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【摘要】构造测量矩阵是压缩感知技术中关键的研究方向之一， 在实现压缩的过程中需要构建一个满足RIP法则的特殊矩阵来保证较高的重构精度。在这篇文章中，我们通过一个简单的方式利用混沌序列构造测量矩阵，并证明在大多数情况下这种矩阵满足RIP法则。之后利用奇异值分解对其进行优化，在基于压缩感知的OFDM系统信道估计中应用这种观测矩阵，与基于最小二乘法的信道估计方法进行比较，通过实验仿真说明基于压缩感知的信道估计算法和利用混沌序列构造测量矩阵的优势。
【关键词】 压缩感知 测量矩阵 SVD分解 OFDM
一、引言
OFDM技术是无线通信技术中一项非常重要而且有前景的技术。OFDM 技术不但能够很好地降低系统的误码率，提高系统的频谱利用率，而且还具有降低接收机均衡复杂度等很多优点。信道估计技术非常重要，因为它的结果在很大程度上决定了OFDM系统性能的好坏。
在传统的信号采集过程中，为了避免码间干扰和信号失真，一般都会遵守Nyquist 采样定理（香农采样定理），它需要以不低于信号带宽的2倍[1]的采样率对信号进行采样。这在很多情况下对信号处理的能力和相应的硬件设备来说都是是个较高的要求。2006年，由 D. Donoho与E.Candès 等人提出了一种全新的信号获取和处理理论，称之为压缩感知（Compressive Sensing）[2-5]理论，它充分利用了信号的稀疏性。如果给定的信号在某种正交基或者冗余字典的表示下是稀疏或者是近似稀疏的，那么通过测量矩阵进行随机投影得到的观测结果会比原始信号长度小得多，而且其中包含了原始信号的大部分信息。在压缩感知技术中，决定信号的采样速率的是信息的内容和结构而不像一般方法要决定于信号的带宽[6]。
在压缩感知理论中，有三个关键技术[7]：一是信号稀疏变换；二是构造测量矩阵；三是构造重构算法。其中测量矩阵的设计非常关键，因为它将直接影响信号重构的误差大小。可以把测量矩阵大致分为两种，一种为随机性测量矩阵另一种为确定性的测量矩阵。
二、基于压缩感知的ofdm信道估计模型
压缩感知理论集信号的采样和数据压缩过程同时进行，在知道信号的稀疏性或者可压缩性这一先验知识情况下，利用信号在变换域的稀疏性，对信号进行测量编码，而且在这个过程中采样速率远低于奈奎斯特采样速率。通过测量矩阵获得测量值的方法是把原始信号从高维空间投影到低维空间，虽然这样得到的测量值并不是原始信号的本身，但是大部分原始信号的有用信息都包含在了这些少量的测量值中，所以对于原始信号来说，可以用这些比较少的测量值来表示。在解码端，为了提高信号重构或者近似重构的精度，可以利用信号的稀疏性并且使用非线性优化重构方法，和传统奈奎斯特采样方法所需的采样数目相对比来说，压缩感知在重构过程中所需的测量值数目要少很多。
一个大小为M×N的测量矩阵对一个长度为W的时间离散信号x进行线性投影，得到的测量值y长度为M（M<
五、实验仿真
本文，基于Matlab R2014a平台进行仿真，通过对比基于压缩感知的信道估计技术和基于最小二乘法信道估计技术，证明压缩感知技术在OFDM系统信道估计中的有效性和优势。
实验1
在稀疏度K=6情况下，取信号长度N=1024，对比CS信道估计和LS信道估计的性能。（图1，2）
表1 不同SNR下情况下，CS信道估计和LS信道估计性能对比
由图1、图2和表1可知，在信号长度一样时，在SNR=15dB之前，虽然LS信道估计的在SER和MSE方面相比于CS信道估计有着些许优势，但是在SNR=15dB之后，CS信道估计技术的仿真结果中误码率和均方误差开始低于LS信道估计方法，而且随着信噪比增大，优势越来越明显。
实验2
在稀疏度K=6情况下，取信号长度N=256。对比CS信道估计在高斯测量矩阵及混沌序列测量矩阵和LS信道估计这三种情况下的性能。（图3，4）
表2 不同SNR下情况下，基于两种不同测量矩阵的CS信道估计和LS信道估计MSE对比
由图3、图4和表2可知，基于混沌序列观测矩阵比高斯观测矩阵性能稍好，但是比LS信道估计性能好很多。虽然如图5的SER对比图，混沌序列观测矩阵对比高斯观测矩阵优势不明显，在SNR为10到15dB时甚至几乎效果相同，但是总体是优于高斯观测矩阵的，观察6的MSE对比图就可以看出混沌序列观测矩阵的明显优势，在相同MSE情况下，比高斯观测矩阵要有5～15dB的优势。
实验3
