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凸函数是数学函数的一类特征。对于函数的凸凹性在各种教材或者国内国外的定义是相反的。如中国经济学中的函数的凸凹性和数学教材中的凸凹性相反。对于有些教材把凸凹函数分为上凸函数和下凸函数。但是无论如何定义，凸函数在经济学很多方面得以应用。本文着重对凸函数在数理经济学中的应用问题进行了分析，为如何巧妙构建凸函数模型进行了很好的示范。
凸函数 数理经济学 应用问题
数理经济学是指运用数学方法，对经济学进行陈述和研究的一个经济学分支。数学在经济方面的应用，至今仍然在不断地尽享发展和探索。通过以微积分、集合论、线性模型的知识运用，使数理经济学在分析经济事务上取得一些成就。通过对凸函数的介绍和主要的函数性质，对数理经济学中的问题引入数学方法，使问题更加明朗化，从而直观的解决经济问题。本文根据凸函数的性质，引入对数理经济学的相关研究，建立数学模型，从而解决达到对相关的问题进行有效的数学分析。
凸函数定义：设f未定义在区间I上的函数，若I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1-λ）x2） ≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）则称f为I上的凸函数，简称为f在I区间凸。
在生产函数中的应用
生产函数是在目前的形势下，一个单一产品最大产出量和其所需要的材料之间投入量的关系。经济学中的定义为：给定投资下所能得到的最大产出量。生产函数一般分为：一种可变投入和多种可变投入。通常一种可变适用于短期生产，多种可变适用于长期生产。将生产函数用Q来表示，我们可以笼统的写为：Q=f（L，K，N，E）。其中L，K，N，E分别表示产量、投入劳动、资本、土地和企业家。其中最主要的因素是劳动和资本，因此公式也可以简化成：Q=f（L，K）。这就形成了有关生产的凸函数模型。
令总产量TP=Q，设平均产量AP边际产量MP，设Q=f（L，K）连续，则APL=Q/L，APK=Q/K，MPL=dQ/dL，MPK=dQ/dK。生产函数是一个凸函数，在d2Q≥0时，可导凸函数的导函数是单调递增的。在其他情况保持不变的情况下，由于新增一个单位的投入而多产生出来的产出，我们称之为边际产量（MP）。则dMP≤0也是可导的。那么这就能验证，随着资本和劳动的不断投入，中产量会呈现不断地减少的趋势。因此，我们也可以说，在目前固定的生产条件下，要想让企业出于经济增长的状态，应该加大对资本和劳动力的投入才可以获得比目前高的产出。
由生产函数引起的思维发散
接上题来看，生产函数的前提是建立在现代产业部门的角度，把资本劳动和技术看做是一个变量来进行建模的，这个模型在很多行业都可以套用。比如大部分的制造业。同样，农业作为一种单一的生产行业，也可以适用于此模型来分析。早在20世纪90年代，国家经济学者就分析了在增加劳动力的前提下，会促进我国粮食产量的增长。以此，反证我国在有效劳动力上的投入是不足的。在二元经济结构的影响下，城乡产业和农业的收入不断的拉大，农业劳动力的成本增加。理性的青壮年劳动力从农业转化到现代化产业部门。从而形成了经久不衰的“农民工”潮流。工业劳动力的年轻化，使农业的有效劳动力产生了抽血式锐减。农业的劳动力外流，停留在农业的劳动值就下降，只是农业技术推广滞后，耕地抛荒的几率增大，农业劳动力过度流失达到一个最大值的时候，土地的粮食产量下降到极点。国家就是根据近几年农业劳动力外流的情况严重，开始大力发展农业，推行很多惠民的政策，这样使农业的劳动力保持在一定可控的范围内，从而不会引起国家粮食的危机。通过引进先进的农业技术，使农业生产里不断增强，从而达到农业产量趋势上升，保障国家粮食生产和人民基本生活的稳定。
凸函数在进货量上的应用
现在网络化越来越先进，网络购物成为人们在生活中不可或缺的一部分。于是这带动了许多网店的崛起。进货量的衡量对于网店至关重要，进货量过多会造成货品积压，产生经济损失；进货量少会造成断货，从而增大了成本和时间的投入。那么应该如何衡量进货率？可以根据此问题建立数学模型。
