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摘 要：本文根据压杆微单元受力模型，基于小挠度理论，根据内力平衡，建立压杆自由振动微分方程并进行求解。结合结构的振动理论，通过固有频率随轴向压力变化而改变的规律，推导了压杆临界荷载的计算公式，给出了不同边界条件下的压杆临界荷载。该方法计算结果与材料力学公式做了比较，证明本方法推导简便，思路清晰，结果准确可靠，可为压杆的稳定性分析提供一种新的研究思路。
关键词：压杆；稳定性；自由振动
中图分类号：TG375+.44 文献标识码：A 文章编号：
引言
结构在外载荷作用下，外力和内力必须保持平衡状态，否则无法正常工作，若这种平衡状态是不稳定的，即使存在一微小的载荷增量就会使结构或其组成构件产生很大且无法确定的变形以致最后丧失承载能力，这种情况就称为失稳[1]。压杆是一种典型的易发生失稳的结构。作用在结构上的外力达到某一个数值时，稳定平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形便迅速增大，使结构失去正常工作能力[2]。压杆目前已被广泛应用于各种工程结构，由于长细比较大，如果考虑不当就有可能由于构件失稳而使结构丧失承载力[3]，此时稳定性分析显得尤为重要，强度已不再是其主要影响因素。压杆稳定问题一直以来都是力学中的一个重要课题。本文以结构振动[4]的基本理论为基础，，由最低阶自由振动频率退化为零来求解压杆的临界力[5] [6]。通过引入压杆边界条件，求解结构的振动微分方程和频率特征方程，对压杆进行稳定性分析。
1轴向压杆自由振动
如图1所示轴向受压杆段，根据小挠度理论和达朗伯原理，由内力平衡有
图1 压杆单元
作者简介：王孟豪(1986—)，男，助理工程师，河南世纪博通工程咨询有限公司
馮旭(1985—)，男，助理工程师，河南世纪博通工程咨询有限公司
以上式中，为轴向压力，为轴向位移，为单位长度质量，为抗弯刚度。
令，代入式(5)，推导得
2压杆临界荷载计算
轴向压杆自由振动固有频率随着轴向力的增大而减小，当轴向力较大时，这种减小的趋势更为显著。当自振频率时，压杆离开原来的平衡状态，不能恢复到起始位置，此时轴向力的数值即是该压杆的临界荷载值。所以，压杆的临界力可通过固有频率随轴向压力的变化规律来确定。不同杆端约束的边界条件如表1。
表1 压杆的边界条件
(1) 对于两端铰接的杆件，如图2(a)所示，将边界条件代入式（7），整理得频率特征方程
(2) 对于一端固定、一端自由的杆件，如图2(b)所示,将边界条件代入式（7），整理得频率特征方程
(a) 两端铰接 (b) 一端固定、一端自由
(c)两端固定 (d) 一端固定、一端铰接
图2 不同边界条件的杆件
(3) 对于两端固定的杆件，将如图2(c)所示,边界条件代入式（7），整理得频率特征方程
(4) 对于一端固定、一端铰接的杆件，如图2(d)所示,将边界条件代入式（7），整理得频率特征方程：
在此边界条件下计算压杆稳定性时，应予以仔细斟酌。
由以上分析可知，前三种边界条件下，计算结果与材料力学中的计算公式完全吻合。但对于一端固定、一端铰接的压杆，需要考虑结构实际情况分析求解。
3 结语
本文采用动力分析方法，基于压杆的自由振动方程，采用线性代数方法求解。当自振频率趋于零时，压杆轴向力的数值即是该压杆的临界荷载值，经分析推导得到了压杆失稳临界荷载。计算结果与欧拉理论相一致，验证了该法的正确性和可靠性，也为压杆动力稳定性分析提供有益的基础研究和探索。
参考文献：
[1] 刘江.工程实际结构稳定性分析的数值计算方法研究[D].武汉理工大学，2012.
[2] 李国豪.桥梁结构稳定与振动[M].中国铁道出版社，1992.
[3] 李存权.结构稳定与稳定内力[M]．北京：人民交通出版社．2000．
[4] 高淑英，沈火明.线性振动教程[M].中国铁道出版社，2003.
