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[摘要]通过对复杂网络动力学性质的研究，一方面可以使我们更好地了解和解释现实世界中复杂网络所呈现出来的各种动力学现象；另一方面我们可以将对复杂网络动力学性质研究的理论成果应用到具体问题当中去，使得网络理论可以为我们所用。介绍网络上的几个动力学过程，包括网络中的疾病传播，网络的同步和网络的鲁棒性。
[关键词]复杂网络 动力 研究
中图分类号：O19 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0610053－02
一、引言
复杂网络的研究从大量的实证数据的统计分析出发，然后构建相应的网络演化模型，最终目的是为了通过复杂网络的拓扑结构来认识网络上的动力学行为。复杂网络的结构及功能之间的相互关系已经成为物理学，生物学，信息学以及社会学的一个重要的研究课题。如人们希望了解www网络的拓扑结构如何影响web冲浪和搜索引擎；社会网络中，国家间地理关系和人口结构如何影响流行病或信息的传播，食物链网络结构如何影响种群的动力学行为；销售网络的拓扑结构如何影响企业收益与利润等。不同的网络拓扑结构对网络上的动力学行为产生不同的影响。以疾病或病毒在网络上的传播为例，在规则网络和随机网络上的研究表明，疾病的传染强度存在一个阈值，只有当传染强度大于这个阈值时，疾病才能在网络中长期存在.但是对于无标度网络，并不存在这样的阈值，只要传染病发生，就将长期存在 。类似的，不同的网络结构对随机错误的鲁棒性和对蓄意攻击的脆弱性、网络上的级联效应、网络上的同步、网络上的交通动力学等都产生不同的影响.正确理解网络结构和网络上的动力学行为之间的关系，对于网络上的疾病传播控制、网络的安全设计具有重要的理论意义和现实的指导意义。
对于复杂网络中的病毒及流言传播问题，我们主要关注网络上的传播动力学问题，对于传染病的流行问题，计算机病毒在计算机网络上的蔓延问题以及谣言在社会网中的扩散等都可以看作服从某种规律的网络传播行为。目前研究最为彻底，应用最为广泛的经典传染病模型是SIS模型和SIR模型。
现实生活中存在大量的同步现象(synchronization)，如萤火虫发光的同步、大脑神经元细胞的同步和剧场中观众鼓掌频率的同步等。早期对同步的研究主要是基于规则网络或随机网络。近来，一些学者基于复杂网络结构研究不同的网络结构如小世界网络、无标度网络对同步的影响。研究表明，与规则网络相比，小世界网络和无标度更容易发生同步。这一现象被解释为由于小世界网络和无标度网络的平均最短距离较小，使得振子间的信息交流更为有效。如果在网络的每个节点上加一个动力学系统，让有边相连的两个节点的动力学系统之间存在相互的耦合作用，就形成了一个动力学网络。人们比较关心的一个问题是网络的拓扑结构如何影响网络的同步能力。大量的研究表明网络的平均最短距离L是一个重要因素，L越小，网络的同步性能越好，Nishikawa等学者研究了同步区域有界时无标度网络的平均最短距离D、平均度、度分布的标准差。Hong等学者在研究WS小世界网络的特征量对网络同步稳定性的影响时，发现最大介数越小，网络的同步能力越好，这个结论与Nishikawa的结论一致。还有人做了网络的度度相关性对同步的影响，发现节点之间异类混的网络更容易同步，即度大的节点与度小的节点连接将增强网络的同步能力。
二、复杂网络中的病毒以及流言传播
（一）SIS模型
对于像感冒、淋病这类治愈后患者也没有办法获得免疫能力的疾病，往往采用SIS模型。在SIS模型中，人群被划分为两类:第一类是易感人群(s)：他们不会感染他人，但有可能被传染；第二类是染病人群(I)：他们已经患病，具有传染性。假设单位时间内每个染病个体独立传染一个易感个体的概率为β，用i，s分别标记群体中易染人群和染病人群所占的比例，且患者被治愈后自动恢复为易感状态的几率为γ。因此，对于SIS模型，疾病传播可以用下列微分方程组描述:
上式中βi代表了一个处于易感状态的节点被其邻居传染的几率。对于一个度为k的节点，PastoSatorras等用βi→θ（λ）。侧幻代替，其中λ是通过与一个已染病的节点相连而被感染的几率，θ（λ）是随机一条连线指向一个染病节点的几率:
将(2.2)代入(2.1)可以得到:
在(2.3)中我们考虑一个染病节点恢复健康的几率γ=l。同时，我们还假设θ（λ）对于所有节点都是相同的，但是一般来讲，它依赖于节点的度，这是一种平均场的近似方法，可以近似的预测系统的性质。根据稳定情况立，我们得出:
将(2.2)式代入(2.4)式，即可求得θ（λ）值。研究病毒传播的一个关键值是病毒爆发的临界点。只有当感染率超过临界点时，病毒才会大范围传播。SIS模型已经在小世界网络和无标度网络中有比较深入的研究，在无标度网络中，当感染率无穷小时，病毒也可能感染至整个网络。
（二）SIR模型
SIR模型适合于染病者在治愈后可以获得终生免疫力(如腮腺炎)，或者染病者几乎不可避免走向死亡(如艾滋病)的情形。在SIR模型中，人群被划分为三类:第一类是易感人群(s)，他们不会感染他人，但有可能被传染；第二类是染病人群(I)，他们已经患病，具有传染性；第三类是移除人群(R)，他们可以是被治愈并获得了免疫能力，或者已经死亡的人群一也就是说他们不具有传染性，也不会再次被感染，即不再对相应动力学行为产生任何影响。假设单位时间内每个染病个体独立传染一个易感个体的概率为β，而康复的概率是γ。用s，i，γ分别标记群体中S，I，R三类个体所占比例，则在SIR模型中，疾病传播可以用下列微分方程组描述:
我们同样利用βi→θ（λ）来代替，同时令变到免疫状态的几率为1。这样同样可以利用平均场方程来求解。
除了上述SIR和SIS模型外，针对不同传染病的特点，还有其他相应的传播模型。比如，对于突然爆发的尚缺乏有效控制的流行病，如黑死病，非典型肺炎等，在疾病爆发早期常使用SI模型进行分析；对于免疫期有限的疾病，往往利用SIRS模型进行分析；对于潜伏期不可忽略的疾病，可以引入潜伏人群的概念。这类模型写出相应微分方程的方法和SIS，SIR模型是类似的，此处不再赘述。
三、复杂网络的同步问题
同步（synchronization）它的原意是“to share the common time”。同步的最初的意思一直沿用至今，现在业界用到的通常的表达中，同步大致上也还是这个意思，即表示不同的过程在时间上保持一致或相关。动力系统中的同步可定义为两个(或多个)(相同的或不相同的)系统在耦合或驱动等的作用下使得运动的某些特征调整到具有相同的行为。同步现象在许多自然和实验系统中广泛存在。
对同步问题的研究在理论上和实际应用中都具有很大价值，在理论上，对同步的研究可以使我们更好地了解自然界当中的无处不在的同步现象，而认识自然是科学研究最主要目的之一；同时迄今同步已经有了很多具体的实际应用，如在混沌保密通信中、在谐波振荡的产生中、在信号检测中的应用等。由于同步现象在许多实际复杂网络中是广泛存在的，如在通信网络、Internet、电路网络、电力网络、神经网络等中，并且同步在这些网络中发挥着重要作用，因而复杂网络的同步问题引起了许多研究者，特别是电路与系统、控制和理论物理等学科研究者的广泛兴趣。许多文献将动力学单元引入到复杂网络节点之中，并研究了复杂网络的同步问题，在这些文献中研究的同步都是考虑的在网络各个节点间没有时延的情况，但实际网络中由于拥塞，传输速度有限等因素，通常存在耦合时延。
（一）时延小世界相位振荡器网络的同步
耦合振荡器网络近来在科学和工程界引起了广泛的兴趣，尤其是耦合振荡器网络的同步问题的研究近年来备受关注。但到目前为止，关于网络同步的大多数工作都将网络的耦合方式考虑成规则的，只有少数研究是着眼于，随机耦合网络的同步。然而，实际网络，一如生物网络，电子系统网络等既不是完全规则的也不是完全随机的。如前所述，为在这两种极端的情况之间考虑一种中间的情形，Watts和Strogatz引入了一种有趣的新网络模型:小世界网络。另一方面，由于传输速度的限制，在系统中将时延考虑进去会更加贴近实际。时延增加了系统的维数，从而也大大增加了系统的复杂性。近年来一些学者研究了带时延的耦合振荡网络的动力学行为:每个振荡器接收k个其它振荡器的延时信号。我们研究由相位振荡器构成的带耦合时延的小世界网络的同步问题。网络的模型由下式给出:
是第i个振荡器的相位，是其自然频率，c是耦合强度，是第i个振荡器所接收到其它振荡器发送的信号的数量，如果两两相等则k1 =k2 =…=kN=k。f是耦合函数，通常为非线性函数，>0是耦合时延，N表示网络中振荡器的总数。网络里每个节点为一个相位振荡器。时延可以看成由有限的传输速度以及传播的拥塞等引起的。耦合中归一化因子1/ki，意味着每个节点所受到的来自于所有其它给它传送信号的节点的影响是等同的。
（二）一般的时延复杂网络的同步
在前面研究了小世界网络的同步问题，节点是具有特定形式的动力系统。最近文献的作者提出了一种一般的复杂网络模型。
考虑由N个同类型节点耦合成的一个复杂动力学网络，每个节点是一个n维的动力系统。
其中f是连续可微函数，表示每个孤立节点所描述的动力系统的右端函数，第i个节点的状态变量记为(xi1, xi2, xi3, …,xin)∈Rn。常量c>0表示节点间的耦合强度。(aij)为各个节点变量间耦合矩阵，决定各个节点之间通过状态变量的哪个分量以哪种方式进行相互耦合。Γ=(γij) ∈Rn×n是一个常连接耦合矩阵。虽然以上模型从网络结构的角度反映了网络的复杂性，但是它没有考虑网络节点间的耦合时延。实际上由于节点间有限的传输速度以及传播的拥塞等原因，节点之间耦合常常带有时延。因此，在网络建模的时候应该把节点间的时延考虑进去，以使模型更趋近于实际网络。在这一节，我们提出一种带耦合时延的一般的复杂动力学网络:
:是时延(此假设在网络中所有的时延均为: )。显然这种变量之间的耦合比(3.2)式更加灵活。
四、网络的鲁棒性
无标度网络在自然系统和人工系统的普遍存在，使得网络的安全性成为人们日益关心的一个重要问题。如何有效地攻击恐怖主义组织、控制网络上的疾病传播、保护Internet网络的中枢节点等问题都与网络的鲁棒性有关。网络的鲁棒性通常指当网络中的部分节点或边被破坏，网络能够继续维持其功能的能力。网络的静态鲁棒性(static robustness)，指当删除网络中的节点时，不需要重新分配网络上的流，网络能够保持其功能的能力目前对网络进行攻击主要有以下方式：对节点或边随机去除(random failure)和蓄意攻击(intentional attack)。不同类型的网络对蓄意攻击网络中的节点表现出不同的抗毁能力。如无标度网络对随机去除具有高度的鲁棒性，但对于蓄意攻击网络中度大的节点或介数较大的节点，网络比较脆弱，而随机网络的容错能力和抗毁能力大。网络的静态鲁棒性的研究，一般可以应用逾渗理论(percolation theory)进行解析计算。Cohen等学者分析Internet网络的随机去除和蓄意攻击的鲁棒性问题，并给出了理论上的相变阈值。这些结果为研究网络的鲁棒性问题奠定了理论基础。网络的动态鲁棒性(dynamical robustness)，指当删除网络中的节点时，网络上的流需要重新分配，经过动态平衡后，网络仍能维持其功能的能力。Internet网络中发生的拥塞现象是一个典型的网络上的级联效应的例子。在Iniernet网络中，当某一路由器发生故障时，数据包需要寻找其它路径进行传送，这样会改变整个网络的流量，可能导致其它某些路由器超载，引起Internet网络的拥塞。Motter和Crucitti的研究结果表明，网络中的流或介数分配越不均匀，网络发生级联作用的范围越大。因此，一个控制级联发生的有效措施是对网络中度大的节点或介数较大的节点重点保护，或者使网络中的流分配的比较均匀。对于网络的动态鲁棒性问题，解析计算比较困难，只能采用简单的数值模拟进行分析。如何对网络的级联效应进行有效的控制和防御，减少网络的级联效应的作用范围，是一个值得深入研究的重要问题，但这方面的进展还有待于进一步的研究与探讨。
参考文献：
[1]D J Watts and S H Strogata. Collective dynamics of “small world” Networks[J]. Nature 2007， 393(4) .
[2]R Albert and A L Brabasi，Statistical mechanics of complex networks[J]. Rev Mod Phys，2002，74(l).