我们可以假设商品正常销售单价和处理销售单价固定不变，在储存时没有损耗，购买量为平均库存量50%。设正常销售单价为X1，处理销售单价为X2，购货成本为S，则x1>x2。
假设购货时进货价低于平时价格设为x3，去年缺货次数为A，购买次数是B，购买时间是t。开网店总成本（TC）=存货成本+其他成本+采购成本，则TC=HC+SY/Q+Yx3。存货成本（HC）=平均库存量*商品存货价格，则HC=1/2Q*x2*x3/x1。去年销售商品总计为Y1，需要计算购买量Q为何值时，成本最小。
因此，总成本M和购买量就成为x1，x2，x3的函数。对总成本M和购买量Q进行二阶求导，可以得出d2TC/d2Q=2SY/Q3>0可求Q，根据极值定理能求出TC的最小值。如果设Y=Y1+y其中Y1是销售总量，y是安全库存量，y=安全系数*购买期间需求量标准方差*√购买时间=β*δ*√t，则存货满足率=年缺货次数/年订货次数=a/b。求矩阵HTC的特征值。HTC>0可判定矩阵HTC正定。通过这个数学模型我们可以计算商品打几折时购买量能达到最佳。因此，我们进货购买量确定为400个，就可以保证网店不会断货也不会造成积压。这样的核算能够使我们进货更加科学，对于没有商业经验的网店店主来说是比较客观的方法。
（4）由进货量形成的扩展应用
人们在进货量上使用了凸函数来计算进货量，规避商业风险，进一步通过进货的成本核算来核算利润也是可以的。同样也能利用凸函数来进行核算。当一个企业确定了价格体系之后，投入和产出就有了量化的标准。因此，也可以将利润的值看做因价格的改变而改变的的函数。因此可以构建公式。即在x∈V的前提下，有x（P）=max-。这里的=是指它的收入，=是指它的成本。如果y具有唯一值，设Py设为产出价格，Px是投入价格，x（P）= ﹛maxPyy-﹜= max﹛Pyf（x）- ﹜。则y=f（x）是企业的生产函数。产出量固定时，利润就有x（p，y）=Pyy-min= Py-C （px，y），从而推导出C （px，y）= min就是成本函数。这就能系统的规划一个企业的生产能力了。利润函数和成本函数都和价格体系息息相关。
通过函数的推导，可确定已知企业成本函数，是否可以推导企业利润，生产方面的函数。因此，企业可以通过构建相应的模型，在企业的生产和投入比例上进行良好的资源搭配，从而实现对企业的科学管控。这样就算是不依赖多年经商的经验，也可以做到实现企业利润的最大化。可见，数学方法在数理经济中的应用是非常重要的。经济学家可以通过凸函数完成从整个行业到一个企业的相关测算。整个贯穿于经济的宏观和微观两个方面。从而整体把握行业的态势，引领行业趋势。对国家的宏观调控起到客观，有效的指导作用。
总结
经济学上对于财务和货物之间的结算很复杂，包括了劳力、运输、库存以及服务等等资源的集合，企业和个人掌握的是多维立体交叉的财货信息，依靠单一的线性分析核算，较为费时费力。运用凸函数可以将众多信息建立一个立体多维的数学模型。因此可以将整个的财货信息看做是一个N维的空间体，而在这个空间中的一个点就可以用Z来表示。众多的财货信息则是Z=（Z1，Z2，…Zm）。这个集合表示从第一种到第m种的集合。所以，财货空间又可以称之为财货丛。财货丛可正可负，可以将Z+看作是生产过程的积累，Z-看作是生产过程的消耗。若设z1=y将y定义为产出量，并设定y为非负实数，则表示投入量对财货丛的影响。这就是数理经济对凸函数的凸性运用。
对于这些规划都是非线性的，数理经济学将这种非线性规划称为凸规划。意思是通过凸函数的特性将问题进行建模，运用凸函数的定理对其进行分析，可以得出对于实际问题的结论，从而在问题的处理上更加简洁。这种规划主要用于投资组合、生产资源组合，厂址甄选、器皿容积如何规划等等。将抽象的凸函数概念转化为具体的模型工具，进而为人们解决了实际问题。这也彰显了数学的逻辑性和实用性，可以應用到生活中各个领域的特性。
[1]付榆.凸函数的性质及应用[J].读写算（教研版），2013，（19）：147-147.
