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《猜想、证明与拓广》是北师大版初中数学九年级（上）课题学习的内容。教材以两个具体的几何议题（“倍增”和“减半”图形存在性问题），创设了问题情景，让学生从熟悉的简单情形出发，引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理数学问题的策略和方法。本案例涉及第一课时——倍增问题。在此之前，学生已学习了方程、函数、证明等，为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在乎回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台。在活动中体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验，所以探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径是本节课的重点。而启发学生综合运用方程、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法是本节课的难点。
在本节课开始，我引用科学家牛顿的“没有大胆的猜想,就不可能有伟大的发现和发明”作为本节课的开场白，既暗示了猜想在生活中的重要意义，又突现了本节课的主题思想，激发起学生的求知欲望。出示正方形图片引出问题，让学生将生活问题转化为数学问题来解决，引导学生围绕正方形的倍增问题层层递进，循序渐进地展开，让学生在轻松过关的同时感受猜想的乐趣，为下一个环节埋下伏笔。
运用类比的思想，紧接着给学生提出新问题：能不能将一幅矩形图片的周长和面积同时变为原来的二倍？你能将它转化为一个数学问题吗？学生很容易由第一环节的结论中提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是否是已知矩形周长和面积的2倍?问题由学生提出，让学生自己去寻找解决的办法。这个环节中，我将引导学生思考解决问题的方法和途径，这也是本节课的难点所在。
由于矩形的形状太多了，学生的想法有很多种。有的学生可能一开始就选择特殊的例子，也有的学生可能一上来就用字母表示长和宽，甚至马上会出现结论：即设已知矩形的长为a，宽为b，根据未知矩形的周长等于已知矩形的二倍，得到未知矩形的长和宽分别是2a和2b，由此学生会得出2a×2b≠2ab，故而矩形不存在的结论。老师应及时纠正学生思维上的误区：2（a+b）=2a+2b并不一定表示是长和宽分别是2a与2b，也可能是a与a＋2b，也可能是a－b与a+3b等，也就是周长扩大2倍并不表示边长也扩大2倍。对学生预想的方案要及时给予肯定，因为学生在此阶段建模思想还未形成，只是在寻找解决问题的方案，所以老师可以先帮助学生从一些简单的、特殊的情形入手，发现规律后再讨论一般情形。
结合以上所学，我提出问题：已知矩形的长和宽分别是2和1是结论会怎样？在引导学生寻求解决问题的途径时，建模思想尤为重要。如何引导学生建立数学模型、将形的问题转化为数的问题是这节课最难突破的地方。我准备从这几个方面突破难点：1、在方法上运用表格来帮助学生分析问题，将未知量转化为未知数；2、在思想上运用控制变量法来引入未知数，引导学生固定周长表示面积，建立等量关系或者固定面积表示周长建立等量关系，列出方程构造数学模型；3、在情感教育上多激励、启发、诱导。
在数学模型建立起来的基础上进一步启发学生进行发散思维，学生很容易发现利用方程组或函数的方法也是解决这个问题的途径。
在探寻出解决问题的方法后，为了能让学生得到一般性的结论，及时巩固上一环节所找到各种解决问题的方法，给学生充分的自由和自主的空间，我提出问题：若已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，n和1，……是否有相同的结论？让学生根据自己的学习情况任选一个议题进行探索，并在小组内交流。在此环节，我将引导学生更多关注结论的存在性，而不是方程的解答结果。有的学生如果利用根的判别式得出有解的结论，就可以给予肯定。
紧接着老师给出更具有挑战性的问题：当矩形的长和宽分别是m和n时，结论会怎样呢？学生在经历了简单的、特殊的探究后，对这一个问题的解决早己是跃跃欲试了。当然，有些学生可能对于含有字母的一元二次方程的解的判断有一定的困难，我将和学生一起解答渡过难关。
为了帮助学生更准确地把握本节课的知识目标，我引导学生通过上述的探究归纳总结得出：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，其周长和面积都为已知矩形周长和面积的2倍。 为了让学生体会本节课的设计意图，感悟处理问题的策略和方法，让学生从思想方法上进行总结，通过回顾数学知识的发生历程，进一步的体会证明的必要性。
课题学习在我们生活中。通过对本课题的学习，引发学生更深入的思考，让学生举一反三，将课内知识延伸到课外，增强学生的问题意识和自主探索意识，深化学习目标。
