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【摘 要】在讨论数学问题时,特殊化可以看成是一种实验手段,对解题具有指导作用,特殊化是一种以退求进,先退后进的思维方法,它有三个基本作用:提示解题方向、寻求解题途径、直接解决问题。
【关键词】特殊值 解题
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0150-02
著名数学家希尔伯特曾说:“在讨论数学问题时,特殊化比一般化起着更为重要的作用。”确实,对于有关一般情形的问题,通过分析其特例,往往可以找到问题的突破口,达到事半功倍的效果,笔者认为各种特例是在掌握“三基”和丰富的数学经验基础上进行的。
一、“特殊值”在解题中的作用
例1,在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( )。
A.12B.10C.8D.2+log35
解析:注意到非零常列是等比数列,可令a=a(a>0,n∈N),已知等式a2=9,∴a=3。
log3a1+log3a2+…+log3a10=10,故选B。
例2,过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F做一直线交抛物线
于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则 等于
( )。[1]
A.2aB. C.4aD.
解析:化抛物线方程为标准形式,得x2= y,可知抛物线
的焦准距d= ,取直线PQ与抛物线的准线平行的特殊情形,
有p=q=d。
∴ =4a,故选C。
例3,已知a>b>0,a+b=1,则a、b、 、a2+b2、2ab
的大小顺序为。
解析:∵a>b>0,a+b=1,只须取a= ,b= (或a=
,b= ),代入则得:a>a2+b2> >2ab>b。
二、用于验证(用特殊值验证)
例4,函数f(x)=lg[x2+(a+3)x+ ]的值域是R,
求实数a的取值范围。
解:使f(x)∈R,则只须g(x)=x2+(a+3)x+ >0
对任意x∈R恒成立。
∴△=(a+3)2-9<0,即-6 取特殊值a=-5,验证:
f(x)=lg[(x2-2x+ )]=lg[(x-1)2+ ]≥lg >0
三、用于反驳
例5,一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,则此两个二面角相等或互补。
解析:此命题不正确。见圖1,二面角α1-a-β1是直二面角,二面角α-b-β中,b⊥β1,a⊥α1,则β⊥β1,但无论β在什么位置均为β⊥β1,即α-b-β的大小不能确定。
图1
例6,判断命题“两个连续自然数的平方和不能表示为一个自然数的平方”是否正确。
解析:此命题不正确,如32+42=52。
四、忽视“特殊”所犯的错误
例7,过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交于两点,且两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)。求证:y1y2=-p2。
证明:设直线方程为:y=k(x- )(k≠0),即x= y+ ,
代入y2=2px,即ky2-2py-kp2=0,设此方程的两根为y1、y2,
则有y1y2=- =-p2。
这一证明过程中忽视了直线与y轴平行,斜率不存在的特殊情况,应加以说明。
例8,问sinθ为何值时,方程3sinθx2-4cosθ+2=0有实根。
解:∵△=(4cosθ)2-24sinθ=-8(2sin2θ+3sinθ-2)
∴△≥0
即2sin2θ+3sinθ-2≤0。
解方程,得:-2≤sinθ≤ 。
剖析:此解题过程中忽视了两个特殊性:①原方程为一元二次方程时,才能用△判断,解答忽视了sinθ=0的特殊情况;②y=sinθ的值域为[-1,1]。
五、利用“特殊值”解解答题的失误分析
例9,给定实数a、b、c,已知复数z1、z2、z3满足:
,求|az1+bz2+cz3|的值。[2]
解:易知1,1,i,满足已知条件,即z1=1,z2=1,z3=i
∴|az1+bz2+cz3|=|a+b+ci|=
分析:通过特殊复数1,1,i,可帮助我们寻求解决问题的方法,但特殊并不能代替一般。
例10,已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p。
解:∵c1=5,c2=13,c3=35,c4=97
∴数列{cn+1-pcn}的前三项依次为:13-5p,35-13p,97-35p。
由题意可知(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)
整理得,p2-5p+6=0,解得p=2或p=3。
分析:数列{cn+1-pcn}的前三项成等比数列,仅是数列{cn+1-pcn}成等比数列的必要条件,以上求解当作充要条件对待是错误的。其实,求出p值后,还需代入{cn+1-pcn}进行检验才算完成。
六、结 语
综上所见,“特殊值”解题既有利,又有弊,选取特例时应讲策略,利用得当在解题时会达到事半功倍的效果。
【关键词】特殊值 解题
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006-9682(2010)07-0150-02
著名数学家希尔伯特曾说:“在讨论数学问题时,特殊化比一般化起着更为重要的作用。”确实,对于有关一般情形的问题,通过分析其特例,往往可以找到问题的突破口,达到事半功倍的效果,笔者认为各种特例是在掌握“三基”和丰富的数学经验基础上进行的。
一、“特殊值”在解题中的作用
例1,在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10等于( )。
A.12B.10C.8D.2+log35
解析:注意到非零常列是等比数列,可令a=a(a>0,n∈N),已知等式a2=9,∴a=3。
log3a1+log3a2+…+log3a10=10,故选B。
例2,过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F做一直线交抛物线
于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则 等于
( )。[1]
A.2aB. C.4aD.
