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摘 要：在罗定邦中学的高效课堂的教学改革中，数学学科的课堂教学逐渐形成“学案导学，自主学习，小组讨论，展示点评，一一对应，当堂训练”的教学特色，在这种模式下，教师和学生的角色发生了很大转变；学生成了课堂的主人，教师不再满堂灌，成为学生学习的指导者、组织者、合作者，这样的模式下，充分调动了学生的学习积极性，使学生通过自主学习、合作交流、展示点评，从而提高了学生分析问题、解决问题、自主学习的能力.
关键词：高效课堂；小组讨论；展示点评；意外收获
三年来，罗定邦中学数学组一直坚持，教师集体备课，学生学案导学，自主学习，小组讨论，展示点评，一一对应的课堂教学模式，下面以笔者在这三年的高效课堂教学过程中亲身体验的几个事例和感受谈谈“小组讨论环节”的意外收获.
[?] 小组合作交流，学生提出陈题新解
下面是同学们在自主学习导学案后，在展示课堂中，小组讨论合作的一个片段：
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若==，试判断△ABC的形状.
李同学：等式中有角，有边，形式统一，将边化成角，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入有==，故有tanA=tanB=tanC，得A=B=C，从而△ABC是等边三角形.
何同学：由tanA=tanB=tanC得到A=B=C时，应加上条件0 张同学：学了余弦定理，可以将cosA=，cosB=，cosC=代入等式中角化边有：==. 从而有b2 c2-a2=a2 c2-b2=a2 b2-c2，有a=b=c，从而△ABC是等边三角形.
黄同学：上述两位同学的方法分别是用正弦定理、余弦定理，将等式中边、角形式统一，而我的方法似乎没有用到这些定理，只是用到了直角三角形中的相关性质. 因为条件所给的等式中出现了cosA，cosB，cosC，如果通过构造直角三角形，能够将，，化成边的形式，那能得到什么样结果呢？当然，在一般三角形中，通过作高来构造直角三角形.
如图1，在△ABC中，AD，BE，CF是高.
在Rt△BEA中，cosA==；在Rt△CFA中，cosA==；
在Rt△CFB中，cosB==；在Rt△ADB中，cosB==；
在Rt△ADC中，cosC==；在Rt△BEC中，cosC==；
所以==，==；==.
因为=，所以=，所以AF=BF.
因为=，所以=，所以BD=CD.
因为=，所以=，所以AE=CE.
即D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，由三线合一知，AB=BC=CA，从而△ABC是等边三角形.
吴同学：你的想法我看懂了，但是你画的图是一个锐角三角形，所以你作的高都在三角形内部，如果是直角三角形，或者是钝角三角形，那么就不能得到上述图形，你的证明过程也就是有漏洞的.
因为这个问题，黄同学确实没有想到，所以当场没有回答出来，作为老师的我，补充了一下.
老师：如果是直角三角形，不妨设A是直角，那cosA=0，不能作分母，与题意不符，所以这是不可能的，从而不是直角三角形，如果是钝角三角形，不妨设A是钝角，那cosA<0，而且B，C是锐角，那么cosB>0，cosC>0，这时，条件==是不可能成立的，与题意不符，所以这也是不可能的，从而也不是钝角三角形. 所以△ABC一定是锐角三角形，因此大家可以按照黄同学的做法去解.
这个黄同学，对平面几何的题型很感兴趣，几何思维也很好，但是对于运算、代数、函数的题型就很不喜欢，也缺乏自信，从而在高一这段时间，她的数学成绩不算好，但通过这次的讨论，给同组同学的讲解，让她赢得了同学们的佩服，她也获得了自信.作为数学老师，笔者以此为契机对她进行了鼓励及引导. 从此，她很热爱数学，因为从数学的学习中，慢慢获得了认同感. 她的数学学习能力也得到了很大提升，在高三的复习中，数学单科成绩经常是班上前三名，因为数学成绩的提高，使她的高考总分也是班上前五名.