在教学过程中我尤其注重以下三点：一是通过一系列问题情境的设置，让学生不断思维，逐渐形成探究问题的基本模式；二是更加注重学生思维的形成过程；三是由易入难、由特殊到一般的教学模式让学生轻松参与，在充满快乐与充实的学习氛围中不知不觉地攻克难关，解决问题。
我相信,学生经过这节课的学习,对“数学源于生活”的观点将会有更深刻的了解,对数学建模思想的重要性也会有进一步的认识，对综合应用知识的能力有一定的提高。
本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在乎回答一些具体问题，而是提供一个思考、探究的平台。在活动中体现归纳、综合和拓展，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验，所以探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径是本节课的重点。而启发学生综合运用方程、函数等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法是本节课的难点。
在本节课开始，我引用科学家牛顿的“没有大胆的猜想,就不可能有伟大的发现和发明”作为本节课的开场白，既暗示了猜想在生活中的重要意义，又突现了本节课的主题思想，激发起学生的求知欲望。出示正方形图片引出问题，让学生将生活问题转化为数学问题来解决，引导学生围绕正方形的倍增问题层层递进，循序渐进地展开，让学生在轻松过关的同时感受猜想的乐趣，为下一个环节埋下伏笔。
运用类比的思想，紧接着给学生提出新问题：能不能将一幅矩形图片的周长和面积同时变为原来的二倍？你能将它转化为一个数学问题吗？学生很容易由第一环节的结论中提出：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积是否是已知矩形周长和面积的2倍?问题由学生提出，让学生自己去寻找解决的办法。这个环节中，我将引导学生思考解决问题的方法和途径，这也是本节课的难点所在。
由于矩形的形状太多了，学生的想法有很多种。有的学生可能一开始就选择特殊的例子，也有的学生可能一上来就用字母表示长和宽，甚至马上会出现结论：即设已知矩形的长为a，宽为b，根据未知矩形的周长等于已知矩形的二倍，得到未知矩形的长和宽分别是2a和2b，由此学生会得出2a×2b≠2ab，故而矩形不存在的结论。老师应及时纠正学生思维上的误区：2（a+b）=2a+2b并不一定表示是长和宽分别是2a与2b，也可能是a与a＋2b，也可能是a－b与a+3b等，也就是周长扩大2倍并不表示边长也扩大2倍。对学生预想的方案要及时给予肯定，因为学生在此阶段建模思想还未形成，只是在寻找解决问题的方案，所以老师可以先帮助学生从一些简单的、特殊的情形入手，发现规律后再讨论一般情形。
结合以上所学，我提出问题：已知矩形的长和宽分别是2和1是结论会怎样？在引导学生寻求解决问题的途径时，建模思想尤为重要。如何引导学生建立数学模型、将形的问题转化为数的问题是这节课最难突破的地方。我准备从这几个方面突破难点：1、在方法上运用表格来帮助学生分析问题，将未知量转化为未知数；2、在思想上运用控制变量法来引入未知数，引导学生固定周长表示面积，建立等量关系或者固定面积表示周长建立等量关系，列出方程构造数学模型；3、在情感教育上多激励、启发、诱导。
在数学模型建立起来的基础上进一步启发学生进行发散思维，学生很容易发现利用方程组或函数的方法也是解决这个问题的途径。
在探寻出解决问题的方法后，为了能让学生得到一般性的结论，及时巩固上一环节所找到各种解决问题的方法，给学生充分的自由和自主的空间，我提出问题：若已知矩形的长和宽分别为3和1，4和1，n和1，……是否有相同的结论？让学生根据自己的学习情况任选一个议题进行探索，并在小组内交流。在此环节，我将引导学生更多关注结论的存在性，而不是方程的解答结果。有的学生如果利用根的判别式得出有解的结论，就可以给予肯定。
紧接着老师给出更具有挑战性的问题：当矩形的长和宽分别是m和n时，结论会怎样呢？学生在经历了简单的、特殊的探究后，对这一个问题的解决早己是跃跃欲试了。当然，有些学生可能对于含有字母的一元二次方程的解的判断有一定的困难，我将和学生一起解答渡过难关。
为了帮助学生更准确地把握本节课的知识目标，我引导学生通过上述的探究归纳总结得出：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，其周长和面积都为已知矩形周长和面积的2倍。 为了让学生体会本节课的设计意图，感悟处理问题的策略和方法，让学生从思想方法上进行总结，通过回顾数学知识的发生历程，进一步的体会证明的必要性。
课题学习在我们生活中。通过对本课题的学习，引发学生更深入的思考，让学生举一反三，将课内知识延伸到课外，增强学生的问题意识和自主探索意识，深化学习目标。
在教学过程中我尤其注重以下三点：一是通过一系列问题情境的设置，让学生不断思维，逐渐形成探究问题的基本模式；二是更加注重学生思维的形成过程；三是由易入难、由特殊到一般的教学模式让学生轻松参与，在充满快乐与充实的学习氛围中不知不觉地攻克难关，解决问题。
我相信,学生经过这节课的学习,对“数学源于生活”的观点将会有更深刻的了解,对数学建模思想的重要性也会有进一步的认识，对综合应用知识的能力有一定的提高。