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摘 要：为将拓扑优化中的柔度最小化问题拓展到一般位移最小化问题，用有限元划分设计域，采用类桁架连续体材料模型，并假设杆件在设计域内连续分布.将杆件在节点位置的密度和方向作为设计变量，将指定位置和方向的位移作为目标函数，采用基于目标函数梯度的优化准则法，通过优化杆件的连续分布场形成拓扑优化的类桁架连续体.该方法可结合结构力学的基本概念，选择部分杆件形成拓扑优化刚架.
关键词：结构优化； 拓扑优化； 类桁架连续体； 最小位移； 有限元法
中图分类号：TU32 文献标志码：A
Topology design optimization on truss-like continuum with
minimum displacement
LI Baolong， ZHOU Kemin
（College of Civil Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, Fujian, China)
Abstract： To expand flexibility minimization problem in topology optimization to general displacement minimization problem, the design domain is meshed by finite elements and the truss-like continuum is used as the material model, and the rods are assumed to distribute continuously in design domain. The density and orientation of rod at node position are selected as design variables. The displacement along the specific direction is selected as the objective function. The continuum distribution field of members is optimized to form truss-like continuum by optimality criteria method based on the gradient of objective function. By the aid of structural mechanics conception, the parts of members are remained to form topology optimization frame.
Key words： structural optimization; topology optimization; truss-like continuum; minimum displacement; finite element method
0 引 言
近几十年来,结构拓扑优化研究取得前所未有的快速发展.离散结构拓扑优化以基结构方法为主,基于连续体结构的拓扑优化有均匀化方法［1］、进化结构优化方法［2］、水平集方法［3］及ICM方法［4］等.目前，各种基于连续体结构的拓扑优化方法主要采用优化单元的厚度等相关参数，通过单元的“有”和“无”表示结构的拓扑.这些方法普遍需采用罚函数的方法抑制中间密度，再利用周长控制等避免单元角接等数值计算不稳定问题［5-6］.实际上，理论分析表明拓扑优化结构一般为不均匀各向异性连续体.若直接用均匀各向同性等厚板表示不均匀各向异性连续体，必然会出现数值不稳定的问题.自由材料设计优化方法可从根本上解决该问题，但一般各向异性材料在工程上难以接受.［7-8］选择理论上完备、工程上可接受的方法具有重要意义.
本文采用类桁架连续体材料模型.假设杆件在设计域内连续分布，通过优化杆件的连续分布场得到拓扑优化结构.采用该方法研究过应力约束体积最小或体积约束柔度最小化问题［9-10］以及柔性机构的拓扑优化问题［11］.柔度最小化问题实际上指载荷做功最小，有非常简洁的表达式［5］，容易实现，成为拓扑优化的一个标准问题.柔性机构的目标函数一般指输出位移或输出功等的最大化.［11］本文将研究范围拓展到一般位移最小化问题.
1 力学模型的建立
1.1 类桁架材料的弹性矩阵
在剪力墙的整个设计域内连续布置类桁架连续体材料，材料的密度和方向在设计域内连续变化.该材料可模拟连续分布的杆系结构,通过优化材料的连续分布场实现结构的拓扑设计优化.［10］在类桁架连续体中，杆件为连续分布.
4 算 例
算例1是个标准的Michell桁架，见图2（a）.为便于检验算法的有效性，将目标函数的位移直接取为力的作用点和方向.这样，问题就成为典型的柔度约束问题.在单工况下，它和应力约束最小重量桁架一样.由于结果与单位无关，所有数据都没有给出单位.采用32×20个矩形单元，经过23次迭代，得图2（b）所示的杆件分布场.图中，线段的长度表示节点位置杆件的密度，线段的方向表示杆件的方向.将这些节点位置的线段按其方向连接起来，得图2（c）所示的近似刚架结构.由于计算误差的存在，该结果还不能直接作为结构.利用结构力学的概念，将过于接近的线段删除，将接近的端点合并，可转化为图2（d）所示结构.
(a)力学模型（b）类桁架连续体中杆件分布场(c)优化的类桁架连续体(d)建议的杆系结构图 2 Michell桁架算例
Fig.2 Michell truss example
算例2为一个下边固定、左边受均布力作用的悬臂结构，设计域3×4.2，力学模型及经过16次迭代后的优化结果见图3.其中，图3（d）中左侧的竖杆是为承担水平分布力而加上的.(a)力学模型（b）类桁架连续体中杆件分布场(c)优化的类桁架连续体(d)建议的杆系结构
图 3 悬臂结构
Fig.3 Cantilever Michell truss
5 结束语
本文采用类桁架材料模型研究在体积约束下位移最小的拓扑优化结构.由于在构造类桁架连续体过程中没有抑制中间密度，没有出现数值不稳定现象.算例1中典型Michell桁架的计算结果与解析解非常接近.