[?] 交流讨论，合作双赢
已知{an}是等差数列，且Sn=18（n>3），又S3=1，an an-1 an-2=3，求n.
胡同学：联立方程组a1 a2 a3=1，
an an-1 an-2=3，有a1 an=，Sn=×n，得n=27.
这个方法很正规，大部分同学都能理解. 因为笔者觉得自己有不同的解法，于是就让各个小组同学分组讨论，看能不能讨论出不同的解法. 几分钟后，张同学所在的小组里一阵闹哄，笔者就问怎么回事. 这时他们的小组长说，张同学有不同的解法，但是他给小组同学讲解，解释得不怎么清楚，他们不是很明白. 我就让张同学在黑板上写出他的方法，并尽量作解释.
张同学：我用式子=，有=，得n=27. 我自己也不知道该怎么解释，我说不出原因，但我这样算之后，答案是对的，也许这只是巧合吧.
这时，其他小组也讨论起来了，都觉得很神奇！又一个小组讨论后有了想法：
梁同学（代表）：我们组这样想，等差数列看成一根由细到粗均匀变化的木头，而表示为取木头的重心位置，现在Sn-S3-an-an-1-an-2表示把木头的最细端和最粗端同时剪去长度相等的一段，那表示剪断之后的重心，两者重心应该不变，即得到等式=.
其他小组听了他的解释后，有些同学懵了，有些同学则会心一笑. 这样来理解数学，太通俗，太不可思议了. 我经常举生活中的实例来帮助同学们理解一些数学概念、数学公式以及数学等式，但对于用粗细均匀变化的木头来理解等差数列，笔者从未想过. 但本题中这种理解方式，也算科学. 我又提醒同学们，还可以用平均数的方式来理解. 这时又一组同学抢着站起来说了： 武同学（代表）：我们组这样理解，n个数组成等差数列，理解为求这n个数的平均数，而Sn-S3-an-an-1-an-2看成剔除最高分的三个数和最低分的三个数，表示剔除这六个数之后的平均数，这样平均数应该不变. 从而有=.
程同学：我们组这样想，{an}是等差数列，从而Sn=×n，所以=，而Sn-S3-an-an-1-an-2看成原数列中的一段和，即数列a4，a5，……，an-4，an-3，这还是一个等差数列，而它的和是Sn-S3-an-an-1-an-2=Sn=×（n-6），所以可得=，根据等差数列的性质有a1 an=a4 an-3，从而有=.
这些想法都是正确的，都是同学们小组能讨论得到的，虽然花了很多时间，但笔者相信同学们对等差数列有了更深刻的理解，对等差数列的前n项和、性质等都有了进一步的了解，而且这样的讨论，学生收获的东西远胜于教师一个人反复强调以及学生反复的死记硬背.
[?] 高效课堂教改的理论基础及收获总结
学习金字塔（如图2）是美国缅因州的国家训练实验室的研究成果，它用数字形式形象显示了：采用不同的学习方式，学习者在两周以后还能记住内容（平均学习保持率）的多少.
根据这个金字塔所呈现的，从第一项至第四项的学习方式也都是被动式的，学生的参与度非常低，所以学习的保存率都无法超过30%. 而小组讨论，实际演练，让学生教别人，或是让学生有机会当同学的小老师，效果都能超过50%. 因为在小组讨论环节中，部分学生以教师的身份对其他人进行讲解，不仅要对内容相当熟悉，同时也要透过语言的呈现来进行沟通，所以学生在讨论中，必须将自己的解题思维、学习内容转化为让其他人能懂的表达方式，在这同时，也提升了学生潜在智能的发展.
让学生成为课堂的主人，通过这样的教改，我们的课堂相对传统课堂能提升学生的哪些能力呢？
（1）自学能力. 我们编制的导学案，以问题导学的形式，教学生如何自己预习课本，学习课本的一些基础知识.
