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摘要：面齿轮传动是直齿圆柱齿轮和锥齿轮啮合，当二者的轴线角度垂直时，就是正交面齿轮传动。本文推导了直齿圆柱齿轮到面齿轮的坐标变换，分析了正交面齿轮正常工作的条件，包括：正交面齿轮根切的条件，正交面齿轮齿顶尖化的条件，正交面齿轮齿宽的限制，面齿轮的最大半径和最小半径计算。从而为正交面齿轮的结构参数设计奠定了理论基础。
关键词：正交面齿轮 结构参数 啮合
0 引言
面齿轮的传动是渐开线直齿圆柱齿轮和圆锥齿轮啮合，当两个齿轮轴线之间夹角垂直时，圆锥齿轮的轮齿将分布在一个圆平面上，锥齿轮即为面齿轮，从而泛称为面齿轮。一般情况下，根据面齿轮加工时刀具轴线与被加工面齿轮轴线之间的关系分为垂直相交、偏置垂直交错、非垂直相交和偏置非垂直交错等4种情况，而分别称为正交面齿轮、偏置正交面齿轮、非正交面齿轮和偏置非正交面齿轮。由于结构形式的变化，面齿轮齿面的几何形状已不是常见的渐开线齿面或其它常见的齿面，其齿面形状相当复杂。
傳统的锥齿轮传动有如下缺点：与圆柱齿轮相比，其结构尺寸大，重量大；由于属于交错轴结构，在加工和装配中如果出现误差，在运行时会产生空间三向正交力，受力不均匀，噪声高；相交轴之间的关系很难调整，装配复杂；寿命短，受力不均匀会导致锥齿轮的加速磨损。使用面齿轮具有如下优点：在润滑油不充足时也能保证有效的工作；装配的时间短，中间的圆柱齿轮采用单端支撑，可有效地调整装配关系；由于中间的圆柱齿轮采用单端支撑，因此和它啮合的面齿轮不受轴向力，或者很小；重合系数大，并且是倾斜接触，因此运动平稳，从而可降低噪声；与传统的结构相比减轻了重量。由于和传统的锥齿轮相比，面齿轮具有如上优势，因此很多企业、公司和科研院所都投入很大精力从事面齿轮的研究。
1 面齿轮坐标变换
要生成目标面齿轮的齿廓和过渡曲面的方程，一般情况下是采用已知与其共轭的直齿轮的结构参数，通过二者的空间运动关系，即坐标的转换来实现。根据圆柱齿轮和面齿轮的运动关系，利用圆柱齿轮齿廓曲面作为产形面，通过包络运动得到面齿轮齿廓。设SmXmYmZm是圆柱齿轮的静坐标系S′mX′mY′mZ′m是圆柱齿轮的随动坐标系，SfXfYfZf是面齿轮的静坐标系，S′fX′fY′fZ′f是面齿轮的随动坐标系。圆柱齿轮齿廓曲面在这里的研究中叫做产形面，它是包络过程中的母面，（在实际加工中即是刀具齿面）。包络过程中，坐标变换矩阵为从坐标系S′m到Sm的齐次转换，从坐标系Sm到Sf的齐次转换，从坐标系Sf到S′f的齐次转换，通过三次坐标转换，将圆柱齿轮上的坐标点转换到了面齿轮的动坐标系中，从而为利用已有的轮廓方程求出相关联的未知方程打下了基础。
2 正交面齿轮正常工作的条件
正交面齿轮传动和其他正常齿轮一样，也需要满足一定的工作条件，包括：正交面齿轮根切的条件，正交面齿轮齿顶尖化的条件，正交面齿轮齿宽的限制，面齿轮的最大半径和最小半径计算。
为了使面齿轮传动能够正常啮合传动，其中的锥齿轮不是一般的普通圆锥齿轮，而是用与其相配对的圆柱齿轮相同尺寸的齿轮插刀经范成原理加工出来的。由于这种齿轮机构实现了相交轴之间的传动，因而与普通的锥齿轮传动类似，其节面为锥面。啮合角随齿宽上的位置不同而变化，对于某个特定的位置来说它是常数。在小齿轮的节锥半径等于圆柱齿轮的基圆半径的位置时，啮合角变为零。但面齿轮的齿宽是不能到达啮合角等于零的位置的。事实上，在这点附近，切削加工过程中刀具的刀顶过渡部分会切掉面齿轮的共轭齿廓，即产生根切现象，也就是说，面齿轮的根切首先会出现在靠近齿宽内半径的齿廓上，因此只要研究靠近齿宽内半径的齿廓上发生根切作为临界条件，就可避免根切。
