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【关键词】索洛增长模型 稳态 黄金律储蓄率 不稳定性
【中途分类号】C965【文献标识码】A【文章编号】1673-8209(2009)11-0-02
1961年,经济学家卡尔多描述了增长行为的主要的特征:劳动、资本、产量的增长率大体上都是常数;产量和资本的增长率大致相等,从而资本—产量比近似都为常数,且大于劳动的增长率(从而每工人平均产量和每工人平均资本是上升的)。索洛增长模型,是对经济长期增长的数学描述,在该模型中存在“稳态”,达到的平衡增长路径具有内在的稳定性,符合经济增长过程中的特征。
然而,笔者认为,索洛增长模型,潜在地隐藏了不稳定因素。从而使该模型中的稳态,或者说平衡增长路径成为不可能事件,进而导致该模型的崩溃;这一不稳定因素,很可能是导致经济周期形成的主要因素。
1 索洛增长模型与稳态[1]
生产函数:
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))
且F(cK,cAL)=cF(K,AL); c≥0。
密集函数:令c=1/AL,得到
F(,1)=F(K,AL)
定义k=K/AL,y=Y/AL,f(k)=F(k,1)。
得到:y=f(k)。
总产量:Y=ALf(k)。
假定f(k)满足f(0)=0,f'(k)>0,f"(k)>0。
其中f'(k)是资本的边际产量:
F(K,AL)=ALf(K/AL),F(K,AL)/K=ALf'(K/AL)(1/AL)=f'(k)
稻田条件:
稻田条件保证经济路径不发散。
其余变量假定:时间连续;劳动和知识以不变的速度增长:
,n和g为外生参数。
产量用于投资的比例为s,且外生不变;现存资本折旧率为δ。于是且n+g+δ>0。
这就完成了对索洛模型的描述。
k的动态学与稳态:
由于k=K/AL,所以:
如下图:当实际投资与持平投资相等时,每单位有效劳动的平均资本收敛于k*。此时,各个变量的增长率均达到稳定,该经济达到了稳态。
当k=k*时,劳动和知识分别以速率n和g增长。资本存量K以速率n+g增长。总产量Y以速率n+g增长。每工人平均资本K/L和每工人平均产量Y/L以速率g增长。
2 黄金律资本存量与黄金律储蓄率
使稳态时的消费c*实现最大化时,所对应的每单位有效劳动的平均资本存量k*,被称为黄金律的资本存量。由:c*=f(k*)-(n+g+δ)k*
当c*最大化时,有:
MPK=n+g+δ;或:MPK-δ=n+g
此时所对应的k*值,被称为黄金律的资本存量,即k*gold。
黄金律储蓄率:
对应于黄金律资本存量k*gold的储蓄率s*gold,我们称其为黄金律储蓄率。
由生产函数规模报酬不变,有
MPK×K=a×Y,
其中a是资本收入在国民收入中所占份额。
上式两端同除以有效劳动AL,得:
MPK×(K/AL)=a×(Y/AL)
即MPK×k =a×y,将MPK=n+g+δ代入到本式,从而有:(n+g+δ)×k =a×y;
同时,在稳态条件下有:s×y=(n+g+δ)×k,结合上式,就会有:
s×y=a×y,从而得到:
s*gold=a。
以上说明,在长期中,黄金律储蓄率就是资本收益在国民收入中的比例。换言之,在长期中把国民收入中所有的资本收益都作为储蓄,就是黄金律的储蓄率。
从整个社会来说,当且仅当将所有的产出投入到生产要素的再生产中,即劳动的收入用于劳动的再生产,资本的收益用于资本的再生产时,社会的生产与再产出才不会出现“漏出”,此时可得的全社会的消费才能最大化。
3 对黄金律储蓄率的偏离(美国的数据)[2]
美国实际GDP平均每年增长3%左右,因此n+g=0.03。
可以根据以下的三个事实来估算资本的净边际产量:
(1)资本存量是一年GDP的2.5倍左右;
(2)资本折旧约为GDP的10%;
(3)资本收入约为GDP的30%;
在规模报酬不变的情况下,资本所有者赚取的收入为每单位资本的MPK,可以把这些事实表示为:
1)k=2.5y
2)δk=0.1y
3)MPK×K/L=MPK×k=0.3Y/L=0.3y;
通过2式除以1式解出折旧率δ:
从而:δ=0.04
用3式除以1式解出资本的边际产量MPK:
