摘要:本文主要叙述证明了梯形的一个向量性质:梯形ABCD满足=m(m>0),不过点A的直线l分别交梯形ABCD的边AB,AD所在直线于点P,Q,交对角线AC所在直线于点M,若满足=x,=y,=k,则+=. 并对该向量性质进行空间上的拓展.
　　关键词:梯形;向量性质;空间拓展
　　
　　笔者最近对梯形进行研究,得到了一个优美的向量性质,并对其进行空间拓展,现叙述如下:
　　定理1?摇 梯形ABCD满足=m(m>0),不过点A的直线l分别交梯形ABCD边AB,AD所在直线于点P,Q,交对角线AC所在直线于点M,若满足=x,=y•,=k,则+=.
　　
　　图1
　　证明 如图1所示,因为=+=+m,所以=k+mk. ①
　　又P,Q,M三点共线(A不在直线l上),所以=λ+μ(其中λ+μ=1). ②
　　结合题设,由②得=λx+μy. ③
　　联立①③得k+mk=λx+μy•. 又因为与不共线,故有λ+μ=1,λx=mk,μy=k. 所以+=1,即+=.
　　定理1的逆定理?摇 梯形ABCD满足=m(m>0),P,Q,M分别是梯形ABCD边AB,AD所在直线及对角线AC所在直线都异于点A的点,且=x,=y,=k,若满足+=,则P,Q,M三点共线.
　　证明 如图1所示,因为=+=+m,所以=k+mk. 由题设知=,=,则=+. 由于+=k×+=k×=1,从而有P,Q,M三点共线.
　　定理2 底面为梯形的四棱台ABCD-A1B1C1D1满足SA1B1C1D1=n2SABCD(n>0),=m(m>0),不过点A的平面α分别交四棱台ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线于点P,Q,R,交对角线AC1所在直线于点M. 若满足=x,=y,=z,=k,则++=.
　　
　　图2
　　证明 如图2所示,由ABCD-A1B1C1D1为四棱台知上、下底面为相似四边形,又因为SA1B1C1D1=n2SABCD(n>0),所以有=n,从而=+=+n. 由题设=m,=k,
　　所以=k+nk=k+nk(+)=k+nk+mnk. ①
　　又P,Q,R,M四点共面(A不在平面α上),所以=λ+μ+t(其中λ+μ+t=1). ②
　　结合题设,由②得=λx+μy+tz.③
　　联立①③得k+nk+mnk=λx+μy+tz. 又因为,与不共面,故有λ+μ+t=1,λx=mnk,μy=nk,tz=k. 所以++=1,即++=.
　　定理2的逆定理?摇 底面为梯形的四棱台ABCD-A1B1C1D1满足SA1B1C1D1=n2SABCD(n>0),=m(m>0),P,Q,R,M分别是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线及对角线AC所在直线都异于点A的点,且=x,=y,=z,=k. 若满足++=,则P,Q,R,M四点共面.
　　证明 如图2所示,由ABCD-A1B1C1D1为四棱台知上、下底面为相似四边形,又因为SA1B1C1D1=n2SABCD(n>0),所以有=n. 因此=+=+n,结合题设有=k=k+nk=k+nk(+)=k+nk+mnk. 由题设知=,=,=,则=++. 由于++=k×++=k×=1,从而有P,Q,R,M四点共面.