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数学家波利亚说:“类比是一个伟大的引路人”。的确,数学史上有许多在数学家通过类比发现了许多的重要的数学结论。在数学的教学与研究中,类比是进行合情推理的一种非常重要的思维方法。把课本内容有效整合,进行类比教学,可以提高效率。开发学生的创新性思维。下面结合课堂进行类比教学:
师:拿出数学教学模型,边演示边提问,我们在圆锥面上用不同的平面来截,可以得到哪些曲线呢?
生:通过观察,我们可以看到,得到了:园、椭圆、双曲线、抛物线。
师:你观察得很仔细。对,我们得到你所说的曲线,其实,早在古希腊,圆锥曲线就被发现,人们从纯几何角度就得到了是,所以我们把他们叫做圆锥曲线。大家能给出得到这些曲线的确切条件吗?
生:用平行于圆锥轴的平面去截圆锥面得到的曲线是双曲线,用与圆锥轴不平行也不垂直同时不与母线平行的平面去截圆锥面就可以得到椭圆。当然还可以得到圆和抛物线。
师:这是我们将椭圆与双曲线第一次在圆锥面上得到了统一。接下来我们来看下面问题:(板书)
在平面上,设点A、B的坐标分别为(5,0),(-5,0),直线AM、BM相交于点M,它们的斜率积是-■,求动点M的轨迹方程。
■
生:(思考,运算):。
师:我们能把它推广为一般形式吗?能求出它的方程吗?
生:平面上,设点A、B的坐标分别为(a,0),(- a,0),直线AM、BM相交于点M,它们的斜率积是k,当k<0时,动点M的轨迹是椭圆。
生:设M(x,y),直线AM,BM的斜率分别是
■,由已知有■,化简,得点M的轨迹方程为:■。
师:若把上面的斜率积改为■呢,动点M的轨迹是什么?同样的能推广为一般形式吗?
生:通过运算可知:方程是:■其轨迹是双曲线(去掉两个顶点)
生:平面上,设点A、B的坐标分别为(a,0),(- a,0),直线AM、BM相交于点M,它们的斜率积是k,当k >0时,动点M的轨迹是双曲线。方程是■
师:我们观察一下两个一般方程会发现什么?
生:我们发现他们方程是一致的。
师:我们在上面的解题中使用了类比的方法来发现、解决问题,可以用特殊来类比一般,将特殊问题推广,得到了一般的结论。也可以将两种不同的事物(椭圆与双曲线)进行类比,得到了相似的性质。
其特点是动点与长轴的两个顶点(除两个顶点外)的连线斜率之积是定植。在这种意义下实现第二次统一。其方程也统一。
下面我们继续来思考问题: 圆O的半径为定长r,A是圆内一定点,P是圆任意上一点。线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹生:据线段的垂直平分线定理可知,■,点Q的轨迹是椭圆。
师:我们通过类比,能发现什么结论呢?你能证明吗?
生:A是圆外一定点时,点是什么曲线?Q的轨迹是双曲线。■也是常数。我们发现椭圆与双曲线在园的背景下也得到了统一。是第三次统一了。
师:好,大家的思维活跃起来了。那我们来看看椭圆与双曲线的定义和标准方程。
生:平面上,与两定点■的距离之和等于常数(大于两定点距离)的动点M的轨迹是椭圆。与两定点的距离之差的绝对值等于常数(小于两定点距离)的动点M的轨迹是双曲线。
师:我们把这三点■看成是构成三角形的三点,那构成椭圆与双曲线应该满足什么条件?我们把标准方程改写成形式■,大家是否熟悉这种形式?通过类比我们还能得到什么?
生:两边之和大于第三边,是椭圆构成的条件。两边之差小于第三边,是构成双曲线的条件。这种形式是我们熟悉的平方和与差。
师:(启发)与三角公式■类比,我们有什么启示
生:正好是我们学习过的三角公式:■,在椭圆方程中令■则■
师:在双曲线方程中我们引入函数:■,■呢?
生:我们得到了■,■
师:我们发现椭圆与双曲线在三角形中与三角形式下也相统一了,我们把,■■称为椭圆与双曲线的参数方程。是方程中的三角代换,在解题中十分有用。
例如:设是实数x,y满足方程■,求■的最值。
生:将方程■化为标准方程■,令■
则■■,最大值是13,最小值是-13.
师:下面我们探讨问题:已知点F(c,0)是平面上一定点,l是平面上不过点F的一定直线,其方程是■,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数■(0 生:设M(x,y)据题意知:■,化简的■
令■,则有方程:■为椭圆轨迹。
师:我们对这个问题做同样的思考,会得到双曲线吗?
生:能。当c>a,上述方程中有■,令■,就有■是双曲线方程。
师:我们把■叫做离心率,能得到什么样的一般结论呢?
