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【摘要】本文建立了企业信用等级变动的模型。该模型包含了Yang（2003）考虑到的情形，也包含了违约情形。本文在假设信用等级转换遵循具有吸收状态的齐次马氏链前提下，推导了公司破产后赤字的分布的递推公式，并通过给出数值算例使得结果更加清晰。
【关键词】信用等级具有吸收状态的马氏链破产概率递推公式
一、引言
在保险精算学科中，破产理论已经成为了长期研究中的热点领域。显然，破产理论与金融工程中的违约风险有着紧密的联系。信用风险和信用衍生品是金融界兴趣的焦点。J. P. Morgan的“信用风险度量简介”对这方面进行了综述，另外Das (1995), Das and Tufano (1996), Duffie (1998) 等也对这方面进行了研究。Jarrow et al.(1997) 在公司信用等级的转移服从马氏链的假设前提下对其违约概率进行了研究，Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (杨海亮，2003) 对该模型的前提进行了进一步拓展。Arvanitis et al. (1999) 则建立信用溢价模型，马氏链状态间的转移代表了动态的信用等级的变动。在国内，对此的研究才刚刚开始。魏跃 (2008) 专门对保险企业的破产概率进行了研究，更早的研究则主要是假设泊松(Poisson)分布的条件下对企业破产进行研究，比如：王楚和孔繁超 (2007)，蔡高玉和耿显民 (2007)。
本文中我们将信用风险理论和破产概率理论结合起来，在离散时间框架下，对存在信用等级转移公司的有限时间破产概率问题进行研究。与Jarrow et al. (1997), Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (2003)相类似，我们假设公司信用等级的转移服从马氏链，但与其假设的不同之处在于，我们将违约状态考虑进来，也即我们将马氏链的假设拓展为带有吸收状态的马氏链。从穆迪(Moody)公司的特别报告(Special Report, 1992)中可以看到，这一模型针对投资等级债券较之于投机等级债券更加合理。通过迭代方法，我们可以计算出有限时间破产概率的递推公式，同时为了使问题的说明更加明晰，我们给出了一个数值算例。
本文的组织结构如下：第二部分给出了数理公式与模型。第三部分我们将在考虑信用等级转移的情况下，对公司破产后赤字的分布给出递推公式。为使问题的阐述更加清晰，第四部分则给出破产后赤字分布的数值算例。
二、模型
本文假设公司资产服从如下方程
(1)
其中u表示公司初始资产（或是企业可承受的最大化损失）， 为第n个时间区间内当公司信用等级为i时其资产的损益。该模型指出，在每一段区间的初期，评级机构将提供一个信用评级来评估企业的偿债能力（偿付潜在的要求，也就是说在一家保险公司案例中考察其偿债能力）。我们运用具有吸收态的马尔可夫链来模拟企业信用评级的动态过程，也就是说在我们的模型中，评级机构定义的违约信用等级将会在我们的考察范围中，这样将使我们的理论研究更贴近于现实。
本文我们假设It遵循状态空间为N={1, 2, …, k}的具有吸收态的齐次马氏链，其中状态1表示最高的信用等级，状态k代表最低的投资信用等级。状态k+1为金融企业遭遇严重的经营问题时的状态。在k+1状态下，绝对不能投资于该企业，因为它的负债有很高的违约概率。而且也很难从该种状态下走出。这样，我们有了第一个假设：
假设1：违约等级k+1是可吸收马氏链中的吸收态。就是说一旦企业落入这一等级，将不会再重新评入其他等级。
在穆迪的评级体系中，情形1被定义为Aaa，情形k被定义为Caa而情形k+1被定义为违约情形。相对应的是，在标普评级体系中，情形1被定义为AAA，情形k被定义为CCC，而情形k+1被定义为违约情形。有
假设2：资产组合在第n区间的变化仅仅依赖于第n期的信用评级。
假设3：对于任何固定的i =1, …, k,(m = 1, 2, …)都独立同分布。
假设4：如果一个企业被评为违约等级，它将不会转移到别的等级而且将被视为破产。因此当我们认定在第n期发生破产时，就暗示出要么或是其落入了违约等级。
使T = inf{n; (Un ≤ 0)∪(In = k +1)}为破产时间。在时期n或n之前的破产概率可被定义为：
(4)
三、破产概率的递推公式
在风险理论中，精算人员热衷于某些精算变量，尤其是破产后企业赤字的研究，从而确定出企业风险。本文中，我们将在考虑信用等级转移的情况下对公司破产后赤字的分布给出递推公式。这里我们使用
