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【摘要】滤波器在实际信号处理中是非常重要的。任何被检测的信号都含有噪声，而滤波器是去除这种噪声的。数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置。数字信号的输入与输出是一个线性时不变的离散系统。它是利用离散系统特性对输入信号进行加工处理，让有用信号通过。数字滤波器和模拟滤波器都是用来滤波的，根据频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型；数字滤波器按单位脉冲响应的性质可分为无限长单位脉冲响应滤波器IIR和有限长单位脉冲响应滤波器FIR两种。本文主要介绍IIR数字滤波器的设计。
【关键词】数字滤波器 IIR 冲激响应不变法 双线性变换法
一、引言：
随着信息学科的快速发展，数字信号处理技术正在飞速发展，并且渗透到其它技术中。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。它对信号安全可靠和有效灵活的传输是至关重要的。
二、IIR数字滤波器的设计方法
一个数字滤波器可以用系统函数表示为：
由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线性差分方程为：
由此可知数字滤波器的功能就是把输入序列x（n）通过一定的运算变换成输出序列y（n）。不同的处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h（n）是无限长的，其差分方程是递归型的，在结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，所以在z平面的有限区间（0<︱z︱<∞）有极点存在。
目前，IIR数字滤波器的设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经相当成熟了，给数字滤波器的设计带来了很大的方便。
IIR数字滤波器的设计步骤如下（间接法）：
（1） 按任务需要将给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的技术指标；
（2） 根据转换后的性能指标设计模拟低通滤波器H（s）；
（3） 再按照一定的规则将H（s）转换为H（z）。
（4） 若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作就可以结束了，若所设计的是高通，带通或带阻滤波器，那么需要把它们的性能指标转化为低通滤波器的技术指标，然后按照步骤（2）设计出模拟低通滤波器H（s），在利用冲激响应不变法或双线性变换法将H（s）转换为H（z）。
间接法s – z映射的方法有冲激响应不变法，阶跃响应不变法和双线性变换法三种方法。下面分别讨论冲激响应不变法和双线性变换法。
采用冲激响应不变法设计数字滤波器就是使单位样值响应h（n）与相应的模拟滤波器的冲激响应 在抽样点的量值相等，即 其中T为抽样周期。
因此用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器就得首先根据设计要求来确定相应的模拟滤波器的传递函数 ，经过拉普拉斯的反变换求出冲激响应 后，对它进行抽样得到的 等于数字滤波器的单位样值响应h（n），在经过z变换得到的H（z）就是数字滤波器的传递函数。如果模拟滤波器的 的分母阶次大于分子的阶次，则可将 展成部分分式形式
那么经过拉普拉斯反变换求出的模拟滤波器的冲激响应 则为
相应的数字滤波器的单位样值响应为
对h（n）进行z变换，得到数字滤波器的系统函数
由上述推导公式可知，只要模拟滤波器的传递函数 的N个极点 都是单极点，当已经求出各个极点的值 和部分分式的系数 后，则可以从模拟滤波器的传递函数的表达式（ ）直接得到数字滤波器的传递函数H（z）的表达式（ ）。
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换，它将s平面整个变换到一个中介的s1平面的一个水平窄带 Ω：-π/T到
π/T之中，然后经过 的变换，将s1平面的映射到z平面。这样s平面就与s平面一 一对应，消除了多值变换性，避免出现混叠现象。
S平面到z平面的变换可利用
令 jΩ=s， jΩ1=s1得：
从s1平面到z平面的变换即 ，代入上式，得到：
为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入待定系数c，则Ω=c*tan（Ω1T/2）由此得到
这种s平面与z平面之间的单值映射关系就是双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用上述方法置换。
冲激响应不变法与双线性变换法的比较分析：
冲激响应不变法的模拟频率到数字频率的转换是线性的但是它在一定条件下会出现混叠失真，双线性变换法虽然可以克服多值映射的关系和消除频率混叠的现象，但是它是非线性的，在高频处有较大的失真。所以冲激响应不变法的数字化和双线性变换法的数字化要根据实际情况运用。
三、结束语：
本文主要介绍了IIR滤波器的性能指标，设计方法和特点。通常IIR滤波器的设计过程如下：首先根据滤波器的参数要求设计对应的滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等等），然后通过映射（如冲激响应不变法、双线性变换法等等）将模拟滤波器变换为数字滤波器，从而确定IIR滤波器的参数。IIR数字滤波器的最大缺点在于反馈的稳定性不能得到保证。