在信号长度N=128情况下，对Logistic测量矩阵进行奇异值分解优化，得到仿真结果如下图5所示。观察图5可知，经奇异值分解优化的Logistic观测矩阵在MSE方面相对于普通的高斯矩阵有着十分明显的优势，与Logistic观测矩阵对比来说最好时也有6dB左右的优势。
通过前面的实验仿真可以看出基于压缩感知的OFDM信道估计可以明显降低信道估计的误码率和重构误差。而基于混沌序列构造观测矩阵以及改进的混沌序列观测矩阵又可以在这个基础上更加提升系统的性能。
六、结论
OFDM技术在现在已经有了广泛的应用，而突破传统奈奎斯特采样定理限制的压缩感知技术做为一种信号处理工具，可以用少量观测信号重构原始信号。本文将压缩感知技术应用到OFDM信道估计中，并且在压缩感知技术利用Logistic映射产生的序列构造了观测矩阵之后利用奇异值分解对其进行优化。通过实验仿真与传统的LS信道估计技术，以及高斯观测矩阵进行性能对比，结果表明，压缩感知信道估计的性能优于LS信道估计技术，基于混沌序列的观测矩阵优于传统高斯观测矩阵，奇异值分解优化之后的优势更加明显。
参 考 文 献
[1]樊昌信，张甫翊，徐炳祥等.通信原理[M].北京：国防工业出版社， 2001.
[2]Donoho D. L.. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（4）： 1289～1306.
[3]Candès E.. Compressive sampling[C].International Congress of Mathematicians，2006，3： 1433～1452.
[4]Candès E.， Romberg J.，Tao T.. Robust uncertainty principles： exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（2）： 489～509.
[5]Baraniuk R.. Compressive sensing[J]. IEEE Signal Processing Magazine， 2007， 24（4）： 118～121.
[6]石光明，刘丹华，高大化等.压缩感知理论及其研究发展[J].电子学报， 2009， 37（5）： 1070～1081.
[7]石光明，刘丹华.压缩感知理论及研究进展[J].电子学报，2009，37（5）：1070-1081.
[8]陈一统.OFDM系统中基于压缩感知的稀疏信道估计：[硕士学位论文].兰州.兰州大学，2011.
【关键词】 压缩感知 测量矩阵 SVD分解 OFDM
一、引言
OFDM技术是无线通信技术中一项非常重要而且有前景的技术。OFDM 技术不但能够很好地降低系统的误码率，提高系统的频谱利用率，而且还具有降低接收机均衡复杂度等很多优点。信道估计技术非常重要，因为它的结果在很大程度上决定了OFDM系统性能的好坏。
在传统的信号采集过程中，为了避免码间干扰和信号失真，一般都会遵守Nyquist 采样定理（香农采样定理），它需要以不低于信号带宽的2倍[1]的采样率对信号进行采样。这在很多情况下对信号处理的能力和相应的硬件设备来说都是是个较高的要求。2006年，由 D. Donoho与E.Candès 等人提出了一种全新的信号获取和处理理论，称之为压缩感知（Compressive Sensing）[2-5]理论，它充分利用了信号的稀疏性。如果给定的信号在某种正交基或者冗余字典的表示下是稀疏或者是近似稀疏的，那么通过测量矩阵进行随机投影得到的观测结果会比原始信号长度小得多，而且其中包含了原始信号的大部分信息。在压缩感知技术中，决定信号的采样速率的是信息的内容和结构而不像一般方法要决定于信号的带宽[6]。
在压缩感知理论中，有三个关键技术[7]：一是信号稀疏变换；二是构造测量矩阵；三是构造重构算法。其中测量矩阵的设计非常关键，因为它将直接影响信号重构的误差大小。可以把测量矩阵大致分为两种，一种为随机性测量矩阵另一种为确定性的测量矩阵。
二、基于压缩感知的ofdm信道估计模型
压缩感知理论集信号的采样和数据压缩过程同时进行，在知道信号的稀疏性或者可压缩性这一先验知识情况下，利用信号在变换域的稀疏性，对信号进行测量编码，而且在这个过程中采样速率远低于奈奎斯特采样速率。通过测量矩阵获得测量值的方法是把原始信号从高维空间投影到低维空间，虽然这样得到的测量值并不是原始信号的本身，但是大部分原始信号的有用信息都包含在了这些少量的测量值中，所以对于原始信号来说，可以用这些比较少的测量值来表示。在解码端，为了提高信号重构或者近似重构的精度，可以利用信号的稀疏性并且使用非线性优化重构方法，和传统奈奎斯特采样方法所需的采样数目相对比来说，压缩感知在重构过程中所需的测量值数目要少很多。