生:已知点F是平面上一定点,l是平面上不过点F的一定直线,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e,当01时,其轨迹是双曲线。
师:我们把上面的结论成为椭圆与双曲线的统一定义(第二定义)。还发现缺了一个e=1的值,它代表了抛物线,后面要学习的。我们第五次又将椭圆与双曲线统一起来了。其特点是动点到定点的距离与到定直线的距离比是定植。第二定义在解题中也是十分有用的。请看问题:在椭圆■上找一点P,使得|PF|+■|PA|最小,其中F(4,0),A(2,2)。(图形画在黑板上)
生:如图所示,设l为椭圆的右准线,PP1⊥l于P1,则根据椭圆定义|PF|=|PP1|,求
|PA|+|PF|最小值,即求|AP|+|PP1|最小值。 当A、P、P1共线时,满足条件,(如图中虚线所示)即P点纵坐标为2,∴P点坐标为(1,2)。
师:注意:|PA|前面的系数是离心率的倒数。通过类比,对双曲线我们能自己设计相同的问题吗?
生:能,在双曲线■上找一点P,使得|PF|+■|PA|最小,其中F(5,0),A(6,3)。
课后反思:
类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用。类比在数学学习中有着广泛的应用,是学生提出新问题、获得新发现的源泉。通过这节习题课的教学,原来不怎么活跃的课堂气氛一下子提了上来,原来善于倾听的同学有了发言、发现的冲动。类比思维的探究是学习一种动力。
类比思维是学习方法的迁移。乔治·波利亚在《数学的发现》一书指出:"类比是某种类型的相似性……是一种更确定的和更概念性的相似。"这里所说的"相似性"是指对象在某些方面具有一致性,而类比可以使我们清楚地看出这种一致性。类比能力实际上是一种极其重要的学习迁移能力。通过对椭圆和双曲线对比的分析,我们发现它们有很多相似的地方,可以用相同的方法来处理问题。例如求椭圆和双曲线的焦半径,用三角代换来求相关的最值。这些都充分体现了客观世界的完美与和谐,反映了数学的统一之美。正因为如此,它成为各级各类考试命题者心仪的知识点。进一步加强对相似特点的研究,并在平时解题实践中加以应用,对于理解数学知识,发展思维,提高解题能力是非常有必要的。加强对该类问题的训练,定会开阔我们的思路,增强我们思维灵活性。举一反三,触类旁通,提高自己解决问题的能力。
在我们的数学教学的过程中,要坚持“用教材教”,而不是教教材,就是不拘泥于教材,要善于从数学的历史中发现问题背景,方法的源头,思想是灵魂:要创造性地运用教材教材来教精彩地设计教学情节和细节,精当地选择教学方法,真正实现从教育的数学走向数学的教育创造性地使用教材,教学中既要基于教材,又要再生教材。从而生成我们课堂的精彩。
师:拿出数学教学模型,边演示边提问,我们在圆锥面上用不同的平面来截,可以得到哪些曲线呢?
生:通过观察,我们可以看到,得到了:园、椭圆、双曲线、抛物线。
师:你观察得很仔细。对,我们得到你所说的曲线,其实,早在古希腊,圆锥曲线就被发现,人们从纯几何角度就得到了是,所以我们把他们叫做圆锥曲线。大家能给出得到这些曲线的确切条件吗?
生:用平行于圆锥轴的平面去截圆锥面得到的曲线是双曲线,用与圆锥轴不平行也不垂直同时不与母线平行的平面去截圆锥面就可以得到椭圆。当然还可以得到圆和抛物线。
师:这是我们将椭圆与双曲线第一次在圆锥面上得到了统一。接下来我们来看下面问题:(板书)
在平面上,设点A、B的坐标分别为(5,0),(-5,0),直线AM、BM相交于点M,它们的斜率积是-■,求动点M的轨迹方程。
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生:(思考,运算):。
师:我们能把它推广为一般形式吗?能求出它的方程吗?
生:平面上,设点A、B的坐标分别为(a,0),(- a,0),直线AM、BM相交于点M,它们的斜率积是k,当k<0时,动点M的轨迹是椭圆。
生:设M(x,y),直线AM,BM的斜率分别是
■,由已知有■,化简,得点M的轨迹方程为:■。
师:若把上面的斜率积改为■呢,动点M的轨迹是什么?同样的能推广为一般形式吗?
生:通过运算可知:方程是:■其轨迹是双曲线(去掉两个顶点)
生:平面上,设点A、B的坐标分别为(a,0),(- a,0),直线AM、BM相交于点M,它们的斜率积是k,当k >0时,动点M的轨迹是双曲线。方程是■
师:我们观察一下两个一般方程会发现什么?
生:我们发现他们方程是一致的。
师:我们在上面的解题中使用了类比的方法来发现、解决问题,可以用特殊来类比一般,将特殊问题推广,得到了一般的结论。也可以将两种不同的事物(椭圆与双曲线)进行类比,得到了相似的性质。
其特点是动点与长轴的两个顶点(除两个顶点外)的连线斜率之积是定植。在这种意义下实现第二次统一。其方程也统一。
下面我们继续来思考问题: 圆O的半径为定长r,A是圆内一定点,P是圆任意上一点。线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹生:据线段的垂直平分线定理可知,■,点Q的轨迹是椭圆。
师:我们通过类比,能发现什么结论呢?你能证明吗?