面齿轮传动过程中，面齿轮的齿宽是不能到达与其啮合的圆柱齿轮的分度圆半径处，其啮合角即为分度圆的压力角，在离开面齿轮轴线愈远的位置，其啮合角愈大，齿顶厚愈小，到达一定位置处，面齿轮的齿顶厚为零，产生尖顶现象。容易得出结论：面齿轮的尖化现象发生在齿顶处，并且一定是先出现在其齿宽的外径处的齿顶上。面齿轮的外径越大，则其发生齿顶尖化的情况越容易出现。在包络过程中，面齿轮齿顶线发生相交，出现齿顶尖化现象，齿顶尖化点是理论齿廓的相交起始点，也是齿廓测量中的理论参考点。
由于一端产生尖顶，另一端易根切，使得其齿宽受到一定的限制，导致面齿轮的齿宽不可能很宽，从而影响其承载能力。在有关的研究中，面齿轮的齿宽与其根切和齿顶尖化是分不开的。利用前述的根切条件，我们易得到一组面齿轮的齿廓坐标值，其中满足临界条件的一组数值中，它的x值即为最小内半径的数值，可以用它来除以模数，得出最小内半径系数；同时，利用前述的不发生齿顶尖化的临界条件的坐标值中的x，可以确定最大外半径系数。依据两个最值之差除以模数，即得出齿宽系数，并以此法可以制成表格，供以后查阅，为研究和生产带来方便。
有了前面的理论基础，很容易求解正交面齿轮的最大和最小半径。依据根切和尖化的限制求出两个半径，再除以相应的模数即可以制成相应表格。
3 结论
本文给出了正交面齿轮的概念，同时论述了从直齿圆柱齿轮到面齿轮的坐标变换，分析了正交面齿轮正常工作的条件，为面齿轮的结构参数设计奠定了理论基础。
参考文献：
[1]黄丽娟.面齿轮传动的齿面生成和弯曲应力分析[D].南京:南京航空航天大学，2007.
[2]吴序堂.齿轮啮合原理[M].北京:机械工业出版社，1982.
[3]朱如鹏，高德平.在面齿轮实际中避免根切和齿顶变尖实际方法的研究[J].中国机械工程，1999(10):16-19.
基金项目：黑龙江省教育厅资助项目，项目编号11521208
关键词：正交面齿轮 结构参数 啮合
0 引言
面齿轮的传动是渐开线直齿圆柱齿轮和圆锥齿轮啮合，当两个齿轮轴线之间夹角垂直时，圆锥齿轮的轮齿将分布在一个圆平面上，锥齿轮即为面齿轮，从而泛称为面齿轮。一般情况下，根据面齿轮加工时刀具轴线与被加工面齿轮轴线之间的关系分为垂直相交、偏置垂直交错、非垂直相交和偏置非垂直交错等4种情况，而分别称为正交面齿轮、偏置正交面齿轮、非正交面齿轮和偏置非正交面齿轮。由于结构形式的变化，面齿轮齿面的几何形状已不是常见的渐开线齿面或其它常见的齿面，其齿面形状相当复杂。
傳统的锥齿轮传动有如下缺点：与圆柱齿轮相比，其结构尺寸大，重量大；由于属于交错轴结构，在加工和装配中如果出现误差，在运行时会产生空间三向正交力，受力不均匀，噪声高；相交轴之间的关系很难调整，装配复杂；寿命短，受力不均匀会导致锥齿轮的加速磨损。使用面齿轮具有如下优点：在润滑油不充足时也能保证有效的工作；装配的时间短，中间的圆柱齿轮采用单端支撑，可有效地调整装配关系；由于中间的圆柱齿轮采用单端支撑，因此和它啮合的面齿轮不受轴向力，或者很小；重合系数大，并且是倾斜接触，因此运动平稳，从而可降低噪声；与传统的结构相比减轻了重量。由于和传统的锥齿轮相比，面齿轮具有如上优势，因此很多企业、公司和科研院所都投入很大精力从事面齿轮的研究。
1 面齿轮坐标变换