（5）
来描述破产赤字的分布。考虑到破产问题的复杂性，我们必须作一些准备。破产的条件有两个，然后我们要将破产概率分解为包含于两个命题中的两部分。这里我们仍然运用递推程序。通过运用如下递推公式可获得这一分布：
命题3.1 用
其中i0 =1, …, k。值得注意的是，因为Hni(u+x, y) ≤ 1和F(x)为分布函数，所以其总体集中度非常明显。
最后，我们得出破产赤字分布的递推公式。
因此，类似于前一部分，破产赤字的分布能够通过以上可连接的Volterra积分方程组获得。
四、 数值算例
这里，我们给出一个数值算例。在文献中，通常假设资产损益分布服从正态分布，但实际上，这并不总是适合于任意一家公司。在本文中，我们选取了较多重尾分布的模型来描述资产组合的改变。假设资产损益在每个时间间隔的分布服从转移t分布，即，为转移参数（即）为转移t分布的自由度。在这个例子中，我们设定=9, =2; =17, =1.5; =15, =1; =13, =0.5; =11, =0; =9, =0.5; =7, =1。通過这些参数，容易看出服从自由度为9的转移t分布，因此其分布呈现出正偏和轻尾的特征，取负值的概率较小；服从自由度为7的转移t分布，因此分布负偏呈重尾特征，取负值的概率较高。
表1给出了运用递推公式（5）和（6）计算出的破产概率的数值算例。从这个表格中，我们可以看到，如果一个公司的信用等级为1（如穆迪公司评级中的最高等级Aaa或标准普尔公司评级中的最高等级AAA），公司在接下来10年中的违约概率几乎为0。当信用等级下降时，违约概率就会上升。如果公司的信用等级为7（如穆迪公司评级中的最低等级Caa或标准普尔公司评级中的最低等级CCC），其将有超过20%的概率破产。
参考文献
[1]蔡高玉, 耿显民. 带干扰的双复合Poisson风险模型[J]. 大学数学, 2007, 23(1).
[2]王楚, 孔繁超. 带干扰的双复合Poisson模型的破产概率[J]. 安庆师范学院学报（自然科学版）,2007, 13(2).
[3]魏跃. 最优投资情形下保险企业的破产概率研究[D]. 吉林大学硕士学位论文, 2008.
作者介绍：刘敬童（1979-），女，汉族，四川邻水人，任职于中国石油天然气管道局新闻中心。研究方向：政治经济学；陈罡（1982-），男，汉族，黑龙江人，任职于华电国际电力股份有限公司。研究方向：保险精算。
（责任编辑：刘琦）
【关键词】信用等级具有吸收状态的马氏链破产概率递推公式
一、引言
在保险精算学科中，破产理论已经成为了长期研究中的热点领域。显然，破产理论与金融工程中的违约风险有着紧密的联系。信用风险和信用衍生品是金融界兴趣的焦点。J. P. Morgan的“信用风险度量简介”对这方面进行了综述，另外Das (1995), Das and Tufano (1996), Duffie (1998) 等也对这方面进行了研究。Jarrow et al.(1997) 在公司信用等级的转移服从马氏链的假设前提下对其违约概率进行了研究，Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (杨海亮，2003) 对该模型的前提进行了进一步拓展。Arvanitis et al. (1999) 则建立信用溢价模型，马氏链状态间的转移代表了动态的信用等级的变动。在国内，对此的研究才刚刚开始。魏跃 (2008) 专门对保险企业的破产概率进行了研究，更早的研究则主要是假设泊松(Poisson)分布的条件下对企业破产进行研究，比如：王楚和孔繁超 (2007)，蔡高玉和耿显民 (2007)。
本文中我们将信用风险理论和破产概率理论结合起来，在离散时间框架下，对存在信用等级转移公司的有限时间破产概率问题进行研究。与Jarrow et al. (1997), Kijima and Komoribayashi (1998) 和 Yang (2003)相类似，我们假设公司信用等级的转移服从马氏链，但与其假设的不同之处在于，我们将违约状态考虑进来，也即我们将马氏链的假设拓展为带有吸收状态的马氏链。从穆迪(Moody)公司的特别报告(Special Report, 1992)中可以看到，这一模型针对投资等级债券较之于投机等级债券更加合理。通过迭代方法，我们可以计算出有限时间破产概率的递推公式，同时为了使问题的说明更加明晰，我们给出了一个数值算例。