[2]陈秋涵.凸函数在微观经济学中的应用[J].科技通报，2014，（5）：48-50，54.
[3]李思凝.凸函数的判定、 性质与应用研究[J].西部皮革，2016，38（14）：296.
凸函数 数理经济学 应用问题
数理经济学是指运用数学方法，对经济学进行陈述和研究的一个经济学分支。数学在经济方面的应用，至今仍然在不断地尽享发展和探索。通过以微积分、集合论、线性模型的知识运用，使数理经济学在分析经济事务上取得一些成就。通过对凸函数的介绍和主要的函数性质，对数理经济学中的问题引入数学方法，使问题更加明朗化，从而直观的解决经济问题。本文根据凸函数的性质，引入对数理经济学的相关研究，建立数学模型，从而解决达到对相关的问题进行有效的数学分析。
凸函数定义：设f未定义在区间I上的函数，若I上的任意两点x1，x2和任意实数λ∈（0，1）总有f（λx1+（1-λ）x2） ≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）则称f为I上的凸函数，简称为f在I区间凸。
在生产函数中的应用
生产函数是在目前的形势下，一个单一产品最大产出量和其所需要的材料之间投入量的关系。经济学中的定义为：给定投资下所能得到的最大产出量。生产函数一般分为：一种可变投入和多种可变投入。通常一种可变适用于短期生产，多种可变适用于长期生产。将生产函数用Q来表示，我们可以笼统的写为：Q=f（L，K，N，E）。其中L，K，N，E分别表示产量、投入劳动、资本、土地和企业家。其中最主要的因素是劳动和资本，因此公式也可以简化成：Q=f（L，K）。这就形成了有关生产的凸函数模型。
令总产量TP=Q，设平均产量AP边际产量MP，设Q=f（L，K）连续，则APL=Q/L，APK=Q/K，MPL=dQ/dL，MPK=dQ/dK。生产函数是一个凸函数，在d2Q≥0时，可导凸函数的导函数是单调递增的。在其他情况保持不变的情况下，由于新增一个单位的投入而多产生出来的产出，我们称之为边际产量（MP）。则dMP≤0也是可导的。那么这就能验证，随着资本和劳动的不断投入，中产量会呈现不断地减少的趋势。因此，我们也可以说，在目前固定的生产条件下，要想让企业出于经济增长的状态，应该加大对资本和劳动力的投入才可以获得比目前高的产出。
由生产函数引起的思维发散
接上题来看，生产函数的前提是建立在现代产业部门的角度，把资本劳动和技术看做是一个变量来进行建模的，这个模型在很多行业都可以套用。比如大部分的制造业。同样，农业作为一种单一的生产行业，也可以适用于此模型来分析。早在20世纪90年代，国家经济学者就分析了在增加劳动力的前提下，会促进我国粮食产量的增长。以此，反证我国在有效劳动力上的投入是不足的。在二元经济结构的影响下，城乡产业和农业的收入不断的拉大，农业劳动力的成本增加。理性的青壮年劳动力从农业转化到现代化产业部门。从而形成了经久不衰的“农民工”潮流。工业劳动力的年轻化，使农业的有效劳动力产生了抽血式锐减。农业的劳动力外流，停留在农业的劳动值就下降，只是农业技术推广滞后，耕地抛荒的几率增大，农业劳动力过度流失达到一个最大值的时候，土地的粮食产量下降到极点。国家就是根据近几年农业劳动力外流的情况严重，开始大力发展农业，推行很多惠民的政策，这样使农业的劳动力保持在一定可控的范围内，从而不会引起国家粮食的危机。通过引进先进的农业技术，使农业生产里不断增强，从而达到农业产量趋势上升，保障国家粮食生产和人民基本生活的稳定。
凸函数在进货量上的应用
现在网络化越来越先进，网络购物成为人们在生活中不可或缺的一部分。于是这带动了许多网店的崛起。进货量的衡量对于网店至关重要，进货量过多会造成货品积压，产生经济损失；进货量少会造成断货，从而增大了成本和时间的投入。那么应该如何衡量进货率？可以根据此问题建立数学模型。