从而:MPK=0.12
因此,每年资本折旧为4%左右,资本的边际产量为每年12%左右,净边际产量,即MPK-δ,为每年8%左右。可以看到,资本的收益(MPK-δ=每年8%)大大高于经济的平均增长率(n+g=每年3%)。根据资本边际产出递减规律,美国经济的资本存量大大低于黄金律水平。或者说,美国的实际储蓄率向下偏离于黄金律储蓄率。
4 实际储蓄率低于黄金律储蓄率的部分原因分析
当我们考虑每单位有效劳动的消费最大化的时候,是以“劳动为核心”来思考全社会的最优选择行为;由此,有可能忽略了“财产所有者”的选择行为。对于财产所有者来说,其目标在于资本净收益的最大化。
由于规模报酬不变,每单位有效劳动的平均资本的收益为:a×y;
在稳态条件下,每单位有效劳动的平均资本的支出为:(n+g+δ)×k
从而每单位有效劳动的平均资本的净收益为:
NR(k)=a·y -(n+g+δ)×k=a·f(k)-(n+g+δ)×k
从而,当收益最大化时,一阶条件为
a·MPK=(n+g+δ);从而MPK=(n+g+δ)/a=0.07/0.3≈23.3%。
把这一数据设为MPK2,黄金律资本存量的MPK设为MPK1,实际资本的边际产出设为MPK。
显然,MPK1要远远小于MPK2,换言之,对“财产所有者”的而言,最佳的每单位有效劳动的平均资本,要远远小于对“有效劳动”而言的黄金律资本存量水平。
“经济决策”的话语权问题:
实际每单位有效劳动的人均资本存量,即不是黄金律的资本存量k*gold,也不是“以财产所有者”为核心的最优资本存量,而是两者之间的一种权衡:权衡的结果,取决于劳动与资本在经济增长中的决策权重因数。
我们设资本决策的权重因数为β,劳动决策的权重因数为(1-β),则有:
βMPK2 +(1-β)MPK1=MPK
将计算数据逐次代入,有:
β=0.30612≈a=0.30
这恰好是资本收益占整个国民收入的份额。也就是说,整个国民经济的情况,并不是由“劳动决策”或者“资本决策”单独做出的,而是由两者的某种权衡而做出的。
同时也说明,追求整个社会消费最大化的目标,与社会中个人的追求并不一定是一致的。整个社会的实际目标,是由各个人的选择共同促成的。
5 实际储蓄率偏离黄金律储蓄率的后果:
我们已经计算出:黄金律储蓄率s*gold=a。这意味着,如果储蓄率等于黄金律储蓄率,那么整个社会中的所有的资本的收益额将全部用于资本的再生产,即投资行为。
考虑一个封闭的经济,(没有进出口与国际资本的流动)那么上述行为就意味着,资本所有者没有自己的消费收益,或者说,资本所有者的收益要全部用于投资行为,而没有自己的消费行为。显然这是不可能的。所以,对于封闭经济而言,私人市场经济条件下,实际储蓄率不可能在长期达到黄金律的储蓄率行为。
由美国的数据,我们推导出如下经济行为:
(1)资本的总收益,约占总收入Y的30%左右:
(2)折旧约占到总收入Y的10%,净投资约占总收入Y的份额:K×(n+g)÷Y≈3%×2.5=7.5%;
(3)总投资约占总收入Y的10%+7.5%≈17.5%;
(4)从而在总收入Y中,消费C要占到总收入Y的份额为:100%-17.5%=82.5%;
(5)劳动收入占到总收入Y的份额为:100%-30%=70%
综合上述,产生了如下的问题:劳动收入的份额不足以支撑消费的份额,换言之,消费必须向资本收益进行借贷(无论这一借贷是由私人之间进行的,还是通过以政府为中介进行的)。
一些更加复杂的问题:消费份额大于劳动收入份额的部分在劳动与资本所有者之间如何分配?这种分配是否影响到这个经济体的再生产循环过程的稳定性?
A、假定消费高出劳动收入的份额全部由资本所有者消费,约占总收入的82.5-70%=12.5%。
在索洛增长模型中,投入品只有劳动L和资本K两项,而占收入如此大比例的资本所有者的消费,既没有用于劳动L的再生产,也没有用于资本K的再生产。也就是说,这部分消费并没有投入到下一年度的再生产中去,或者说,是本年度的产出在下一年度的生产过程中,可投入资源的“巨大漏出”。
如果,资本所有者的消费部分(占到总收入的12.5%),可能有些经济学家会认为,不是产出“漏出行为”,那么,如何从索洛模型及所有的增长模型中,找到合理的依据?就是说,在增长模型中,资本所有者的地位在哪里?
