论文部分内容阅读
摘要数形结合是分析数学的重要方法，是发展学生智力的关键所在，是培养学生数学创新意识的基础，也是一个人数学素养的重要组成部分，在大力倡导新课程改革的今天如何在常规教学中，渗透数学思想是数学教师的主要任务。导数是高中数学的重要知识，是研究函数的重要工具和手段，也是数形结合体现最丰富的知识点，在高次方程或非常规方程的根的分布问题中能让学生进一步对数形结合的应用得到理解。让学生在分析数学问题的实质，自主探究数学思想方面得到进一步的提升，能轻松快捷的解决数学问题。
关键字导数；初等函数；方程根；分布；数学思想
【中图分类号】TB112文献标识码：B文章编号：1673-8500（2013）01-0367-02
函數实根的分布在中学函数内容中是重点，也是难点。但是很多同学在学习相关内容时，总是无所适从，掌握这部分知识我们应该注意：结合函数图形，从图形的相关方面入手，讨论起来就会游刃有余。本文我们将讨论函数根的分布讨论问题应该如何来掌握，以及如何适应于新的高考模式。
初中代数中对“函数根的分布”经常处理成一元二次方程实根的分布问题，各类竞赛和中考中也经常出现。初中对这部分知识虽有所涉及，但尚不够系统和完整，而且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
下面我们具体从几个实例来具体进行讲解。
例1若n>0，关于x的方程x2-（m-2n）x+14mn=0有两个相等的正实数根，求mn的值。
[分析]：我们首先看看怎样利用初中的韦达定理和根与系数的关系来解答这个例题。
解：设两个实数根为x2、x2，依题意有△=0①
x1+x2>0②
x1x2>0③
由①得：（m-2n）2-nm=0，（m-n）（m-4n）=0，∴m=n或m=4n。
若m=n，则x1+x2=m-2n=n-2n=-n<0，不符合②，舍去。
故m=4n，此时均符合②、③，
∴mn=4nn=4。
该问题在学生进入高一后会在必修一的函数零点相关习题中出现，这时我们的一般做法倾向于结合函数图像和零点的相关知识来解决。同样的对于例题一我们就可以结合图形来进行分析，解题过程就一目了然了。
例1.若n>0，关于x的方程x2-（m-n）x+14mn=0有两个相等的正实数根，求mn的值。
解：设函数y=x2-（m-2n）x+14mn
如图我们可以讨论有△=（m-2n）2-mn=0①
m-2n2>0②
由①得：（m-2n）2-mn=0，（m-n）（m-4n）=0，
∴m=n或m=4n。
而②有m>2n，且n>0
∴m=4n
∴mn=4nn=4。
结合图形后的讨论就比第一个简单、直接，便于学生理解，同时也能帮助我们在讲解导数在函数根的分布上的应用做良好的铺垫。
对于数形结合解决这一元二次方程根的问题，有很多前辈进行过总结，本人也不做累述，总的来说我们在确定限定条件时需要从“对称轴，判别式△，边界限定值k对应的函数值f（k）”三方面来进行分析，同时还要注意边界的限定可以包含对“对称轴，判别式△”。
例如：设f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），方程ax2+bx+c=0根x1，x2的分布及的限定：
分布情况两个负根
（x1<0，x2<0）两个正根
（x1>0，x2>0）一正根一负根
（x1<0 （a>0）综合结论
（a>0）△>0
-b2a<0
f（0）>0△>0
-b2a<0
f（0）>0f（0）<0在上表中，对于根的正负的讨论事实上我们可以界定x=0为我们讨论的边界，
分布情况两根都小于k即
x1 x1>k，x2>k一根小于k，
一根大于k即
x1 （a>0）综合结论
（a>0）△>0
-b2a f（k）>0△>0
-b2a>k
f（k）>0f（k）<0上表，对于根的正负的讨论事实上我们可以界定x=k为我们讨论的边界，
分布情况两根都在（m，n）内两根有且仅有一根在（m，n）内（图象有两种情况，只画了一种）一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，m （a>0）得出的结论△>0
f（m）>0
f（n）>0
m<-b2a0
f（n）>0
f（p）<0
f（q）>0或
f（m）f（n）<0
f（p）f（q）<0在对于根的正负的讨论事实上我们可以分别界定x=m，x=n，x=p，x=q为我们讨论的边界，其中后两图在界定时，“对称轴，判别式△”由于是重复限定，被省略。
在我们进入高二下学期后我们引入了导数，对基本初等函数的根的分析不再局限于对一元二次方程根的分布，可以推广到基本初等函数的很多组合情况。此类题型由此变得更复杂，而此类问题在新课改下更多的是考察学生对导函数的一个数形结合的能力上的一个考察。
例题2已知方程x4-4x3+10x2-27=0，判断方程在[2，10]根的分布情况。 [探究分析]：本题是一个高次方程求解问题，由高中现有知识直接变形解方程十分困难，由此我们应引导学生联想到在解决次数较高的问题时想到导数知识，再者函数与方程本身就有密不可分的关系，因为方程的根实质是其对应函数的图象与x轴交点的横坐标，因而我们不妨来研究函数f（x）=x4-4x3+10x2-27与x轴的交点情况。