（2）口语表达能力. 学生们上台点评，讲解自己的方法，需要将自己的想法以语言为载体告诉别人，这对一个高中生来说是难能可贵的.
（3）增强自信心. 上述的几个学生，在经历这样的表现的机会后，他们在数学的学习上很自信，乐于提出自己的想法.
关键词：高效课堂；小组讨论；展示点评；意外收获
三年来，罗定邦中学数学组一直坚持，教师集体备课，学生学案导学，自主学习，小组讨论，展示点评，一一对应的课堂教学模式，下面以笔者在这三年的高效课堂教学过程中亲身体验的几个事例和感受谈谈“小组讨论环节”的意外收获.
[?] 小组合作交流，学生提出陈题新解
下面是同学们在自主学习导学案后，在展示课堂中，小组讨论合作的一个片段：
在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若==，试判断△ABC的形状.
李同学：等式中有角，有边，形式统一，将边化成角，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入有==，故有tanA=tanB=tanC，得A=B=C，从而△ABC是等边三角形.
何同学：由tanA=tanB=tanC得到A=B=C时，应加上条件0
黄同学：上述两位同学的方法分别是用正弦定理、余弦定理，将等式中边、角形式统一，而我的方法似乎没有用到这些定理，只是用到了直角三角形中的相关性质. 因为条件所给的等式中出现了cosA，cosB，cosC，如果通过构造直角三角形，能够将，，化成边的形式，那能得到什么样结果呢？当然，在一般三角形中，通过作高来构造直角三角形.
如图1，在△ABC中，AD，BE，CF是高.
在Rt△BEA中，cosA==；在Rt△CFA中，cosA==；
在Rt△CFB中，cosB==；在Rt△ADB中，cosB==；
在Rt△ADC中，cosC==；在Rt△BEC中，cosC==；
所以==，==；==.
因为=，所以=，所以AF=BF.
因为=，所以=，所以BD=CD.
因为=，所以=，所以AE=CE.
即D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，由三线合一知，AB=BC=CA，从而△ABC是等边三角形.
吴同学：你的想法我看懂了，但是你画的图是一个锐角三角形，所以你作的高都在三角形内部，如果是直角三角形，或者是钝角三角形，那么就不能得到上述图形，你的证明过程也就是有漏洞的.
因为这个问题，黄同学确实没有想到，所以当场没有回答出来，作为老师的我，补充了一下.
老师：如果是直角三角形，不妨设A是直角，那cosA=0，不能作分母，与题意不符，所以这是不可能的，从而不是直角三角形，如果是钝角三角形，不妨设A是钝角，那cosA<0，而且B，C是锐角，那么cosB>0，cosC>0，这时，条件==是不可能成立的，与题意不符，所以这也是不可能的，从而也不是钝角三角形. 所以△ABC一定是锐角三角形，因此大家可以按照黄同学的做法去解.
这个黄同学，对平面几何的题型很感兴趣，几何思维也很好，但是对于运算、代数、函数的题型就很不喜欢，也缺乏自信，从而在高一这段时间，她的数学成绩不算好，但通过这次的讨论，给同组同学的讲解，让她赢得了同学们的佩服，她也获得了自信.作为数学老师，笔者以此为契机对她进行了鼓励及引导. 从此，她很热爱数学，因为从数学的学习中，慢慢获得了认同感. 她的数学学习能力也得到了很大提升，在高三的复习中，数学单科成绩经常是班上前三名，因为数学成绩的提高，使她的高考总分也是班上前五名.
[?] 交流讨论，合作双赢
已知{an}是等差数列，且Sn=18（n>3），又S3=1，an an-1 an-2=3，求n.
胡同学：联立方程组a1 a2 a3=1，
an an-1 an-2=3，有a1 an=，Sn=×n，得n=27.
