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【摘 要】新世纪需要具有创新精神和创新能力的人才，作为中学数学教师，我们从数学课堂抓起，改变以往的教学模式，将更多的思考空间留给学生，激励学生自己学习，学会学习；数学课要关注结果，更要关注结果背后的产生过程，让学生亲自体验和感受数学家的思维进程，从而发展学生的创新思维能力。
【关键词】亲自体验；暴露数学思维过程；创设问题激发思维积极性
大多数老师上课时，总是喜欢按照课前预设的教学计划完成既定的教学任务，总是喜欢牵着学生走，总是什么都放不下，缺少给学生自己思考和相互交流的时间。常此以往，学生就丧失了独立思维的能力。其实在教学中，真正重要的是教师要充分留给学生进行自主探索思考的空间与展示的机会。这样在教学中，学生才能放飞思维，张扬个性，达到教是为了不教的目的。
1.充分暴露思维过程，让学生体验与感受，发展学生的思维能力
数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。数学学习，从本质上讲是以思维为主的过程，同时又伴随着记忆、复现、再认这些环节。A.A.斯托利亚尔指出：充分暴露数学思维过程是教学的指导原则。数学教学要展示数学思维过程，要求教师创造性地将数学思维过程“复现”出来。当前的数学教学基本上是数学结果的教学，其表现就是自觉或不自觉地取消了让学生进行思维的环境、时间和空间，取消了诱发思维的土壤和条件，如注入式教学、“题海战术”就是如此。学生学习的知识是前人的思维结果，但学习知识不应是简单的接收，而是必须把新知识消化、吸收，纳入自己已有的知识系统，形成新的认知结构。因此，数学教学要立足于学生思维活动的展示，变结果教学为过程教学，让学生在获取知识和运用知识过程中发展思维能力。
例如等比数列求和教学
1.1 创设情景，调动学生积极性，师生互动探讨。
1.1.1 以《国王赏麦的故事》引入：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的，就欣然同意了他的要求。
你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？让我们一起来分析一下。
问题一：如何摆放这个麦粒？
问题二：按照这种方法摆放，国王能满足他的要求吗？
【设计意图】通过故事情境引入，不仅可以活跃课题气氛，同时吸引学生注意力，从而使学生对数学学习产生兴趣，且该故事紧扣主题内容。
1.1.2 学生探究，回答问题。
问题一：第一格放1粒，第二格放2粒，第三个放4粒，第四个放8粒，…第64格放263粒。
问题二：国王总共需要多少颗麦粒？求和S64=1+2+4……+263……（1）
【设计意图】让生活的情境与数学之间架起桥梁。
探讨： 发明者要求的麦粒总数是多少？会求和吗？
教师：在上式两端乘以2，即2S64=？
学生动手计算：2S64=2+4+8……+2×263……（2）
教师：比较两个式，有什么关系？（留出时间让学生探讨）
学生：比较后发现，第一个式子中第2项到第64项与第二个式子中第1项到第63项相同。
教师：两式相减会得到什么结果？（1）—（2） （让学生来展示过程）
学生：S64=264-1≈1.84×1019
教师：假设小麦1000粒为40克。
学生计算后得出：要给发明者7000亿吨小麦。国王无法满足要求。
教师设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？学生探讨。
【设计意图】通过教师引导，让学生自主去探究解决该问题。学生经过计算后发现，“错位相减法”十分的简便。同时让学生有了成功的体验。通过这一环节为下面证明求和公式做铺垫，为后面的教学埋下伏笔。
1.2 类比联想，推导公式
1.2.1 设等比数列{an}，首项为a1，公比为q（q≠1），如何求前n项和？
学生：Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn=？
教师：类比刚才过程，该怎么求？教师提示在式子两边同乘以q学生分组探究求解（3分钟），期间对学生进行分步提问，让学生将自己思考的过程展示出来。并写出推导过程。
两式相减得：得Sn= （q≠1）
【设计意图】：在教师的指导下，让学生从实例到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成功和愉快.