解析:化抛物线方程为标准形式,得x2= y,可知抛物线
的焦准距d= ,取直线PQ与抛物线的准线平行的特殊情形,
有p=q=d。
∴ =4a,故选C。
例3,已知a>b>0,a+b=1,则a、b、 、a2+b2、2ab
的大小顺序为。
解析:∵a>b>0,a+b=1,只须取a= ,b= (或a=
,b= ),代入则得:a>a2+b2> >2ab>b。
二、用于验证(用特殊值验证)
例4,函数f(x)=lg[x2+(a+3)x+ ]的值域是R,
求实数a的取值范围。
解:使f(x)∈R,则只须g(x)=x2+(a+3)x+ >0
对任意x∈R恒成立。
∴△=(a+3)2-9<0,即-6
f(x)=lg[(x2-2x+ )]=lg[(x-1)2+ ]≥lg >0
三、用于反驳
例5,一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面时,则此两个二面角相等或互补。
解析:此命题不正确。见圖1,二面角α1-a-β1是直二面角,二面角α-b-β中,b⊥β1,a⊥α1,则β⊥β1,但无论β在什么位置均为β⊥β1,即α-b-β的大小不能确定。
图1
例6,判断命题“两个连续自然数的平方和不能表示为一个自然数的平方”是否正确。
解析:此命题不正确,如32+42=52。
四、忽视“特殊”所犯的错误
例7,过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和抛物线相交于两点,且两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)。求证:y1y2=-p2。
证明:设直线方程为:y=k(x- )(k≠0),即x= y+ ,
代入y2=2px,即ky2-2py-kp2=0,设此方程的两根为y1、y2,
则有y1y2=- =-p2。
这一证明过程中忽视了直线与y轴平行,斜率不存在的特殊情况,应加以说明。
例8,问sinθ为何值时,方程3sinθx2-4cosθ+2=0有实根。
解:∵△=(4cosθ)2-24sinθ=-8(2sin2θ+3sinθ-2)
∴△≥0
即2sin2θ+3sinθ-2≤0。
解方程,得:-2≤sinθ≤ 。
剖析:此解题过程中忽视了两个特殊性:①原方程为一元二次方程时,才能用△判断,解答忽视了sinθ=0的特殊情况;②y=sinθ的值域为[-1,1]。
五、利用“特殊值”解解答题的失误分析
例9,给定实数a、b、c,已知复数z1、z2、z3满足:
,求|az1+bz2+cz3|的值。[2]
解:易知1,1,i,满足已知条件,即z1=1,z2=1,z3=i
∴|az1+bz2+cz3|=|a+b+ci|=
分析:通过特殊复数1,1,i,可帮助我们寻求解决问题的方法,但特殊并不能代替一般。
例10,已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p。
解:∵c1=5,c2=13,c3=35,c4=97
∴数列{cn+1-pcn}的前三项依次为:13-5p,35-13p,97-35p。
由题意可知(35-13p)2=(13-5p)(97-35p)
整理得,p2-5p+6=0,解得p=2或p=3。
分析:数列{cn+1-pcn}的前三项成等比数列,仅是数列{cn+1-pcn}成等比数列的必要条件,以上求解当作充要条件对待是错误的。其实,求出p值后,还需代入{cn+1-pcn}进行检验才算完成。
六、结 语
综上所见,“特殊值”解题既有利,又有弊,选取特例时应讲策略,利用得当在解题时会达到事半功倍的效果。