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【摘 要】等价无穷小在极限的求解中具有重要作用，其可使复杂的极限求解简单化，是我们高中生学习的难点及重点之一。本文主要在等价无穷小的理论基础上，通过实例对等价无穷小代换的简洁性与价值性进行验证，并进一步推广等价无穷小的替换定理，以提高我们极限求解的能力。
【关键词】等价无穷小 极限 运算
一、引言
等价无穷小是极限求解过程中最常用的方法之一，同时也是我们高中生需掌握的重要知识点之一。虽然求极限的方法多种多样，但我们在学习极限的过程中，由于极限思想相对抽象，而等价无穷小的替换是一种简单有效的方法，可将求极限具体化、形象化，特别是在一些未定型求极限应用中，利用等价无穷小求解更加的简便与快捷，这对我们更好的掌握求极限的理论与方法具有重要意义。
二、等价无穷小的理论基础
极限是高等数学学习的理论基础，在我们学习高等数学的
过程中具有重要作用。而等价去无穷小主要是指：设 ，
是某一变化过程中的无穷小量，且 ≠0，若 =1，则称
与 使等价无穷小，记为 。
在我们高中学习过程中，常见的用来代换的等价无穷小有：设 为某一变化过程中的无穷小量，在有
常见的性质有：设 = ， = ， 是某一变
化过程中的无穷小量，且 ≠0， ≠0， ≠0，则
定理1：在自变量同一变化的过程中，若 ，
则得出的结论如下：
若 存在或为无穷大，则有 = ；若 不存在（除无穷大），则 也不存在。说明： = = ，证明完毕。
若 存在，则有 = = ，可知 即存在，这种情况下，则和题设是矛盾的，因此， 是不存在的，证明完毕。
上述四题中是 、 型未定式，若使用洛必达法进行解
决则较为麻烦，而应用等价无穷小来求极限，可大大减少我们解题过程中的计算量，在求极限运算中具有重要作用。
例2： 若在本题的分子中直接采用等价无穷小替换，也会得到相同的
结果，即：
定理2：在自变量的同一变化过程中 ， ， =A（A≠-1）或无穷大，则可得出 。
证明：①若 =A（A≠1），则有 ；证明完毕。
②若 =∞，而 = =0，则有 =1
推论：在自变量的同一变化过程中， ， ， A（A≠-1）或无穷大，则
证明： ，证明完毕。
由定理2可知例2分子中 = ，正好满足定理2的相关条件，因此，我们高中生在解题的过程中，可直接采用等价无穷小进行替换，这样可将解题过程中简单化、便捷化。
例3：①
②
③ 。
由此可見，等价无穷小替换不仅在 型、 型未定式中得到广泛应用，在 、 型未定式中也能得到有效应用。
定理3：在自变量的统一变化过程中， ， ， >0，则可得 。则：
，证明完毕。
定理4：在自变量的同一变化过程中， ， ，则 。
证明： 。
例4：
从定理4的例题中可以看出掌握等价替换的条件对我们高中生求解函数、数列的极限会有较大帮助，在一定程度上，可大大减少计算量。
三、等价无穷小在求极限中的应用
等价无穷小替代法的主要目的就是实现运算的简化，在实际运算过程中，和其它计算方法相比，等价无穷小这种计算方法对于我们高中生来说应用更为有效。
在求极限的过程中，我们高中生应对等价无穷小的理论基础予以重视，以下将通过三个在日常学习过程中遇到的三种典型例题，对等价无穷小在求极限中的应用进行分析。
例1：求极限 。
解：利用等价无穷小的替换， ， ，因此 = 。
例2：求极限 。
解：利用等价无穷小的替换， ， ，则 = 。
例3：求极限 。
解：利用等价无穷小的替换， ， ，则 = 。
四、注意事项
等价无穷小在求極限中的应用主要是将分子或分母整体替换掉，主要满足乘积计算，无法直接应用于加减类型中，避免出现逻辑错误。
例如：求极限 。
错解：利用等价无穷小进行替换， ， ，则 = 。这种情况则是未能正确应用定理而出现的错误，在我们日常学习中，普遍会出现该类错误，正
确解法应为：
上题中出现错误的主要原因在于用 代替了0，可我们注意到在计算极限 ，在 的过程中，0是“最高阶”的无穷小， 是比0的低阶无穷小，由此可见， 与 并不等价，因此，是无法进行代替的。根据以往学习经验总结出，针对这种问题，可将分子分母作为一个整体，并采取适宜的处理方式进行解决。
五、结语
无穷小量与极限这两者之间存在紧密联系，而无穷小量的加减乘除运算及求极限等内容是我们学习高等数学的开端与基础，因此，我们在学习高中数学的过程中，应正确理解相关概念，并熟练掌握有关计算方法，这对我们学习高等数学具有重要意义。
参考文献
[1]郭竹梅，张海燕.等价无穷小的性质及其在极限运算中的应用[J].河北北方学院学报（自然科学版），2010，26（6）：21-25.
[2]唐加冕.等价无穷小代换在极限运算中的应用[J].赤峰学院学报（自然版），2010，26（3）：4-5.
[3]郑烨.例说等价无穷小在求函数极限中的应用及推广[J].漯河职业技术学院学报，2012，11（5）：88-89.