B、在任何初始平衡的一年,引入金融借贷系统和横截面消费函数。
我们假定,资本所有者的人数只占全社会人数的一小部分,或者说,资本所有者的个人收益要远远大于单个劳动者的收益,根据边际消费倾向递减规律,我们有理由认为:
占到总收入的12.5%的、超过劳动者收入的消费份额,是在资本所有者和劳动者之间共同进行的,劳动向资本所有者举债。比如,资本家只消费总收入的2.5%,那么如果是供求平衡,那么劳动者就要向资本借入10%进行消费,这样才能使得整个经济系统供求平衡。而通过这种借贷,资本将获得一定的利息。
假定这一比例恒定,即资本家总是消费总收入的2.5%,其余需求由借贷来进行平衡,而假定这种借贷行为类似于英国公债似的“只付息,不还本”的方式进行。那么,仅仅是在简单再生产的条件下,随着初次分配的确定性和借贷消费的确定性,那么只需要一定的年份,当劳动收入的份额(占总收入的约70%)不足以偿还债券的利息时,金融危机,即信用断裂,就由潜在的问题,变成了必然的结果了。
C、我们在上述考察的由分配份额,消费份额引起的、潜在的金融危机,理论上只有在所有资本的收益,都用于投资时,才不会发生。但是,这的确是很不可能的。
D、当我们引入了金融系统,通过借贷来保持这种供求平衡时,那么在长期增长中,金融系统的稳定性,就成为长期增长过程中的必须的条件。但这种条件,在长期增长理论与经济周期理论中,鲜有涉及;如何保持一个经济体的良好发展,金融的稳定就变得极其重要。
以上的分析是在封闭经济条件下进行的,而索洛增长模型,也是基于封闭经济而做出的。当面对开放经济条件时,上面的分析又要复杂得多,进出口条件、金融条件,就都会影响到供求的平衡问题。
参考文献
[1]《高级宏观经济学》[美]戴维·罗默.著,商务印书馆.
[2]《宏观经济学》N. Gregory Mankiw著,第六版,中国人民大学出版社.
【中途分类号】C965【文献标识码】A【文章编号】1673-8209(2009)11-0-02
1961年,经济学家卡尔多描述了增长行为的主要的特征:劳动、资本、产量的增长率大体上都是常数;产量和资本的增长率大致相等,从而资本—产量比近似都为常数,且大于劳动的增长率(从而每工人平均产量和每工人平均资本是上升的)。索洛增长模型,是对经济长期增长的数学描述,在该模型中存在“稳态”,达到的平衡增长路径具有内在的稳定性,符合经济增长过程中的特征。
然而,笔者认为,索洛增长模型,潜在地隐藏了不稳定因素。从而使该模型中的稳态,或者说平衡增长路径成为不可能事件,进而导致该模型的崩溃;这一不稳定因素,很可能是导致经济周期形成的主要因素。
1 索洛增长模型与稳态[1]
生产函数:
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t))
且F(cK,cAL)=cF(K,AL); c≥0。
密集函数:令c=1/AL,得到
F(,1)=F(K,AL)
定义k=K/AL,y=Y/AL,f(k)=F(k,1)。
得到:y=f(k)。
总产量:Y=ALf(k)。
假定f(k)满足f(0)=0,f'(k)>0,f"(k)>0。
其中f'(k)是资本的边际产量:
F(K,AL)=ALf(K/AL),F(K,AL)/K=ALf'(K/AL)(1/AL)=f'(k)
稻田条件:
稻田条件保证经济路径不发散。
其余变量假定:时间连续;劳动和知识以不变的速度增长:
,n和g为外生参数。
产量用于投资的比例为s,且外生不变;现存资本折旧率为δ。于是且n+g+δ>0。
这就完成了对索洛模型的描述。
k的动态学与稳态:
由于k=K/AL,所以:
如下图:当实际投资与持平投资相等时,每单位有效劳动的平均资本收敛于k*。此时,各个变量的增长率均达到稳定,该经济达到了稳态。
当k=k*时,劳动和知识分别以速率n和g增长。资本存量K以速率n+g增长。总产量Y以速率n+g增长。每工人平均资本K/L和每工人平均产量Y/L以速率g增长。
2 黄金律资本存量与黄金律储蓄率