参考文献：
［1］ BENDSOE M P, KIKUCHI N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method［J］. Comput Methods Appl Mech & Eng, 1988, 71(2): 197-224.
［2］ XIE Y M, STEVEN G P. A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］. Computers & Structures, 1993, 49(5): 885- 896.
［3］ SETHIAN J A, WIEGMANN A. Structural boundary design via level set and immersed interface methods［J］. J Comput Phys, 2000, 163(2): 489-528.
［4］ SUI Yunkang, YANG Deqing. A new method for structural topological optimization based on the concept of independent continuous variables and smooth model［J］. Acta Mechanica Sinica, 1998, 14(2): 179-185.
［5］ ESCHENAUER H A, OLHOFF N. Topology optimization of continuum structures: a review［J］. Appl Mech Rev, 2001, 54(4): 331-390.
［6］ SIGMUND O, PETERSSON J. Numerical instabilities in topology optimization: a survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-dependencies and local minima［J］. Struct Optimization, 1998, 16(1): 68-75.
［7］ GUEDES J M, TAYLOR J E. On the prediction of material properties and topology for optimal continuum structures［J］. Struct Optimization, 1997, 14(2-3): 193-199.
［8］ HRNLEIN H R E M, KOCVARA M, WERNER R. Material optimization: bridging the gap between conceptual and preliminary design［J］. Aerospace Sci & Technol, 2001, 5(8): 541-554.
［9］ ZHOU Kemin, LI Xia. Topology optimization for minimum compliance under multiple loads based on continuous distribution of members［J］. Struct & Multidisciplinary Optimization, 2008, 37(1): 49-56.
［10］ ZHOU Kemin, LI Xia. Topology optimization of structures under multiple load cases using fiber-reinforced composite material model［J］. Comput Mech, 2005, 38(2): 163-170.
［11］ 赵丹, 周克民. 基于类桁架连续体的柔性机构拓扑优化设计［J］. 福州大学学报: 自然科学版, 2008, 36(4): 417-423.
ZHAO Dan, ZHOU Kemin. Compliant mechanism topological optimum design based on truss-like continuum［J］. J Fuzhou Univ: Nat Sci, 2008, 36(4): 417-423.
(编辑 于 杰)
关键词：结构优化； 拓扑优化； 类桁架连续体； 最小位移； 有限元法
中图分类号：TU32 文献标志码：A
Topology design optimization on truss-like continuum with
minimum displacement
LI Baolong， ZHOU Kemin
（College of Civil Engineering, Huaqiao University, Xiamen 361021, Fujian, China)
Abstract： To expand flexibility minimization problem in topology optimization to general displacement minimization problem, the design domain is meshed by finite elements and the truss-like continuum is used as the material model, and the rods are assumed to distribute continuously in design domain. The density and orientation of rod at node position are selected as design variables. The displacement along the specific direction is selected as the objective function. The continuum distribution field of members is optimized to form truss-like continuum by optimality criteria method based on the gradient of objective function. By the aid of structural mechanics conception, the parts of members are remained to form topology optimization frame.
Key words： structural optimization; topology optimization; truss-like continuum; minimum displacement; finite element method
0 引 言
近几十年来,结构拓扑优化研究取得前所未有的快速发展.离散结构拓扑优化以基结构方法为主,基于连续体结构的拓扑优化有均匀化方法［1］、进化结构优化方法［2］、水平集方法［3］及ICM方法［4］等.目前，各种基于连续体结构的拓扑优化方法主要采用优化单元的厚度等相关参数，通过单元的“有”和“无”表示结构的拓扑.这些方法普遍需采用罚函数的方法抑制中间密度，再利用周长控制等避免单元角接等数值计算不稳定问题［5-6］.实际上，理论分析表明拓扑优化结构一般为不均匀各向异性连续体.若直接用均匀各向同性等厚板表示不均匀各向异性连续体，必然会出现数值不稳定的问题.自由材料设计优化方法可从根本上解决该问题，但一般各向异性材料在工程上难以接受.［7-8］选择理论上完备、工程上可接受的方法具有重要意义.
