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关键字：化曲为直展开折叠卷筒缠绕
摘要：“化曲为直”思想是图形转化的一种重要思想，用展开、折叠、包卷及解析几何中的线段的量比关系、曲线定义进行转化是实现“化曲为直”的重要手段，此类问题有效地培养了学生的想象能力、信息迁移能力，我们要善于联想归纳，透过繁杂的表象探究其本质规律。
初中数学中常见问题：一条笔直公路的同一侧有两棵树，在公路上找一点，使该点到两棵树的距离之和最小。解决此问题，需要在公路的另一侧找某棵树的对称点，再与另一棵树连接，连线与公路的交点就是所求点。题中用到了“两点间直线段最短”的原则，巧妙应用“化曲为直”来解决问题。高中数学中也可通过折叠展开、缠绕展开及圆锥曲线定义等方法，达到“化曲为直”的效果，巧妙解决问题，下面例举了几种情况供参考。
一、折叠展开问题
在立体几何中，几何体表面上两点间的最短距离却是一条通过几个面的折线。折线和棱的交点在哪里，很难确定，直接在几何体上找，则走入了死胡同，问题无法解决。借助“化曲为直”思想，可以将侧面展开，使折线段变为直线段，再求最短距离。
例1、 正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为2，M是AA1中点，N是BC中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少？
分析：此问题的折线可以分如下两类，可分别计算、比较，得最短距离。
（1） 经过侧面AA1BB1和BB1CC1到达点N
（2） 经过侧面AA1BB1和底面ABC到达点N
略解：
（1） 如上图，将三个侧面展开，AM=1，AN=3， 。
（2） 如下图，将侧面展开，翻转到底面，AM=1，AN= ，∠MAN=120°，
比较（1）、（2）两种情况，最短距离为 。
二、卷筒缠绕问题
卷筒问题的展开，需要学生具备较强的空间想象能力、抽象思维能力，能够清晰地理解在包卷和展开过程中直线段和曲线段间的转换和对应关系。
例2、 一根横截面周长为4米，长为8米的圆柱形钢管外面包一层 米宽的矩形钢板，至少要多少米钢板？（包在外面的钢板需完整，不可截断）
分析：包在钢管外面的钢板展开后应该是一个完整的平行四边形。ΔOAB是是钢板中无用的零头部分，将点A贴紧钢管边沿开始倾斜方向缠绕，钢板上的AB长为钢管周长，AC和BD吻合，CE和DF吻合，因为AB和钢管垂直，BC⊥AB，缠绕一圈后，钢管上实际纏绕过的长度是BC。
略解：如图，□ABNM就是包在圆柱形钢管外面的一整块钢板，因为RTΔABO∽RTΔACB，AB=4，OA=2.4，则OB=3.2，BC=3，AC=5。钢管的长为8米，则MG=2，FN=EM= ，所以所需要钢板的长度为：OB BD DF FN= 。需要矩形钢板 米。
三、曲线定义代换问题
例3、 点P是抛物线y2=4x上一动点，求点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离和的最小值。
略解：点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离和就是|PA| |PB|,无论点P在哪个位置，APB总是折线。借助抛物线定义进行等量代换，|PA| |PB|=|PA| |PF|（F为抛物线焦点）当A、P、F三点共线时，折线段变为直线段，距离和取得最小值 。
例4、 已知椭圆 及点A（2，1），点F是椭圆左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA| 5|PF|取最小值时，求点P的坐标。
略解：椭圆离心率 ，根据椭圆第二定义： ，则 ，3|PA| 5|PF|=3（|PA| |PF|）= 3（|PA| |PF|）= 3（|PA| |PB|）
当B、P、A三点共线时，折线段变为直线段，3|PA| 5|PF|取最小值。此时点P的坐标为 。
“化曲为直”思想是图形转化的一种重要思想，用展开、折叠、包卷及解析几何中的线段的量比关系、曲线定义进行转化是实现“化曲为直”的重要手段，此类问题有效地培养了学生的想象能力、信息迁移能力，我们要善于联想归纳，透过繁杂的表象探究其本质规律，在展折、化归、代换中许多问题就迎刃而解了。
参考文献