[3]陈振毅、汪小帆.无尺度网络中的拥塞及其控制[J].系统工程学报，2005，20(l).
[4]R P Satorras and A Vespignani. Epidemic dynamics in finite seale-free networks[J].Phys Rev E，2007，65(3).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
[关键词]复杂网络 动力 研究
中图分类号：O19 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0610053－02
一、引言
复杂网络的研究从大量的实证数据的统计分析出发，然后构建相应的网络演化模型，最终目的是为了通过复杂网络的拓扑结构来认识网络上的动力学行为。复杂网络的结构及功能之间的相互关系已经成为物理学，生物学，信息学以及社会学的一个重要的研究课题。如人们希望了解www网络的拓扑结构如何影响web冲浪和搜索引擎；社会网络中，国家间地理关系和人口结构如何影响流行病或信息的传播，食物链网络结构如何影响种群的动力学行为；销售网络的拓扑结构如何影响企业收益与利润等。不同的网络拓扑结构对网络上的动力学行为产生不同的影响。以疾病或病毒在网络上的传播为例，在规则网络和随机网络上的研究表明，疾病的传染强度存在一个阈值，只有当传染强度大于这个阈值时，疾病才能在网络中长期存在.但是对于无标度网络，并不存在这样的阈值，只要传染病发生，就将长期存在 。类似的，不同的网络结构对随机错误的鲁棒性和对蓄意攻击的脆弱性、网络上的级联效应、网络上的同步、网络上的交通动力学等都产生不同的影响.正确理解网络结构和网络上的动力学行为之间的关系，对于网络上的疾病传播控制、网络的安全设计具有重要的理论意义和现实的指导意义。
对于复杂网络中的病毒及流言传播问题，我们主要关注网络上的传播动力学问题，对于传染病的流行问题，计算机病毒在计算机网络上的蔓延问题以及谣言在社会网中的扩散等都可以看作服从某种规律的网络传播行为。目前研究最为彻底，应用最为广泛的经典传染病模型是SIS模型和SIR模型。
现实生活中存在大量的同步现象(synchronization)，如萤火虫发光的同步、大脑神经元细胞的同步和剧场中观众鼓掌频率的同步等。早期对同步的研究主要是基于规则网络或随机网络。近来，一些学者基于复杂网络结构研究不同的网络结构如小世界网络、无标度网络对同步的影响。研究表明，与规则网络相比，小世界网络和无标度更容易发生同步。这一现象被解释为由于小世界网络和无标度网络的平均最短距离较小，使得振子间的信息交流更为有效。如果在网络的每个节点上加一个动力学系统，让有边相连的两个节点的动力学系统之间存在相互的耦合作用，就形成了一个动力学网络。人们比较关心的一个问题是网络的拓扑结构如何影响网络的同步能力。大量的研究表明网络的平均最短距离L是一个重要因素，L越小，网络的同步性能越好，Nishikawa等学者研究了同步区域有界时无标度网络的平均最短距离D、平均度、度分布的标准差。Hong等学者在研究WS小世界网络的特征量对网络同步稳定性的影响时，发现最大介数越小，网络的同步能力越好，这个结论与Nishikawa的结论一致。还有人做了网络的度度相关性对同步的影响，发现节点之间异类混的网络更容易同步，即度大的节点与度小的节点连接将增强网络的同步能力。
二、复杂网络中的病毒以及流言传播
（一）SIS模型
对于像感冒、淋病这类治愈后患者也没有办法获得免疫能力的疾病，往往采用SIS模型。在SIS模型中，人群被划分为两类:第一类是易感人群(s)：他们不会感染他人，但有可能被传染；第二类是染病人群(I)：他们已经患病，具有传染性。假设单位时间内每个染病个体独立传染一个易感个体的概率为β，用i，s分别标记群体中易染人群和染病人群所占的比例，且患者被治愈后自动恢复为易感状态的几率为γ。因此，对于SIS模型，疾病传播可以用下列微分方程组描述:
上式中βi代表了一个处于易感状态的节点被其邻居传染的几率。对于一个度为k的节点，PastoSatorras等用βi→θ（λ）。侧幻代替，其中λ是通过与一个已染病的节点相连而被感染的几率，θ（λ）是随机一条连线指向一个染病节点的几率:
将(2.2)代入(2.1)可以得到:
在(2.3)中我们考虑一个染病节点恢复健康的几率γ=l。同时，我们还假设θ（λ）对于所有节点都是相同的，但是一般来讲，它依赖于节点的度，这是一种平均场的近似方法，可以近似的预测系统的性质。根据稳定情况立，我们得出:
将(2.2)式代入(2.4)式，即可求得θ（λ）值。研究病毒传播的一个关键值是病毒爆发的临界点。只有当感染率超过临界点时，病毒才会大范围传播。SIS模型已经在小世界网络和无标度网络中有比较深入的研究，在无标度网络中，当感染率无穷小时，病毒也可能感染至整个网络。
（二）SIR模型
SIR模型适合于染病者在治愈后可以获得终生免疫力(如腮腺炎)，或者染病者几乎不可避免走向死亡(如艾滋病)的情形。在SIR模型中，人群被划分为三类:第一类是易感人群(s)，他们不会感染他人，但有可能被传染；第二类是染病人群(I)，他们已经患病，具有传染性；第三类是移除人群(R)，他们可以是被治愈并获得了免疫能力，或者已经死亡的人群一也就是说他们不具有传染性，也不会再次被感染，即不再对相应动力学行为产生任何影响。假设单位时间内每个染病个体独立传染一个易感个体的概率为β，而康复的概率是γ。用s，i，γ分别标记群体中S，I，R三类个体所占比例，则在SIR模型中，疾病传播可以用下列微分方程组描述:
我们同样利用βi→θ（λ）来代替，同时令变到免疫状态的几率为1。这样同样可以利用平均场方程来求解。
除了上述SIR和SIS模型外，针对不同传染病的特点，还有其他相应的传播模型。比如，对于突然爆发的尚缺乏有效控制的流行病，如黑死病，非典型肺炎等，在疾病爆发早期常使用SI模型进行分析；对于免疫期有限的疾病，往往利用SIRS模型进行分析；对于潜伏期不可忽略的疾病，可以引入潜伏人群的概念。这类模型写出相应微分方程的方法和SIS，SIR模型是类似的，此处不再赘述。
三、复杂网络的同步问题
同步（synchronization）它的原意是“to share the common time”。同步的最初的意思一直沿用至今，现在业界用到的通常的表达中，同步大致上也还是这个意思，即表示不同的过程在时间上保持一致或相关。动力系统中的同步可定义为两个(或多个)(相同的或不相同的)系统在耦合或驱动等的作用下使得运动的某些特征调整到具有相同的行为。同步现象在许多自然和实验系统中广泛存在。
对同步问题的研究在理论上和实际应用中都具有很大价值，在理论上，对同步的研究可以使我们更好地了解自然界当中的无处不在的同步现象，而认识自然是科学研究最主要目的之一；同时迄今同步已经有了很多具体的实际应用，如在混沌保密通信中、在谐波振荡的产生中、在信号检测中的应用等。由于同步现象在许多实际复杂网络中是广泛存在的，如在通信网络、Internet、电路网络、电力网络、神经网络等中，并且同步在这些网络中发挥着重要作用，因而复杂网络的同步问题引起了许多研究者，特别是电路与系统、控制和理论物理等学科研究者的广泛兴趣。许多文献将动力学单元引入到复杂网络节点之中，并研究了复杂网络的同步问题，在这些文献中研究的同步都是考虑的在网络各个节点间没有时延的情况，但实际网络中由于拥塞，传输速度有限等因素，通常存在耦合时延。
（一）时延小世界相位振荡器网络的同步
耦合振荡器网络近来在科学和工程界引起了广泛的兴趣，尤其是耦合振荡器网络的同步问题的研究近年来备受关注。但到目前为止，关于网络同步的大多数工作都将网络的耦合方式考虑成规则的，只有少数研究是着眼于，随机耦合网络的同步。然而，实际网络，一如生物网络，电子系统网络等既不是完全规则的也不是完全随机的。如前所述，为在这两种极端的情况之间考虑一种中间的情形，Watts和Strogatz引入了一种有趣的新网络模型:小世界网络。另一方面，由于传输速度的限制，在系统中将时延考虑进去会更加贴近实际。时延增加了系统的维数，从而也大大增加了系统的复杂性。近年来一些学者研究了带时延的耦合振荡网络的动力学行为:每个振荡器接收k个其它振荡器的延时信号。我们研究由相位振荡器构成的带耦合时延的小世界网络的同步问题。网络的模型由下式给出:
是第i个振荡器的相位，是其自然频率，c是耦合强度，是第i个振荡器所接收到其它振荡器发送的信号的数量，如果两两相等则k1 =k2 =…=kN=k。f是耦合函数，通常为非线性函数，>0是耦合时延，N表示网络中振荡器的总数。网络里每个节点为一个相位振荡器。时延可以看成由有限的传输速度以及传播的拥塞等引起的。耦合中归一化因子1/ki，意味着每个节点所受到的来自于所有其它给它传送信号的节点的影响是等同的。