我们可以假设商品正常销售单价和处理销售单价固定不变，在储存时没有损耗，购买量为平均库存量50%。设正常销售单价为X1，处理销售单价为X2，购货成本为S，则x1>x2。
假设购货时进货价低于平时价格设为x3，去年缺货次数为A，购买次数是B，购买时间是t。开网店总成本（TC）=存货成本+其他成本+采购成本，则TC=HC+SY/Q+Yx3。存货成本（HC）=平均库存量*商品存货价格，则HC=1/2Q*x2*x3/x1。去年销售商品总计为Y1，需要计算购买量Q为何值时，成本最小。
因此，总成本M和购买量就成为x1，x2，x3的函数。对总成本M和购买量Q进行二阶求导，可以得出d2TC/d2Q=2SY/Q3>0可求Q，根据极值定理能求出TC的最小值。如果设Y=Y1+y其中Y1是销售总量，y是安全库存量，y=安全系数*购买期间需求量标准方差*√购买时间=β*δ*√t，则存货满足率=年缺货次数/年订货次数=a/b。求矩阵HTC的特征值。HTC>0可判定矩阵HTC正定。通过这个数学模型我们可以计算商品打几折时购买量能达到最佳。因此，我们进货购买量确定为400个，就可以保证网店不会断货也不会造成积压。这样的核算能够使我们进货更加科学，对于没有商业经验的网店店主来说是比较客观的方法。
（4）由进货量形成的扩展应用
人们在进货量上使用了凸函数来计算进货量，规避商业风险，进一步通过进货的成本核算来核算利润也是可以的。同样也能利用凸函数来进行核算。当一个企业确定了价格体系之后，投入和产出就有了量化的标准。因此，也可以将利润的值看做因价格的改变而改变的的函数。因此可以构建公式。即在x∈V的前提下，有x（P）=max
通过函数的推导，可确定已知企业成本函数，是否可以推导企业利润，生产方面的函数。因此，企业可以通过构建相应的模型，在企业的生产和投入比例上进行良好的资源搭配，从而实现对企业的科学管控。这样就算是不依赖多年经商的经验，也可以做到实现企业利润的最大化。可见，数学方法在数理经济中的应用是非常重要的。经济学家可以通过凸函数完成从整个行业到一个企业的相关测算。整个贯穿于经济的宏观和微观两个方面。从而整体把握行业的态势，引领行业趋势。对国家的宏观调控起到客观，有效的指导作用。
总结
经济学上对于财务和货物之间的结算很复杂，包括了劳力、运输、库存以及服务等等资源的集合，企业和个人掌握的是多维立体交叉的财货信息，依靠单一的线性分析核算，较为费时费力。运用凸函数可以将众多信息建立一个立体多维的数学模型。因此可以将整个的财货信息看做是一个N维的空间体，而在这个空间中的一个点就可以用Z来表示。众多的财货信息则是Z=（Z1，Z2，…Zm）。这个集合表示从第一种到第m种的集合。所以，财货空间又可以称之为财货丛。财货丛可正可负，可以将Z+看作是生产过程的积累，Z-看作是生产过程的消耗。若设z1=y将y定义为产出量，并设定y为非负实数，则表示投入量对财货丛的影响。这就是数理经济对凸函数的凸性运用。
对于这些规划都是非线性的，数理经济学将这种非线性规划称为凸规划。意思是通过凸函数的特性将问题进行建模，运用凸函数的定理对其进行分析，可以得出对于实际问题的结论，从而在问题的处理上更加简洁。这种规划主要用于投资组合、生产资源组合，厂址甄选、器皿容积如何规划等等。将抽象的凸函数概念转化为具体的模型工具，进而为人们解决了实际问题。这也彰显了数学的逻辑性和实用性，可以應用到生活中各个领域的特性。
[1]付榆.凸函数的性质及应用[J].读写算（教研版），2013，（19）：147-147.
[2]陈秋涵.凸函数在微观经济学中的应用[J].科技通报，2014，（5）：48-50，54.
[3]李思凝.凸函数的判定、 性质与应用研究[J].西部皮革，2016，38（14）：296.