一个大小为M×N的测量矩阵对一个长度为W的时间离散信号x进行线性投影，得到的测量值y长度为M（M<
五、实验仿真
本文，基于Matlab R2014a平台进行仿真，通过对比基于压缩感知的信道估计技术和基于最小二乘法信道估计技术，证明压缩感知技术在OFDM系统信道估计中的有效性和优势。
实验1
在稀疏度K=6情况下，取信号长度N=1024，对比CS信道估计和LS信道估计的性能。（图1，2）
表1 不同SNR下情况下，CS信道估计和LS信道估计性能对比
由图1、图2和表1可知，在信号长度一样时，在SNR=15dB之前，虽然LS信道估计的在SER和MSE方面相比于CS信道估计有着些许优势，但是在SNR=15dB之后，CS信道估计技术的仿真结果中误码率和均方误差开始低于LS信道估计方法，而且随着信噪比增大，优势越来越明显。
实验2
在稀疏度K=6情况下，取信号长度N=256。对比CS信道估计在高斯测量矩阵及混沌序列测量矩阵和LS信道估计这三种情况下的性能。（图3，4）
表2 不同SNR下情况下，基于两种不同测量矩阵的CS信道估计和LS信道估计MSE对比
由图3、图4和表2可知，基于混沌序列观测矩阵比高斯观测矩阵性能稍好，但是比LS信道估计性能好很多。虽然如图5的SER对比图，混沌序列观测矩阵对比高斯观测矩阵优势不明显，在SNR为10到15dB时甚至几乎效果相同，但是总体是优于高斯观测矩阵的，观察6的MSE对比图就可以看出混沌序列观测矩阵的明显优势，在相同MSE情况下，比高斯观测矩阵要有5～15dB的优势。
实验3
在信号长度N=128情况下，对Logistic测量矩阵进行奇异值分解优化，得到仿真结果如下图5所示。观察图5可知，经奇异值分解优化的Logistic观测矩阵在MSE方面相对于普通的高斯矩阵有着十分明显的优势，与Logistic观测矩阵对比来说最好时也有6dB左右的优势。
通过前面的实验仿真可以看出基于压缩感知的OFDM信道估计可以明显降低信道估计的误码率和重构误差。而基于混沌序列构造观测矩阵以及改进的混沌序列观测矩阵又可以在这个基础上更加提升系统的性能。
六、结论
OFDM技术在现在已经有了广泛的应用，而突破传统奈奎斯特采样定理限制的压缩感知技术做为一种信号处理工具，可以用少量观测信号重构原始信号。本文将压缩感知技术应用到OFDM信道估计中，并且在压缩感知技术利用Logistic映射产生的序列构造了观测矩阵之后利用奇异值分解对其进行优化。通过实验仿真与传统的LS信道估计技术，以及高斯观测矩阵进行性能对比，结果表明，压缩感知信道估计的性能优于LS信道估计技术，基于混沌序列的观测矩阵优于传统高斯观测矩阵，奇异值分解优化之后的优势更加明显。
参 考 文 献
[1]樊昌信，张甫翊，徐炳祥等.通信原理[M].北京：国防工业出版社， 2001.
[2]Donoho D. L.. Compressed sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（4）： 1289～1306.
[3]Candès E.. Compressive sampling[C].International Congress of Mathematicians，2006，3： 1433～1452.
[4]Candès E.， Romberg J.，Tao T.. Robust uncertainty principles： exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（2）： 489～509.
[5]Baraniuk R.. Compressive sensing[J]. IEEE Signal Processing Magazine， 2007， 24（4）： 118～121.
[6]石光明，刘丹华，高大化等.压缩感知理论及其研究发展[J].电子学报， 2009， 37（5）： 1070～1081.
[7]石光明，刘丹华.压缩感知理论及研究进展[J].电子学报，2009，37（5）：1070-1081.
[8]陈一统.OFDM系统中基于压缩感知的稀疏信道估计：[硕士学位论文].兰州.兰州大学，2011.