本文采用类桁架连续体材料模型.假设杆件在设计域内连续分布，通过优化杆件的连续分布场得到拓扑优化结构.采用该方法研究过应力约束体积最小或体积约束柔度最小化问题［9-10］以及柔性机构的拓扑优化问题［11］.柔度最小化问题实际上指载荷做功最小，有非常简洁的表达式［5］，容易实现，成为拓扑优化的一个标准问题.柔性机构的目标函数一般指输出位移或输出功等的最大化.［11］本文将研究范围拓展到一般位移最小化问题.
1 力学模型的建立
1.1 类桁架材料的弹性矩阵
在剪力墙的整个设计域内连续布置类桁架连续体材料，材料的密度和方向在设计域内连续变化.该材料可模拟连续分布的杆系结构,通过优化材料的连续分布场实现结构的拓扑设计优化.［10］在类桁架连续体中，杆件为连续分布.
4 算 例
算例1是个标准的Michell桁架，见图2（a）.为便于检验算法的有效性，将目标函数的位移直接取为力的作用点和方向.这样，问题就成为典型的柔度约束问题.在单工况下，它和应力约束最小重量桁架一样.由于结果与单位无关，所有数据都没有给出单位.采用32×20个矩形单元，经过23次迭代，得图2（b）所示的杆件分布场.图中，线段的长度表示节点位置杆件的密度，线段的方向表示杆件的方向.将这些节点位置的线段按其方向连接起来，得图2（c）所示的近似刚架结构.由于计算误差的存在，该结果还不能直接作为结构.利用结构力学的概念，将过于接近的线段删除，将接近的端点合并，可转化为图2（d）所示结构.
(a)力学模型（b）类桁架连续体中杆件分布场(c)优化的类桁架连续体(d)建议的杆系结构图 2 Michell桁架算例
Fig.2 Michell truss example
算例2为一个下边固定、左边受均布力作用的悬臂结构，设计域3×4.2，力学模型及经过16次迭代后的优化结果见图3.其中，图3（d）中左侧的竖杆是为承担水平分布力而加上的.(a)力学模型（b）类桁架连续体中杆件分布场(c)优化的类桁架连续体(d)建议的杆系结构
图 3 悬臂结构
Fig.3 Cantilever Michell truss
5 结束语
本文采用类桁架材料模型研究在体积约束下位移最小的拓扑优化结构.由于在构造类桁架连续体过程中没有抑制中间密度，没有出现数值不稳定现象.算例1中典型Michell桁架的计算结果与解析解非常接近.
参考文献：
［1］ BENDSOE M P, KIKUCHI N. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method［J］. Comput Methods Appl Mech & Eng, 1988, 71(2): 197-224.
［2］ XIE Y M, STEVEN G P. A simple evolutionary procedure for structural optimization［J］. Computers & Structures, 1993, 49(5): 885- 896.
［3］ SETHIAN J A, WIEGMANN A. Structural boundary design via level set and immersed interface methods［J］. J Comput Phys, 2000, 163(2): 489-528.
［4］ SUI Yunkang, YANG Deqing. A new method for structural topological optimization based on the concept of independent continuous variables and smooth model［J］. Acta Mechanica Sinica, 1998, 14(2): 179-185.
［5］ ESCHENAUER H A, OLHOFF N. Topology optimization of continuum structures: a review［J］. Appl Mech Rev, 2001, 54(4): 331-390.
［6］ SIGMUND O, PETERSSON J. Numerical instabilities in topology optimization: a survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-dependencies and local minima［J］. Struct Optimization, 1998, 16(1): 68-75.
［7］ GUEDES J M, TAYLOR J E. On the prediction of material properties and topology for optimal continuum structures［J］. Struct Optimization, 1997, 14(2-3): 193-199.
［8］ HRNLEIN H R E M, KOCVARA M, WERNER R. Material optimization: bridging the gap between conceptual and preliminary design［J］. Aerospace Sci & Technol, 2001, 5(8): 541-554.
［9］ ZHOU Kemin, LI Xia. Topology optimization for minimum compliance under multiple loads based on continuous distribution of members［J］. Struct & Multidisciplinary Optimization, 2008, 37(1): 49-56.
［10］ ZHOU Kemin, LI Xia. Topology optimization of structures under multiple load cases using fiber-reinforced composite material model［J］. Comput Mech, 2005, 38(2): 163-170.
［11］ 赵丹, 周克民. 基于类桁架连续体的柔性机构拓扑优化设计［J］. 福州大学学报: 自然科学版, 2008, 36(4): 417-423.
ZHAO Dan, ZHOU Kemin. Compliant mechanism topological optimum design based on truss-like continuum［J］. J Fuzhou Univ: Nat Sci, 2008, 36(4): 417-423.
(编辑 于 杰)