使稳态时的消费c*实现最大化时,所对应的每单位有效劳动的平均资本存量k*,被称为黄金律的资本存量。由:c*=f(k*)-(n+g+δ)k*
当c*最大化时,有:
MPK=n+g+δ;或:MPK-δ=n+g
此时所对应的k*值,被称为黄金律的资本存量,即k*gold。
黄金律储蓄率:
对应于黄金律资本存量k*gold的储蓄率s*gold,我们称其为黄金律储蓄率。
由生产函数规模报酬不变,有
MPK×K=a×Y,
其中a是资本收入在国民收入中所占份额。
上式两端同除以有效劳动AL,得:
MPK×(K/AL)=a×(Y/AL)
即MPK×k =a×y,将MPK=n+g+δ代入到本式,从而有:(n+g+δ)×k =a×y;
同时,在稳态条件下有:s×y=(n+g+δ)×k,结合上式,就会有:
s×y=a×y,从而得到:
s*gold=a。
以上说明,在长期中,黄金律储蓄率就是资本收益在国民收入中的比例。换言之,在长期中把国民收入中所有的资本收益都作为储蓄,就是黄金律的储蓄率。
从整个社会来说,当且仅当将所有的产出投入到生产要素的再生产中,即劳动的收入用于劳动的再生产,资本的收益用于资本的再生产时,社会的生产与再产出才不会出现“漏出”,此时可得的全社会的消费才能最大化。
3 对黄金律储蓄率的偏离(美国的数据)[2]
美国实际GDP平均每年增长3%左右,因此n+g=0.03。
可以根据以下的三个事实来估算资本的净边际产量:
(1)资本存量是一年GDP的2.5倍左右;
(2)资本折旧约为GDP的10%;
(3)资本收入约为GDP的30%;
在规模报酬不变的情况下,资本所有者赚取的收入为每单位资本的MPK,可以把这些事实表示为:
1)k=2.5y
2)δk=0.1y
3)MPK×K/L=MPK×k=0.3Y/L=0.3y;
通过2式除以1式解出折旧率δ:
从而:δ=0.04
用3式除以1式解出资本的边际产量MPK:
从而:MPK=0.12
因此,每年资本折旧为4%左右,资本的边际产量为每年12%左右,净边际产量,即MPK-δ,为每年8%左右。可以看到,资本的收益(MPK-δ=每年8%)大大高于经济的平均增长率(n+g=每年3%)。根据资本边际产出递减规律,美国经济的资本存量大大低于黄金律水平。或者说,美国的实际储蓄率向下偏离于黄金律储蓄率。
4 实际储蓄率低于黄金律储蓄率的部分原因分析
当我们考虑每单位有效劳动的消费最大化的时候,是以“劳动为核心”来思考全社会的最优选择行为;由此,有可能忽略了“财产所有者”的选择行为。对于财产所有者来说,其目标在于资本净收益的最大化。
由于规模报酬不变,每单位有效劳动的平均资本的收益为:a×y;
在稳态条件下,每单位有效劳动的平均资本的支出为:(n+g+δ)×k
从而每单位有效劳动的平均资本的净收益为:
NR(k)=a·y -(n+g+δ)×k=a·f(k)-(n+g+δ)×k
从而,当收益最大化时,一阶条件为
a·MPK=(n+g+δ);从而MPK=(n+g+δ)/a=0.07/0.3≈23.3%。
把这一数据设为MPK2,黄金律资本存量的MPK设为MPK1,实际资本的边际产出设为MPK。
显然,MPK1要远远小于MPK2,换言之,对“财产所有者”的而言,最佳的每单位有效劳动的平均资本,要远远小于对“有效劳动”而言的黄金律资本存量水平。
“经济决策”的话语权问题:
实际每单位有效劳动的人均资本存量,即不是黄金律的资本存量k*gold,也不是“以财产所有者”为核心的最优资本存量,而是两者之间的一种权衡:权衡的结果,取决于劳动与资本在经济增长中的决策权重因数。
我们设资本决策的权重因数为β,劳动决策的权重因数为(1-β),则有:
βMPK2 +(1-β)MPK1=MPK
将计算数据逐次代入,有:
β=0.30612≈a=0.30
这恰好是资本收益占整个国民收入的份额。也就是说,整个国民经济的情况,并不是由“劳动决策”或者“资本决策”单独做出的,而是由两者的某种权衡而做出的。
