1.引入不等式
　　设a，b，c为不大于１的正数，n为正整数，则
　　■+■+ ■≤■.（1）
　　设a，b，c为正数且n为正整数，则有
　　■+■+■≥■{■+■+■}.(2)
　　本文要对不等式(1)和(2)的变量个数以及根式方面进行了推广，得到了一般情况.为此先引入一个引理：
　　引理设x1，x2，…，xn为正数，则
　　■≤■xi≤■. (3)
　　2.对不等式（1）进行推广
　　定理1 设x1，x2，…，xn均为不大于1的正数，n，r为正整数，则
　　■■≤■ （4）
　　证：对n用第二数字归纳法有
　　（i）当n=2时，成立.
　　（ii）假定2≤k≤n-1时不等式(4)成立．下面推证当n时也成立，分两种情况证明.
　　当n=2m时，有
　　■■=■■+■■
　　≤■+■
　　≤■=■
　　=■
　　 当n=2m+1时，有■■+■
　　=■■+■■+■
　　≤■+■
　　≤■
　　即 ■■≤■，
　　■■≤■.
　　
　　综合(i)，(ii)，不等式(4)成立，证毕.
　　由不等式（2）可推出
　　定理2 设x1，x2，…xn为正数，n，k，r为正整数，则
　　■■≥■■■（5）
　　证：对a1，a2，…an为正数，由引理与幂平均不等式有
　　■air≥■■ai■■≥■（6）
　　由不等式（6），不等式（5）的左端有
　　■■≥■■■
　　=■■■■■
　　≥■■■■■.
　　即 ■■≥■■■.
　　证毕.
　　
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