这个方法很正规，大部分同学都能理解. 因为笔者觉得自己有不同的解法，于是就让各个小组同学分组讨论，看能不能讨论出不同的解法. 几分钟后，张同学所在的小组里一阵闹哄，笔者就问怎么回事. 这时他们的小组长说，张同学有不同的解法，但是他给小组同学讲解，解释得不怎么清楚，他们不是很明白. 我就让张同学在黑板上写出他的方法，并尽量作解释.
张同学：我用式子=，有=，得n=27. 我自己也不知道该怎么解释，我说不出原因，但我这样算之后，答案是对的，也许这只是巧合吧.
这时，其他小组也讨论起来了，都觉得很神奇！又一个小组讨论后有了想法：
梁同学（代表）：我们组这样想，等差数列看成一根由细到粗均匀变化的木头，而表示为取木头的重心位置，现在Sn-S3-an-an-1-an-2表示把木头的最细端和最粗端同时剪去长度相等的一段，那表示剪断之后的重心，两者重心应该不变，即得到等式=.
其他小组听了他的解释后，有些同学懵了，有些同学则会心一笑. 这样来理解数学，太通俗，太不可思议了. 我经常举生活中的实例来帮助同学们理解一些数学概念、数学公式以及数学等式，但对于用粗细均匀变化的木头来理解等差数列，笔者从未想过. 但本题中这种理解方式，也算科学. 我又提醒同学们，还可以用平均数的方式来理解. 这时又一组同学抢着站起来说了： 武同学（代表）：我们组这样理解，n个数组成等差数列，理解为求这n个数的平均数，而Sn-S3-an-an-1-an-2看成剔除最高分的三个数和最低分的三个数，表示剔除这六个数之后的平均数，这样平均数应该不变. 从而有=.
程同学：我们组这样想，{an}是等差数列，从而Sn=×n，所以=，而Sn-S3-an-an-1-an-2看成原数列中的一段和，即数列a4，a5，……，an-4，an-3，这还是一个等差数列，而它的和是Sn-S3-an-an-1-an-2=Sn=×（n-6），所以可得=，根据等差数列的性质有a1 an=a4 an-3，从而有=.
这些想法都是正确的，都是同学们小组能讨论得到的，虽然花了很多时间，但笔者相信同学们对等差数列有了更深刻的理解，对等差数列的前n项和、性质等都有了进一步的了解，而且这样的讨论，学生收获的东西远胜于教师一个人反复强调以及学生反复的死记硬背.
[?] 高效课堂教改的理论基础及收获总结
学习金字塔（如图2）是美国缅因州的国家训练实验室的研究成果，它用数字形式形象显示了：采用不同的学习方式，学习者在两周以后还能记住内容（平均学习保持率）的多少.
根据这个金字塔所呈现的，从第一项至第四项的学习方式也都是被动式的，学生的参与度非常低，所以学习的保存率都无法超过30%. 而小组讨论，实际演练，让学生教别人，或是让学生有机会当同学的小老师，效果都能超过50%. 因为在小组讨论环节中，部分学生以教师的身份对其他人进行讲解，不仅要对内容相当熟悉，同时也要透过语言的呈现来进行沟通，所以学生在讨论中，必须将自己的解题思维、学习内容转化为让其他人能懂的表达方式，在这同时，也提升了学生潜在智能的发展.
让学生成为课堂的主人，通过这样的教改，我们的课堂相对传统课堂能提升学生的哪些能力呢？
（1）自学能力. 我们编制的导学案，以问题导学的形式，教学生如何自己预习课本，学习课本的一些基础知识.
（2）口语表达能力. 学生们上台点评，讲解自己的方法，需要将自己的想法以语言为载体告诉别人，这对一个高中生来说是难能可贵的.
（3）增强自信心. 上述的几个学生，在经历这样的表现的机会后，他们在数学的学习上很自信，乐于提出自己的想法.