生:A是圆外一定点时,点是什么曲线?Q的轨迹是双曲线。■也是常数。我们发现椭圆与双曲线在园的背景下也得到了统一。是第三次统一了。
师:好,大家的思维活跃起来了。那我们来看看椭圆与双曲线的定义和标准方程。
生:平面上,与两定点■的距离之和等于常数(大于两定点距离)的动点M的轨迹是椭圆。与两定点的距离之差的绝对值等于常数(小于两定点距离)的动点M的轨迹是双曲线。
师:我们把这三点■看成是构成三角形的三点,那构成椭圆与双曲线应该满足什么条件?我们把标准方程改写成形式■,大家是否熟悉这种形式?通过类比我们还能得到什么?
生:两边之和大于第三边,是椭圆构成的条件。两边之差小于第三边,是构成双曲线的条件。这种形式是我们熟悉的平方和与差。
师:(启发)与三角公式■类比,我们有什么启示
生:正好是我们学习过的三角公式:■,在椭圆方程中令■则■
师:在双曲线方程中我们引入函数:■,■呢?
生:我们得到了■,■
师:我们发现椭圆与双曲线在三角形中与三角形式下也相统一了,我们把,■■称为椭圆与双曲线的参数方程。是方程中的三角代换,在解题中十分有用。
例如:设是实数x,y满足方程■,求■的最值。
生:将方程■化为标准方程■,令■
则■■,最大值是13,最小值是-13.
师:下面我们探讨问题:已知点F(c,0)是平面上一定点,l是平面上不过点F的一定直线,其方程是■,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数■(0
令■,则有方程:■为椭圆轨迹。
师:我们对这个问题做同样的思考,会得到双曲线吗?
生:能。当c>a,上述方程中有■,令■,就有■是双曲线方程。
师:我们把■叫做离心率,能得到什么样的一般结论呢?
生:已知点F是平面上一定点,l是平面上不过点F的一定直线,点M到点F的距离和它到直线l的距离之比是一个常数e,当0
师:我们把上面的结论成为椭圆与双曲线的统一定义(第二定义)。还发现缺了一个e=1的值,它代表了抛物线,后面要学习的。我们第五次又将椭圆与双曲线统一起来了。其特点是动点到定点的距离与到定直线的距离比是定植。第二定义在解题中也是十分有用的。请看问题:在椭圆■上找一点P,使得|PF|+■|PA|最小,其中F(4,0),A(2,2)。(图形画在黑板上)
生:如图所示,设l为椭圆的右准线,PP1⊥l于P1,则根据椭圆定义|PF|=|PP1|,求
|PA|+|PF|最小值,即求|AP|+|PP1|最小值。 当A、P、P1共线时,满足条件,(如图中虚线所示)即P点纵坐标为2,∴P点坐标为(1,2)。
师:注意:|PA|前面的系数是离心率的倒数。通过类比,对双曲线我们能自己设计相同的问题吗?
生:能,在双曲线■上找一点P,使得|PF|+■|PA|最小,其中F(5,0),A(6,3)。
课后反思:
类比不仅是一种从特殊到特殊的推理方法,也是一种探索解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效的方法。这对数学教学中培养学生的创新能力和创造性思维能力有着极其重要的作用。类比在数学学习中有着广泛的应用,是学生提出新问题、获得新发现的源泉。通过这节习题课的教学,原来不怎么活跃的课堂气氛一下子提了上来,原来善于倾听的同学有了发言、发现的冲动。类比思维的探究是学习一种动力。
类比思维是学习方法的迁移。乔治·波利亚在《数学的发现》一书指出:"类比是某种类型的相似性……是一种更确定的和更概念性的相似。"这里所说的"相似性"是指对象在某些方面具有一致性,而类比可以使我们清楚地看出这种一致性。类比能力实际上是一种极其重要的学习迁移能力。通过对椭圆和双曲线对比的分析,我们发现它们有很多相似的地方,可以用相同的方法来处理问题。例如求椭圆和双曲线的焦半径,用三角代换来求相关的最值。这些都充分体现了客观世界的完美与和谐,反映了数学的统一之美。正因为如此,它成为各级各类考试命题者心仪的知识点。进一步加强对相似特点的研究,并在平时解题实践中加以应用,对于理解数学知识,发展思维,提高解题能力是非常有必要的。加强对该类问题的训练,定会开阔我们的思路,增强我们思维灵活性。举一反三,触类旁通,提高自己解决问题的能力。
在我们的数学教学的过程中,要坚持“用教材教”,而不是教教材,就是不拘泥于教材,要善于从数学的历史中发现问题背景,方法的源头,思想是灵魂:要创造性地运用教材教材来教精彩地设计教学情节和细节,精当地选择教学方法,真正实现从教育的数学走向数学的教育创造性地使用教材,教学中既要基于教材,又要再生教材。从而生成我们课堂的精彩。