[5] Felippa C A, Park K C. Staggered transient analysis procedures for coupled mechanical systems: formulation[J]．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1980，24(1)：61-111．
[6] 刘庆潭，倪国荣.结构分析中的传递矩阵法[M].北京：中国铁道出版社，1997．
[7] 孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2002.
关键词：压杆；稳定性；自由振动
中图分类号：TG375+.44 文献标识码：A 文章编号：
引言
结构在外载荷作用下，外力和内力必须保持平衡状态，否则无法正常工作，若这种平衡状态是不稳定的，即使存在一微小的载荷增量就会使结构或其组成构件产生很大且无法确定的变形以致最后丧失承载能力，这种情况就称为失稳[1]。压杆是一种典型的易发生失稳的结构。作用在结构上的外力达到某一个数值时，稳定平衡状态开始丧失，稍有扰动，结构变形便迅速增大，使结构失去正常工作能力[2]。压杆目前已被广泛应用于各种工程结构，由于长细比较大，如果考虑不当就有可能由于构件失稳而使结构丧失承载力[3]，此时稳定性分析显得尤为重要，强度已不再是其主要影响因素。压杆稳定问题一直以来都是力学中的一个重要课题。本文以结构振动[4]的基本理论为基础，，由最低阶自由振动频率退化为零来求解压杆的临界力[5] [6]。通过引入压杆边界条件，求解结构的振动微分方程和频率特征方程，对压杆进行稳定性分析。
1轴向压杆自由振动
如图1所示轴向受压杆段，根据小挠度理论和达朗伯原理，由内力平衡有
图1 压杆单元
作者简介：王孟豪(1986—)，男，助理工程师，河南世纪博通工程咨询有限公司
馮旭(1985—)，男，助理工程师，河南世纪博通工程咨询有限公司
以上式中，为轴向压力，为轴向位移，为单位长度质量，为抗弯刚度。
令，代入式(5)，推导得
2压杆临界荷载计算
轴向压杆自由振动固有频率随着轴向力的增大而减小，当轴向力较大时，这种减小的趋势更为显著。当自振频率时，压杆离开原来的平衡状态，不能恢复到起始位置，此时轴向力的数值即是该压杆的临界荷载值。所以，压杆的临界力可通过固有频率随轴向压力的变化规律来确定。不同杆端约束的边界条件如表1。
表1 压杆的边界条件
(1) 对于两端铰接的杆件，如图2(a)所示，将边界条件代入式（7），整理得频率特征方程
(2) 对于一端固定、一端自由的杆件，如图2(b)所示,将边界条件代入式（7），整理得频率特征方程
(a) 两端铰接 (b) 一端固定、一端自由
(c)两端固定 (d) 一端固定、一端铰接
图2 不同边界条件的杆件
(3) 对于两端固定的杆件，将如图2(c)所示,边界条件代入式（7），整理得频率特征方程
(4) 对于一端固定、一端铰接的杆件，如图2(d)所示,将边界条件代入式（7），整理得频率特征方程：
在此边界条件下计算压杆稳定性时，应予以仔细斟酌。
由以上分析可知，前三种边界条件下，计算结果与材料力学中的计算公式完全吻合。但对于一端固定、一端铰接的压杆，需要考虑结构实际情况分析求解。
3 结语
本文采用动力分析方法，基于压杆的自由振动方程，采用线性代数方法求解。当自振频率趋于零时，压杆轴向力的数值即是该压杆的临界荷载值，经分析推导得到了压杆失稳临界荷载。计算结果与欧拉理论相一致，验证了该法的正确性和可靠性，也为压杆动力稳定性分析提供有益的基础研究和探索。
参考文献：
[1] 刘江.工程实际结构稳定性分析的数值计算方法研究[D].武汉理工大学，2012.
[2] 李国豪.桥梁结构稳定与振动[M].中国铁道出版社，1992.
[3] 李存权.结构稳定与稳定内力[M]．北京：人民交通出版社．2000．
[4] 高淑英，沈火明.线性振动教程[M].中国铁道出版社，2003.
[5] Felippa C A, Park K C. Staggered transient analysis procedures for coupled mechanical systems: formulation[J]．Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1980，24(1)：61-111．
[6] 刘庆潭，倪国荣.结构分析中的传递矩阵法[M].北京：中国铁道出版社，1997．
[7] 孙训方，方孝淑，关来泰.材料力学[M].北京：高等教育出版社，2002.