探究过程：
解设f（x）=x4-4x3+10x2-27=0，
∵f'（x）=4x3-12x2+20x=4x
（x2-3x+5）对任意的x∈R，x2-3x+5>0总成立
因而只对因式x进行讨论来确定f'（x）的符号。
x（-∞，0）0（0，+∞）f'（x）-极小+f（x）减-27增故f（x）极小值=f（0）=-27，又f（2）=-3<0
f（10）=6973>0，由图形的单调性可知f（x）=0在[2，10]仅有一个实根
数学思想分析：本问题的解答主要体现了函数方程的思想，转化的思想，数形结合的思想。
例3设函数f（x）=12x2+ex-xex
（1）求函数的单调区间
（2）若关于x的方程f（x）=ex-xex+lnx+a在区间1e，e上恰有两相异实根，求实数a的范围。
解：（1）略
（2）方程f（x）=ex-xex+lnx+a，即12x2+ex-xex=ex-xex+lnx+a
整理得12x2-lnx-a=0，
设g（x）=12x2-lnx-a，定义域为1e，e
则g'（x）=x-1x=（x-1）（x+1）x
令g'（x）=0，得x=1，或x=-1（舍）利用单调性结合端点的函数值列表有
x1e（1e，1）1（1，e）eg'（x）-0+g（x）12e2+1-a减12-a增e22-1-a为保证g（x）=12x2-lnx-a，在区间1e，e上恰有两相异实根，
如图有12e2+1-a≥0
12-a<0
e22-1-a≥0
∴实数a的取值范围为：12 例4若方程a=2lnxx2在区间[2，e]上有两个不等根，求a的取值范围。
解：设φ（x）=2lnxx2
则φ'（x）=2x-4xlnxx2=2x（1-2lnx）x2
∵x∈（2，e）时，φ'（x）>0；x∈（e，e）时，φ'（x）<0
∴φ'（x）在（2，e）时单调递增，在（e，e）时单调递减；
∴φ'（x）max=φ'（e）=1e
而φ（e）=2e2，φ（2）=ln22；
∵2e2 ∴ln22≤a≤1e时方程有两个不等根。
利用导数研究方程所对应的函数特征，主要是单调性及极值与最值，并根据第2步画出函数草图，用数形结合的思想，判断根的分布或交点状况，此知识点集中体现了高中数学四个重要的数学思想即：函数方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类讨论的思想。
[总结]初等函数根的分布问题是高中数学的一个重点，而在函数根的分布问题中，利用数形结合的方法是解决此类问题的一个途径。本文除了对初等函数根的分布问题进行讨论外，也对一元二次函数以及高次函数根的分布问题进行了讨论。通过讨論不难发现数形结合是解决所有函数根的分布问题的一个重要工具，也培养了学生分析数学问题的能力。
关键字导数；初等函数；方程根；分布；数学思想
【中图分类号】TB112文献标识码：B文章编号：1673-8500（2013）01-0367-02
函數实根的分布在中学函数内容中是重点，也是难点。但是很多同学在学习相关内容时，总是无所适从，掌握这部分知识我们应该注意：结合函数图形，从图形的相关方面入手，讨论起来就会游刃有余。本文我们将讨论函数根的分布讨论问题应该如何来掌握，以及如何适应于新的高考模式。
初中代数中对“函数根的分布”经常处理成一元二次方程实根的分布问题，各类竞赛和中考中也经常出现。初中对这部分知识虽有所涉及，但尚不够系统和完整，而且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。
下面我们具体从几个实例来具体进行讲解。
例1若n>0，关于x的方程x2-（m-2n）x+14mn=0有两个相等的正实数根，求mn的值。
[分析]：我们首先看看怎样利用初中的韦达定理和根与系数的关系来解答这个例题。
解：设两个实数根为x2、x2，依题意有△=0①
x1+x2>0②
x1x2>0③
由①得：（m-2n）2-nm=0，（m-n）（m-4n）=0，∴m=n或m=4n。
若m=n，则x1+x2=m-2n=n-2n=-n<0，不符合②，舍去。
故m=4n，此时均符合②、③，
∴mn=4nn=4。
该问题在学生进入高一后会在必修一的函数零点相关习题中出现，这时我们的一般做法倾向于结合函数图像和零点的相关知识来解决。同样的对于例题一我们就可以结合图形来进行分析，解题过程就一目了然了。
例1.若n>0，关于x的方程x2-（m-n）x+14mn=0有两个相等的正实数根，求mn的值。
解：设函数y=x2-（m-2n）x+14mn
如图我们可以讨论有△=（m-2n）2-mn=0①
m-2n2>0②
由①得：（m-2n）2-mn=0，（m-n）（m-4n）=0，
∴m=n或m=4n。
而②有m>2n，且n>0
∴m=4n
∴mn=4nn=4。
