。
（2）在同一雷诺数小，因为湍流对低普朗特数液态金属的传热影响较小，所以浮升力对湍流场的改变对传热影响也较小，这与中高普朗特数流体的混合对流状态不一样，随雷诺数增大，浮升力的影响增大。
（3）液态金属在流动过程中，湍流速度场和湍流温度场表现出迥异的分布特点，雷诺比拟将不再适用，经典的常数湍流普朗特数不再是常数而需要对之建模，使之适用于低普朗特数湍流场特征。
（4）壁面函数的使用对于工业应用规模来说十分有利，因为它能够有效减少网格，在低普朗特数流动换热的温度边界层中的对数律区，分子热扩散系数不可忽略，在经典壁面函数使用时，应该加上湍流热扩散系数对换热的影响。
参考文献
[1] Schulenberg T， Stieglitz R. Flow measurement techniques in heavy liquid metals[J]. Nuclear Engineering and Design， 2010， 240（9）： 2077-2087.
[2] Gr?tzbach G. Challenges in low-Prandtl number heat transfer simulation and modelling[J]. Nuclear engineering and design， 2013（264）： 41-55.
[3] Jaeger W. Heat transfer to liquid metals with empirical models for turbulent forced convection in various geometries[J]. Nuclear Engineering and Design， 2017（319）： 12-27.
[4] Kawamura H， Ohsaka K， Abe H， et al. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow， 1998， 19（5）： 482-491.
[5] Bricteux L， Duponcheel M， Winckelmans G， et al. Direct and large eddy simulation of turbulent heat transfer at very low Prandtl number： Application to lead–bismuth flows[J]. Nuclear Engineering and Design， 2012（246）： 91-97.
[6] Duponcheel， Matthieu， et al. "Assessment of RANS and improved near-wall modeling for forced convection at low Prandtl numbers based on LES up to Reτ= 2000." International Journal of Heat and Mass Transfer，2014（75）：470-482.
[7] Gr?tzbach， G.， 1981. Numerical simulation of turbulent temperature fluctuations in liquid metals. Int. J. Heat Mass Transfer，2015（24）：475-490.
[8] Kasagi N， Ohtsubo Y. Direct numerical simulation of low Prandtl number thermal field in a turbulent channel flow[M]//Turbulent Shear Flows 8. Springer， Berlin， Heidelberg，1993.
[9] Kawamura H， Ohsaka K， Abe H， et al. DNS of turbulent heat transfer in channel flow with low to medium-high Prandtl number fluid[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow， 1998， 19（5）： 482-491.
[10]Marocco L， di Valmontana A A， Wetzel T. Numerical investigation of turbulent aided mixed convection of liquid metal flow through a concentric annulus[J]. International Journal of Heat and Mass Transfer， 2017（105）： 479-494.
[11]Gebhart， B.， Jaluria， Y.， Mahajan， R.L.， Sammakia， B.， 1991. Mixed convection. In：Buoyancy-Induced Flows and Transport， Moscow， Mir， In Russian，2016（15）：575-663.
[12]Jackson J D. Turbulent mixed convection heat transfer to liquid sodium[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow， 1983， 4（2）： 107-111.