【参考文献】
[1]吴大正，信号与线性系统分析（第四版）【M】.高等教育出版社
[2]高西全，丁玉美，数字信号处理教程（第三版）。【M】西安电子科技大学出版社
[3]程佩青，数字信号处理教程（第二版）。【M】清华大学出版社，2001（8）
【关键词】数字滤波器 IIR 冲激响应不变法 双线性变换法
一、引言：
随着信息学科的快速发展，数字信号处理技术正在飞速发展，并且渗透到其它技术中。数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支。它对信号安全可靠和有效灵活的传输是至关重要的。
二、IIR数字滤波器的设计方法
一个数字滤波器可以用系统函数表示为：
由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线性差分方程为：
由此可知数字滤波器的功能就是把输入序列x（n）通过一定的运算变换成输出序列y（n）。不同的处理方法决定了滤波器实现结构的不同。无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h（n）是无限长的，其差分方程是递归型的，在结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，所以在z平面的有限区间（0<︱z︱<∞）有极点存在。
目前，IIR数字滤波器的设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经相当成熟了，给数字滤波器的设计带来了很大的方便。
IIR数字滤波器的设计步骤如下（间接法）：
（1） 按任务需要将给出的数字滤波器的性能指标转换为模拟滤波器的技术指标；
（2） 根据转换后的性能指标设计模拟低通滤波器H（s）；
（3） 再按照一定的规则将H（s）转换为H（z）。
（4） 若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作就可以结束了，若所设计的是高通，带通或带阻滤波器，那么需要把它们的性能指标转化为低通滤波器的技术指标，然后按照步骤（2）设计出模拟低通滤波器H（s），在利用冲激响应不变法或双线性变换法将H（s）转换为H（z）。
间接法s – z映射的方法有冲激响应不变法，阶跃响应不变法和双线性变换法三种方法。下面分别讨论冲激响应不变法和双线性变换法。
采用冲激响应不变法设计数字滤波器就是使单位样值响应h（n）与相应的模拟滤波器的冲激响应 在抽样点的量值相等，即 其中T为抽样周期。
因此用冲激响应不变法设计IIR数字滤波器就得首先根据设计要求来确定相应的模拟滤波器的传递函数 ，经过拉普拉斯的反变换求出冲激响应 后，对它进行抽样得到的 等于数字滤波器的单位样值响应h（n），在经过z变换得到的H（z）就是数字滤波器的传递函数。如果模拟滤波器的 的分母阶次大于分子的阶次，则可将 展成部分分式形式
那么经过拉普拉斯反变换求出的模拟滤波器的冲激响应 则为
相应的数字滤波器的单位样值响应为
对h（n）进行z变换，得到数字滤波器的系统函数
由上述推导公式可知，只要模拟滤波器的传递函数 的N个极点 都是单极点，当已经求出各个极点的值 和部分分式的系数 后，则可以从模拟滤波器的传递函数的表达式（ ）直接得到数字滤波器的传递函数H（z）的表达式（ ）。
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换，它将s平面整个变换到一个中介的s1平面的一个水平窄带 Ω：-π/T到
π/T之中，然后经过 的变换，将s1平面的映射到z平面。这样s平面就与s平面一 一对应，消除了多值变换性，避免出现混叠现象。
S平面到z平面的变换可利用
令 jΩ=s， jΩ1=s1得：
从s1平面到z平面的变换即 ，代入上式，得到：
为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入待定系数c，则Ω=c*tan（Ω1T/2）由此得到
这种s平面与z平面之间的单值映射关系就是双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用上述方法置换。
冲激响应不变法与双线性变换法的比较分析：
冲激响应不变法的模拟频率到数字频率的转换是线性的但是它在一定条件下会出现混叠失真，双线性变换法虽然可以克服多值映射的关系和消除频率混叠的现象，但是它是非线性的，在高频处有较大的失真。所以冲激响应不变法的数字化和双线性变换法的数字化要根据实际情况运用。
三、结束语：
本文主要介绍了IIR滤波器的性能指标，设计方法和特点。通常IIR滤波器的设计过程如下：首先根据滤波器的参数要求设计对应的滤波器（如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等等），然后通过映射（如冲激响应不变法、双线性变换法等等）将模拟滤波器变换为数字滤波器，从而确定IIR滤波器的参数。IIR数字滤波器的最大缺点在于反馈的稳定性不能得到保证。
【参考文献】
[1]吴大正，信号与线性系统分析（第四版）【M】.高等教育出版社
[2]高西全，丁玉美，数字信号处理教程（第三版）。【M】西安电子科技大学出版社
[3]程佩青，数字信号处理教程（第二版）。【M】清华大学出版社，2001（8）