[1]王尚志主编 《高中数学知识应用问题》
[2]新课标2012年高考总复习单元（专题）滚动试卷
摘要：“化曲为直”思想是图形转化的一种重要思想，用展开、折叠、包卷及解析几何中的线段的量比关系、曲线定义进行转化是实现“化曲为直”的重要手段，此类问题有效地培养了学生的想象能力、信息迁移能力，我们要善于联想归纳，透过繁杂的表象探究其本质规律。
初中数学中常见问题：一条笔直公路的同一侧有两棵树，在公路上找一点，使该点到两棵树的距离之和最小。解决此问题，需要在公路的另一侧找某棵树的对称点，再与另一棵树连接，连线与公路的交点就是所求点。题中用到了“两点间直线段最短”的原则，巧妙应用“化曲为直”来解决问题。高中数学中也可通过折叠展开、缠绕展开及圆锥曲线定义等方法，达到“化曲为直”的效果，巧妙解决问题，下面例举了几种情况供参考。
一、折叠展开问题
在立体几何中，几何体表面上两点间的最短距离却是一条通过几个面的折线。折线和棱的交点在哪里，很难确定，直接在几何体上找，则走入了死胡同，问题无法解决。借助“化曲为直”思想，可以将侧面展开，使折线段变为直线段，再求最短距离。
例1、 正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长均为2，M是AA1中点，N是BC中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少？
分析：此问题的折线可以分如下两类，可分别计算、比较，得最短距离。
（1） 经过侧面AA1BB1和BB1CC1到达点N
（2） 经过侧面AA1BB1和底面ABC到达点N
略解：
（1） 如上图，将三个侧面展开，AM=1，AN=3， 。
（2） 如下图，将侧面展开，翻转到底面，AM=1，AN= ，∠MAN=120°，
比较（1）、（2）两种情况，最短距离为 。
二、卷筒缠绕问题
卷筒问题的展开，需要学生具备较强的空间想象能力、抽象思维能力，能够清晰地理解在包卷和展开过程中直线段和曲线段间的转换和对应关系。
例2、 一根横截面周长为4米，长为8米的圆柱形钢管外面包一层 米宽的矩形钢板，至少要多少米钢板？（包在外面的钢板需完整，不可截断）
分析：包在钢管外面的钢板展开后应该是一个完整的平行四边形。ΔOAB是是钢板中无用的零头部分，将点A贴紧钢管边沿开始倾斜方向缠绕，钢板上的AB长为钢管周长，AC和BD吻合，CE和DF吻合，因为AB和钢管垂直，BC⊥AB，缠绕一圈后，钢管上实际纏绕过的长度是BC。
略解：如图，□ABNM就是包在圆柱形钢管外面的一整块钢板，因为RTΔABO∽RTΔACB，AB=4，OA=2.4，则OB=3.2，BC=3，AC=5。钢管的长为8米，则MG=2，FN=EM= ，所以所需要钢板的长度为：OB BD DF FN= 。需要矩形钢板 米。
三、曲线定义代换问题
例3、 点P是抛物线y2=4x上一动点，求点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离和的最小值。
略解：点P到点A(0,-1)的距离与点P到直线x=-1的距离和就是|PA| |PB|,无论点P在哪个位置，APB总是折线。借助抛物线定义进行等量代换，|PA| |PB|=|PA| |PF|（F为抛物线焦点）当A、P、F三点共线时，折线段变为直线段，距离和取得最小值 。
例4、 已知椭圆 及点A（2，1），点F是椭圆左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA| 5|PF|取最小值时，求点P的坐标。
略解：椭圆离心率 ，根据椭圆第二定义： ，则 ，3|PA| 5|PF|=3（|PA| |PF|）= 3（|PA| |PF|）= 3（|PA| |PB|）
当B、P、A三点共线时，折线段变为直线段，3|PA| 5|PF|取最小值。此时点P的坐标为 。
“化曲为直”思想是图形转化的一种重要思想，用展开、折叠、包卷及解析几何中的线段的量比关系、曲线定义进行转化是实现“化曲为直”的重要手段，此类问题有效地培养了学生的想象能力、信息迁移能力，我们要善于联想归纳，透过繁杂的表象探究其本质规律，在展折、化归、代换中许多问题就迎刃而解了。
参考文献
[1]王尚志主编 《高中数学知识应用问题》
[2]新课标2012年高考总复习单元（专题）滚动试卷