要生成目标面齿轮的齿廓和过渡曲面的方程，一般情况下是采用已知与其共轭的直齿轮的结构参数，通过二者的空间运动关系，即坐标的转换来实现。根据圆柱齿轮和面齿轮的运动关系，利用圆柱齿轮齿廓曲面作为产形面，通过包络运动得到面齿轮齿廓。设SmXmYmZm是圆柱齿轮的静坐标系S′mX′mY′mZ′m是圆柱齿轮的随动坐标系，SfXfYfZf是面齿轮的静坐标系，S′fX′fY′fZ′f是面齿轮的随动坐标系。圆柱齿轮齿廓曲面在这里的研究中叫做产形面，它是包络过程中的母面，（在实际加工中即是刀具齿面）。包络过程中，坐标变换矩阵为从坐标系S′m到Sm的齐次转换，从坐标系Sm到Sf的齐次转换，从坐标系Sf到S′f的齐次转换，通过三次坐标转换，将圆柱齿轮上的坐标点转换到了面齿轮的动坐标系中，从而为利用已有的轮廓方程求出相关联的未知方程打下了基础。
2 正交面齿轮正常工作的条件
正交面齿轮传动和其他正常齿轮一样，也需要满足一定的工作条件，包括：正交面齿轮根切的条件，正交面齿轮齿顶尖化的条件，正交面齿轮齿宽的限制，面齿轮的最大半径和最小半径计算。
为了使面齿轮传动能够正常啮合传动，其中的锥齿轮不是一般的普通圆锥齿轮，而是用与其相配对的圆柱齿轮相同尺寸的齿轮插刀经范成原理加工出来的。由于这种齿轮机构实现了相交轴之间的传动，因而与普通的锥齿轮传动类似，其节面为锥面。啮合角随齿宽上的位置不同而变化，对于某个特定的位置来说它是常数。在小齿轮的节锥半径等于圆柱齿轮的基圆半径的位置时，啮合角变为零。但面齿轮的齿宽是不能到达啮合角等于零的位置的。事实上，在这点附近，切削加工过程中刀具的刀顶过渡部分会切掉面齿轮的共轭齿廓，即产生根切现象，也就是说，面齿轮的根切首先会出现在靠近齿宽内半径的齿廓上，因此只要研究靠近齿宽内半径的齿廓上发生根切作为临界条件，就可避免根切。
面齿轮传动过程中，面齿轮的齿宽是不能到达与其啮合的圆柱齿轮的分度圆半径处，其啮合角即为分度圆的压力角，在离开面齿轮轴线愈远的位置，其啮合角愈大，齿顶厚愈小，到达一定位置处，面齿轮的齿顶厚为零，产生尖顶现象。容易得出结论：面齿轮的尖化现象发生在齿顶处，并且一定是先出现在其齿宽的外径处的齿顶上。面齿轮的外径越大，则其发生齿顶尖化的情况越容易出现。在包络过程中，面齿轮齿顶线发生相交，出现齿顶尖化现象，齿顶尖化点是理论齿廓的相交起始点，也是齿廓测量中的理论参考点。
由于一端产生尖顶，另一端易根切，使得其齿宽受到一定的限制，导致面齿轮的齿宽不可能很宽，从而影响其承载能力。在有关的研究中，面齿轮的齿宽与其根切和齿顶尖化是分不开的。利用前述的根切条件，我们易得到一组面齿轮的齿廓坐标值，其中满足临界条件的一组数值中，它的x值即为最小内半径的数值，可以用它来除以模数，得出最小内半径系数；同时，利用前述的不发生齿顶尖化的临界条件的坐标值中的x，可以确定最大外半径系数。依据两个最值之差除以模数，即得出齿宽系数，并以此法可以制成表格，供以后查阅，为研究和生产带来方便。
有了前面的理论基础，很容易求解正交面齿轮的最大和最小半径。依据根切和尖化的限制求出两个半径，再除以相应的模数即可以制成相应表格。
3 结论
本文给出了正交面齿轮的概念，同时论述了从直齿圆柱齿轮到面齿轮的坐标变换，分析了正交面齿轮正常工作的条件，为面齿轮的结构参数设计奠定了理论基础。
参考文献：
[1]黄丽娟.面齿轮传动的齿面生成和弯曲应力分析[D].南京:南京航空航天大学，2007.
[2]吴序堂.齿轮啮合原理[M].北京:机械工业出版社，1982.
[3]朱如鹏，高德平.在面齿轮实际中避免根切和齿顶变尖实际方法的研究[J].中国机械工程，1999(10):16-19.
基金项目：黑龙江省教育厅资助项目，项目编号11521208