本文的组织结构如下：第二部分给出了数理公式与模型。第三部分我们将在考虑信用等级转移的情况下，对公司破产后赤字的分布给出递推公式。为使问题的阐述更加清晰，第四部分则给出破产后赤字分布的数值算例。
二、模型
本文假设公司资产服从如下方程
(1)
其中u表示公司初始资产（或是企业可承受的最大化损失）， 为第n个时间区间内当公司信用等级为i时其资产的损益。该模型指出，在每一段区间的初期，评级机构将提供一个信用评级来评估企业的偿债能力（偿付潜在的要求，也就是说在一家保险公司案例中考察其偿债能力）。我们运用具有吸收态的马尔可夫链来模拟企业信用评级的动态过程，也就是说在我们的模型中，评级机构定义的违约信用等级将会在我们的考察范围中，这样将使我们的理论研究更贴近于现实。
本文我们假设It遵循状态空间为N={1, 2, …, k}的具有吸收态的齐次马氏链，其中状态1表示最高的信用等级，状态k代表最低的投资信用等级。状态k+1为金融企业遭遇严重的经营问题时的状态。在k+1状态下，绝对不能投资于该企业，因为它的负债有很高的违约概率。而且也很难从该种状态下走出。这样，我们有了第一个假设：
假设1：违约等级k+1是可吸收马氏链中的吸收态。就是说一旦企业落入这一等级，将不会再重新评入其他等级。
在穆迪的评级体系中，情形1被定义为Aaa，情形k被定义为Caa而情形k+1被定义为违约情形。相对应的是，在标普评级体系中，情形1被定义为AAA，情形k被定义为CCC，而情形k+1被定义为违约情形。有
假设2：资产组合在第n区间的变化仅仅依赖于第n期的信用评级。
假设3：对于任何固定的i =1, …, k,(m = 1, 2, …)都独立同分布。
假设4：如果一个企业被评为违约等级，它将不会转移到别的等级而且将被视为破产。因此当我们认定在第n期发生破产时，就暗示出要么或是其落入了违约等级。
使T = inf{n; (Un ≤ 0)∪(In = k +1)}为破产时间。在时期n或n之前的破产概率可被定义为：
(4)
三、破产概率的递推公式
在风险理论中，精算人员热衷于某些精算变量，尤其是破产后企业赤字的研究，从而确定出企业风险。本文中，我们将在考虑信用等级转移的情况下对公司破产后赤字的分布给出递推公式。这里我们使用
（5）
来描述破产赤字的分布。考虑到破产问题的复杂性，我们必须作一些准备。破产的条件有两个，然后我们要将破产概率分解为包含于两个命题中的两部分。这里我们仍然运用递推程序。通过运用如下递推公式可获得这一分布：
命题3.1 用
其中i0 =1, …, k。值得注意的是，因为Hni(u+x, y) ≤ 1和F(x)为分布函数，所以其总体集中度非常明显。
最后，我们得出破产赤字分布的递推公式。
因此，类似于前一部分，破产赤字的分布能够通过以上可连接的Volterra积分方程组获得。
四、 数值算例
这里，我们给出一个数值算例。在文献中，通常假设资产损益分布服从正态分布，但实际上，这并不总是适合于任意一家公司。在本文中，我们选取了较多重尾分布的模型来描述资产组合的改变。假设资产损益在每个时间间隔的分布服从转移t分布，即，为转移参数（即）为转移t分布的自由度。在这个例子中，我们设定=9, =2; =17, =1.5; =15, =1; =13, =0.5; =11, =0; =9, =0.5; =7, =1。通過这些参数，容易看出服从自由度为9的转移t分布，因此其分布呈现出正偏和轻尾的特征，取负值的概率较小；服从自由度为7的转移t分布，因此分布负偏呈重尾特征，取负值的概率较高。
表1给出了运用递推公式（5）和（6）计算出的破产概率的数值算例。从这个表格中，我们可以看到，如果一个公司的信用等级为1（如穆迪公司评级中的最高等级Aaa或标准普尔公司评级中的最高等级AAA），公司在接下来10年中的违约概率几乎为0。当信用等级下降时，违约概率就会上升。如果公司的信用等级为7（如穆迪公司评级中的最低等级Caa或标准普尔公司评级中的最低等级CCC），其将有超过20%的概率破产。
参考文献
[1]蔡高玉, 耿显民. 带干扰的双复合Poisson风险模型[J]. 大学数学, 2007, 23(1).
[2]王楚, 孔繁超. 带干扰的双复合Poisson模型的破产概率[J]. 安庆师范学院学报（自然科学版）,2007, 13(2).
[3]魏跃. 最优投资情形下保险企业的破产概率研究[D]. 吉林大学硕士学位论文, 2008.
作者介绍：刘敬童（1979-），女，汉族，四川邻水人，任职于中国石油天然气管道局新闻中心。研究方向：政治经济学；陈罡（1982-），男，汉族，黑龙江人，任职于华电国际电力股份有限公司。研究方向：保险精算。
（责任编辑：刘琦）