[4]王巧云，门少平.关于等价无穷小量的乘积问题及其在极限运算中互相替换问题的探讨[J].喀什师范学院学报，2011，32（3）：10-12.
【关键词】等价无穷小 极限 运算
一、引言
等价无穷小是极限求解过程中最常用的方法之一，同时也是我们高中生需掌握的重要知识点之一。虽然求极限的方法多种多样，但我们在学习极限的过程中，由于极限思想相对抽象，而等价无穷小的替换是一种简单有效的方法，可将求极限具体化、形象化，特别是在一些未定型求极限应用中，利用等价无穷小求解更加的简便与快捷，这对我们更好的掌握求极限的理论与方法具有重要意义。
二、等价无穷小的理论基础
极限是高等数学学习的理论基础，在我们学习高等数学的
过程中具有重要作用。而等价去无穷小主要是指：设 ，
是某一变化过程中的无穷小量，且 ≠0，若 =1，则称
与 使等价无穷小，记为 。
在我们高中学习过程中，常见的用来代换的等价无穷小有：设 为某一变化过程中的无穷小量，在有
常见的性质有：设 = ， = ， 是某一变
化过程中的无穷小量，且 ≠0， ≠0， ≠0，则
定理1：在自变量同一变化的过程中，若 ，
则得出的结论如下：
若 存在或为无穷大，则有 = ；若 不存在（除无穷大），则 也不存在。说明： = = ，证明完毕。
若 存在，则有 = = ，可知 即存在，这种情况下，则和题设是矛盾的，因此， 是不存在的，证明完毕。
上述四题中是 、 型未定式，若使用洛必达法进行解
决则较为麻烦，而应用等价无穷小来求极限，可大大减少我们解题过程中的计算量，在求极限运算中具有重要作用。
例2： 若在本题的分子中直接采用等价无穷小替换，也会得到相同的
结果，即：
定理2：在自变量的同一变化过程中 ， ， =A（A≠-1）或无穷大，则可得出 。
证明：①若 =A（A≠1），则有 ；证明完毕。
②若 =∞，而 = =0，则有 =1
推论：在自变量的同一变化过程中， ， ， A（A≠-1）或无穷大，则
证明： ，证明完毕。
由定理2可知例2分子中 = ，正好满足定理2的相关条件，因此，我们高中生在解题的过程中，可直接采用等价无穷小进行替换，这样可将解题过程中简单化、便捷化。
例3：①
②
③ 。
由此可見，等价无穷小替换不仅在 型、 型未定式中得到广泛应用，在 、 型未定式中也能得到有效应用。
定理3：在自变量的统一变化过程中， ， ， >0，则可得 。则：
，证明完毕。
定理4：在自变量的同一变化过程中， ， ，则 。
证明： 。
例4：
从定理4的例题中可以看出掌握等价替换的条件对我们高中生求解函数、数列的极限会有较大帮助，在一定程度上，可大大减少计算量。
三、等价无穷小在求极限中的应用
等价无穷小替代法的主要目的就是实现运算的简化，在实际运算过程中，和其它计算方法相比，等价无穷小这种计算方法对于我们高中生来说应用更为有效。
在求极限的过程中，我们高中生应对等价无穷小的理论基础予以重视，以下将通过三个在日常学习过程中遇到的三种典型例题，对等价无穷小在求极限中的应用进行分析。
例1：求极限 。
解：利用等价无穷小的替换， ， ，因此 = 。
例2：求极限 。
解：利用等价无穷小的替换， ， ，则 = 。
例3：求极限 。
解：利用等价无穷小的替换， ， ，则 = 。
四、注意事项
等价无穷小在求極限中的应用主要是将分子或分母整体替换掉，主要满足乘积计算，无法直接应用于加减类型中，避免出现逻辑错误。
例如：求极限 。
错解：利用等价无穷小进行替换， ， ，则 = 。这种情况则是未能正确应用定理而出现的错误，在我们日常学习中，普遍会出现该类错误，正
确解法应为：
上题中出现错误的主要原因在于用 代替了0，可我们注意到在计算极限 ，在 的过程中，0是“最高阶”的无穷小， 是比0的低阶无穷小，由此可见， 与 并不等价，因此，是无法进行代替的。根据以往学习经验总结出，针对这种问题，可将分子分母作为一个整体，并采取适宜的处理方式进行解决。
五、结语
无穷小量与极限这两者之间存在紧密联系，而无穷小量的加减乘除运算及求极限等内容是我们学习高等数学的开端与基础，因此，我们在学习高中数学的过程中，应正确理解相关概念，并熟练掌握有关计算方法，这对我们学习高等数学具有重要意义。
参考文献
[1]郭竹梅，张海燕.等价无穷小的性质及其在极限运算中的应用[J].河北北方学院学报（自然科学版），2010，26（6）：21-25.
[2]唐加冕.等价无穷小代换在极限运算中的应用[J].赤峰学院学报（自然版），2010，26（3）：4-5.
[3]郑烨.例说等价无穷小在求函数极限中的应用及推广[J].漯河职业技术学院学报，2012，11（5）：88-89.
[4]王巧云，门少平.关于等价无穷小量的乘积问题及其在极限运算中互相替换问题的探讨[J].喀什师范学院学报，2011，32（3）：10-12.