同时也说明,追求整个社会消费最大化的目标,与社会中个人的追求并不一定是一致的。整个社会的实际目标,是由各个人的选择共同促成的。
5 实际储蓄率偏离黄金律储蓄率的后果:
我们已经计算出:黄金律储蓄率s*gold=a。这意味着,如果储蓄率等于黄金律储蓄率,那么整个社会中的所有的资本的收益额将全部用于资本的再生产,即投资行为。
考虑一个封闭的经济,(没有进出口与国际资本的流动)那么上述行为就意味着,资本所有者没有自己的消费收益,或者说,资本所有者的收益要全部用于投资行为,而没有自己的消费行为。显然这是不可能的。所以,对于封闭经济而言,私人市场经济条件下,实际储蓄率不可能在长期达到黄金律的储蓄率行为。
由美国的数据,我们推导出如下经济行为:
(1)资本的总收益,约占总收入Y的30%左右:
(2)折旧约占到总收入Y的10%,净投资约占总收入Y的份额:K×(n+g)÷Y≈3%×2.5=7.5%;
(3)总投资约占总收入Y的10%+7.5%≈17.5%;
(4)从而在总收入Y中,消费C要占到总收入Y的份额为:100%-17.5%=82.5%;
(5)劳动收入占到总收入Y的份额为:100%-30%=70%
综合上述,产生了如下的问题:劳动收入的份额不足以支撑消费的份额,换言之,消费必须向资本收益进行借贷(无论这一借贷是由私人之间进行的,还是通过以政府为中介进行的)。
一些更加复杂的问题:消费份额大于劳动收入份额的部分在劳动与资本所有者之间如何分配?这种分配是否影响到这个经济体的再生产循环过程的稳定性?
A、假定消费高出劳动收入的份额全部由资本所有者消费,约占总收入的82.5-70%=12.5%。
在索洛增长模型中,投入品只有劳动L和资本K两项,而占收入如此大比例的资本所有者的消费,既没有用于劳动L的再生产,也没有用于资本K的再生产。也就是说,这部分消费并没有投入到下一年度的再生产中去,或者说,是本年度的产出在下一年度的生产过程中,可投入资源的“巨大漏出”。
如果,资本所有者的消费部分(占到总收入的12.5%),可能有些经济学家会认为,不是产出“漏出行为”,那么,如何从索洛模型及所有的增长模型中,找到合理的依据?就是说,在增长模型中,资本所有者的地位在哪里?
B、在任何初始平衡的一年,引入金融借贷系统和横截面消费函数。
我们假定,资本所有者的人数只占全社会人数的一小部分,或者说,资本所有者的个人收益要远远大于单个劳动者的收益,根据边际消费倾向递减规律,我们有理由认为:
占到总收入的12.5%的、超过劳动者收入的消费份额,是在资本所有者和劳动者之间共同进行的,劳动向资本所有者举债。比如,资本家只消费总收入的2.5%,那么如果是供求平衡,那么劳动者就要向资本借入10%进行消费,这样才能使得整个经济系统供求平衡。而通过这种借贷,资本将获得一定的利息。
假定这一比例恒定,即资本家总是消费总收入的2.5%,其余需求由借贷来进行平衡,而假定这种借贷行为类似于英国公债似的“只付息,不还本”的方式进行。那么,仅仅是在简单再生产的条件下,随着初次分配的确定性和借贷消费的确定性,那么只需要一定的年份,当劳动收入的份额(占总收入的约70%)不足以偿还债券的利息时,金融危机,即信用断裂,就由潜在的问题,变成了必然的结果了。
C、我们在上述考察的由分配份额,消费份额引起的、潜在的金融危机,理论上只有在所有资本的收益,都用于投资时,才不会发生。但是,这的确是很不可能的。
D、当我们引入了金融系统,通过借贷来保持这种供求平衡时,那么在长期增长中,金融系统的稳定性,就成为长期增长过程中的必须的条件。但这种条件,在长期增长理论与经济周期理论中,鲜有涉及;如何保持一个经济体的良好发展,金融的稳定就变得极其重要。
以上的分析是在封闭经济条件下进行的,而索洛增长模型,也是基于封闭经济而做出的。当面对开放经济条件时,上面的分析又要复杂得多,进出口条件、金融条件,就都会影响到供求的平衡问题。
参考文献
[1]《高级宏观经济学》[美]戴维·罗默.著,商务印书馆.
[2]《宏观经济学》N. Gregory Mankiw著,第六版,中国人民大学出版社.