（二）一般的时延复杂网络的同步
在前面研究了小世界网络的同步问题，节点是具有特定形式的动力系统。最近文献的作者提出了一种一般的复杂网络模型。
考虑由N个同类型节点耦合成的一个复杂动力学网络，每个节点是一个n维的动力系统。
其中f是连续可微函数，表示每个孤立节点所描述的动力系统的右端函数，第i个节点的状态变量记为(xi1, xi2, xi3, …,xin)∈Rn。常量c>0表示节点间的耦合强度。(aij)为各个节点变量间耦合矩阵，决定各个节点之间通过状态变量的哪个分量以哪种方式进行相互耦合。Γ=(γij) ∈Rn×n是一个常连接耦合矩阵。虽然以上模型从网络结构的角度反映了网络的复杂性，但是它没有考虑网络节点间的耦合时延。实际上由于节点间有限的传输速度以及传播的拥塞等原因，节点之间耦合常常带有时延。因此，在网络建模的时候应该把节点间的时延考虑进去，以使模型更趋近于实际网络。在这一节，我们提出一种带耦合时延的一般的复杂动力学网络:
:是时延(此假设在网络中所有的时延均为: )。显然这种变量之间的耦合比(3.2)式更加灵活。
四、网络的鲁棒性
无标度网络在自然系统和人工系统的普遍存在，使得网络的安全性成为人们日益关心的一个重要问题。如何有效地攻击恐怖主义组织、控制网络上的疾病传播、保护Internet网络的中枢节点等问题都与网络的鲁棒性有关。网络的鲁棒性通常指当网络中的部分节点或边被破坏，网络能够继续维持其功能的能力。网络的静态鲁棒性(static robustness)，指当删除网络中的节点时，不需要重新分配网络上的流，网络能够保持其功能的能力目前对网络进行攻击主要有以下方式：对节点或边随机去除(random failure)和蓄意攻击(intentional attack)。不同类型的网络对蓄意攻击网络中的节点表现出不同的抗毁能力。如无标度网络对随机去除具有高度的鲁棒性，但对于蓄意攻击网络中度大的节点或介数较大的节点，网络比较脆弱，而随机网络的容错能力和抗毁能力大。网络的静态鲁棒性的研究，一般可以应用逾渗理论(percolation theory)进行解析计算。Cohen等学者分析Internet网络的随机去除和蓄意攻击的鲁棒性问题，并给出了理论上的相变阈值。这些结果为研究网络的鲁棒性问题奠定了理论基础。网络的动态鲁棒性(dynamical robustness)，指当删除网络中的节点时，网络上的流需要重新分配，经过动态平衡后，网络仍能维持其功能的能力。Internet网络中发生的拥塞现象是一个典型的网络上的级联效应的例子。在Iniernet网络中，当某一路由器发生故障时，数据包需要寻找其它路径进行传送，这样会改变整个网络的流量，可能导致其它某些路由器超载，引起Internet网络的拥塞。Motter和Crucitti的研究结果表明，网络中的流或介数分配越不均匀，网络发生级联作用的范围越大。因此，一个控制级联发生的有效措施是对网络中度大的节点或介数较大的节点重点保护，或者使网络中的流分配的比较均匀。对于网络的动态鲁棒性问题，解析计算比较困难，只能采用简单的数值模拟进行分析。如何对网络的级联效应进行有效的控制和防御，减少网络的级联效应的作用范围，是一个值得深入研究的重要问题，但这方面的进展还有待于进一步的研究与探讨。
参考文献：
[1]D J Watts and S H Strogata. Collective dynamics of “small world” Networks[J]. Nature 2007， 393(4) .
[2]R Albert and A L Brabasi，Statistical mechanics of complex networks[J]. Rev Mod Phys，2002，74(l).
[3]陈振毅、汪小帆.无尺度网络中的拥塞及其控制[J].系统工程学报，2005，20(l).
[4]R P Satorras and A Vespignani. Epidemic dynamics in finite seale-free networks[J].Phys Rev E，2007，65(3).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”