结合图形后的讨论就比第一个简单、直接，便于学生理解，同时也能帮助我们在讲解导数在函数根的分布上的应用做良好的铺垫。
对于数形结合解决这一元二次方程根的问题，有很多前辈进行过总结，本人也不做累述，总的来说我们在确定限定条件时需要从“对称轴，判别式△，边界限定值k对应的函数值f（k）”三方面来进行分析，同时还要注意边界的限定可以包含对“对称轴，判别式△”。
例如：设f（x）=ax2+bx+c=0（a>0），方程ax2+bx+c=0根x1，x2的分布及的限定：
分布情况两个负根
（x1<0，x2<0）两个正根
（x1>0，x2>0）一正根一负根
（x1<0
（a>0）△>0
-b2a<0
f（0）>0△>0
-b2a<0
f（0）>0f（0）<0在上表中，对于根的正负的讨论事实上我们可以界定x=0为我们讨论的边界，
分布情况两根都小于k即
x1
一根大于k即
x1
（a>0）△>0
-b2a
-b2a>k
f（k）>0f（k）<0上表，对于根的正负的讨论事实上我们可以界定x=k为我们讨论的边界，
分布情况两根都在（m，n）内两根有且仅有一根在（m，n）内（图象有两种情况，只画了一种）一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，m
f（m）>0
f（n）>0
m<-b2a
f（n）>0
f（p）<0
f（q）>0或
f（m）f（n）<0
f（p）f（q）<0在对于根的正负的讨论事实上我们可以分别界定x=m，x=n，x=p，x=q为我们讨论的边界，其中后两图在界定时，“对称轴，判别式△”由于是重复限定，被省略。
在我们进入高二下学期后我们引入了导数，对基本初等函数的根的分析不再局限于对一元二次方程根的分布，可以推广到基本初等函数的很多组合情况。此类题型由此变得更复杂，而此类问题在新课改下更多的是考察学生对导函数的一个数形结合的能力上的一个考察。
例题2已知方程x4-4x3+10x2-27=0，判断方程在[2，10]根的分布情况。 [探究分析]：本题是一个高次方程求解问题，由高中现有知识直接变形解方程十分困难，由此我们应引导学生联想到在解决次数较高的问题时想到导数知识，再者函数与方程本身就有密不可分的关系，因为方程的根实质是其对应函数的图象与x轴交点的横坐标，因而我们不妨来研究函数f（x）=x4-4x3+10x2-27与x轴的交点情况。
探究过程：
解设f（x）=x4-4x3+10x2-27=0，
∵f'（x）=4x3-12x2+20x=4x
（x2-3x+5）对任意的x∈R，x2-3x+5>0总成立
因而只对因式x进行讨论来确定f'（x）的符号。
x（-∞，0）0（0，+∞）f'（x）-极小+f（x）减-27增故f（x）极小值=f（0）=-27，又f（2）=-3<0
f（10）=6973>0，由图形的单调性可知f（x）=0在[2，10]仅有一个实根
数学思想分析：本问题的解答主要体现了函数方程的思想，转化的思想，数形结合的思想。
例3设函数f（x）=12x2+ex-xex
（1）求函数的单调区间
（2）若关于x的方程f（x）=ex-xex+lnx+a在区间1e，e上恰有两相异实根，求实数a的范围。
解：（1）略
（2）方程f（x）=ex-xex+lnx+a，即12x2+ex-xex=ex-xex+lnx+a
整理得12x2-lnx-a=0，
设g（x）=12x2-lnx-a，定义域为1e，e
则g'（x）=x-1x=（x-1）（x+1）x
令g'（x）=0，得x=1，或x=-1（舍）利用单调性结合端点的函数值列表有
x1e（1e，1）1（1，e）eg'（x）-0+g（x）12e2+1-a减12-a增e22-1-a为保证g（x）=12x2-lnx-a，在区间1e，e上恰有两相异实根，
如图有12e2+1-a≥0
12-a<0
e22-1-a≥0
∴实数a的取值范围为：12
解：设φ（x）=2lnxx2
则φ'（x）=2x-4xlnxx2=2x（1-2lnx）x2
∵x∈（2，e）时，φ'（x）>0；x∈（e，e）时，φ'（x）<0
∴φ'（x）在（2，e）时单调递增，在（e，e）时单调递减；
∴φ'（x）max=φ'（e）=1e
而φ（e）=2e2，φ（2）=ln22；
∵2e2
利用导数研究方程所对应的函数特征，主要是单调性及极值与最值，并根据第2步画出函数草图，用数形结合的思想，判断根的分布或交点状况，此知识点集中体现了高中数学四个重要的数学思想即：函数方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类讨论的思想。
[总结]初等函数根的分布问题是高中数学的一个重点，而在函数根的分布问题中，利用数形结合的方法是解决此类问题的一个途径。本文除了对初等函数根的分布问题进行讨论外，也对一元二次函数以及高次函数根的分布问题进行了讨论。通过讨論不难发现数形结合是解决所有函数根的分布问题的一个重要工具，也培养了学生分析数学问题的能力。