1.2.2 特殊情况处理。
探讨1：教师：如果q=1时怎么办？
学生：q=1时分母没有意义。最后得出结论：q=1时，即Sn=n
探讨2：结合等比数列的通项公式，能够得到什么公式？学生计算得到：Sn= （q≠1）
Sn=na1（q=1）
【设计意图】使学生加深对知识的认识，进一步完善知识结构。
学生探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展和创新。教学过程中学生在教师创设的情境下自己动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者，要让学生自始至终地参与这一探索过程，学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程。
2.创设问题，激发学生的思维积极性
联合国教科文组织编写的《学会生存——教育世界的今天和明天》一文中写到：现在教师的职责已经越来越少的传递知识，而是越来越多的激励思考；教师必须集中更多的时间和精力从事那些有效果和有创造性的活动。这就要求教师在教学中要由过去的重视教师教转变成重视学生学。由过去重视学生知识的积累转变成重视学生思维的发展。把思维的空间和时间留给学生。因此，我们在教学中应特别关注培养学生创造性或独特性的理解和表达。培养学生敢于与众不同的思想，鼓励学生超越同伴和老师，使学生养成良好的思维习惯。 2.1 巧设探索性问题，培养学生创新思维
学生练习：
（1）求数列1×2，2×22，3×23，4×24，‥‥‥，n×2n的前n项和。
（2）求和s=a+2a2+3a3+4a4+……+nan
学生会仿照上述求和公式推理过程，在等式两边同时乘以一个数后，两式相减可求。数列的这一求和方法冠以名为“错位相减法”，该方法的巧妙之处在于通过这一过程能将数列求和中间最困难的部分相消，转化为等比数列来求和，这也是数列求和的关键所在。学生通过对其本质的理解，总结推导过程可由此及彼，此方法适用于：若某个数列它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的，数列的通项为{an●bn} ，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
在等比数列求和教学时，不是简单的将求和公式交给学生，而是调动学生一起探讨推理过程，将思维空间留给了学生，让学生感受知识形成过程，培养学生的思维能力。
2.2 精心设计问题，引导学生多思。
在学习新内容时，如果都能诱导分析，让学生开动脑筋，那么学生不但对知识理解深入，而且有利于他们思维能力的培养。例如在教学数列用“裂项求和”方法求和时，教师不应急于一下子把方法原理告诉学生（那样学生只会忙于“收拾”），而应精心设计问题，让学生思考，使学生在探索思维中获得知识。例如数列{ }的通项公式为 = ，求数列{ }的前n项和。我们通常采用裂项求和的方法， = ，将一项变成两项，有学生自己完成。 =1- + - +……+ 显然 =1- 。
学生再练习：数列{ }的通项公式为 = ，求数列{ }的前n项和。学生有了问题，自然注意力集中，思维活跃。方法可以由学生自己总结。让学生有充分展示的机会。学生兴趣大增，热情很高，急于知道结论，所以都能积极动手探求结果。
在教学中，培养学生的思维能力，加强学生创新意识教育，培养学生良好的创新意识，不仅成为科技发展的需要，也是培养新世纪合格人才的需要.
在教学活动中，只有真正做到以学生为主体设计教学活动程序，把以学生为主体作为一条主线贯穿教学活动全过程，尊重学生的主体地位，才能真正做到以科学而有激励作用的方法吸引学生全员参与教学活动；以有趣味又有挑战性的问题激发学生的求知欲望和探究热情；也才能真正调动每个学生的思维积极性，主动进取，引导学生最大限度地通过独立思考、自主操作或者相互研讨、展开争辩等方式自主地获取知识与技能，提高学生的思维能力，得到相关的科学思想与方法.学习数学本应是个充满智慧挑战的过程，从初见有趣现象的惊诧，到发现问题的迷惘，经历探究过程的刺激，最后到享受探索成功的喜悦。只有让学生体会到这蕴意丰富的每一环节，才能使学生真正的体会到数学的乐趣。为此，数学教学中应将更多的思考空间留给学生，培养学生的思维与创新能力。
收稿日期：2013-05-30
【关键词】亲自体验；暴露数学思维过程；创设问题激发思维积极性
大多数老师上课时，总是喜欢按照课前预设的教学计划完成既定的教学任务，总是喜欢牵着学生走，总是什么都放不下，缺少给学生自己思考和相互交流的时间。常此以往，学生就丧失了独立思维的能力。其实在教学中，真正重要的是教师要充分留给学生进行自主探索思考的空间与展示的机会。这样在教学中，学生才能放飞思维，张扬个性，达到教是为了不教的目的。
1.充分暴露思维过程，让学生体验与感受，发展学生的思维能力
数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。数学学习，从本质上讲是以思维为主的过程，同时又伴随着记忆、复现、再认这些环节。A.A.斯托利亚尔指出：充分暴露数学思维过程是教学的指导原则。数学教学要展示数学思维过程，要求教师创造性地将数学思维过程“复现”出来。当前的数学教学基本上是数学结果的教学，其表现就是自觉或不自觉地取消了让学生进行思维的环境、时间和空间，取消了诱发思维的土壤和条件，如注入式教学、“题海战术”就是如此。学生学习的知识是前人的思维结果，但学习知识不应是简单的接收，而是必须把新知识消化、吸收，纳入自己已有的知识系统，形成新的认知结构。因此，数学教学要立足于学生思维活动的展示，变结果教学为过程教学，让学生在获取知识和运用知识过程中发展思维能力。
例如等比数列求和教学
1.1 创设情景，调动学生积极性，师生互动探讨。
1.1.1 以《国王赏麦的故事》引入：国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在第2个格子里放上2颗麦粒，在第3个格子里放上4颗麦粒，在第4个格子里放上8颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒的2倍，直到第64个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是很难办到的，就欣然同意了他的要求。
你认为国王有能力满足发明者上述要求吗？让我们一起来分析一下。
问题一：如何摆放这个麦粒？
问题二：按照这种方法摆放，国王能满足他的要求吗？
【设计意图】通过故事情境引入，不仅可以活跃课题气氛，同时吸引学生注意力，从而使学生对数学学习产生兴趣，且该故事紧扣主题内容。
1.1.2 学生探究，回答问题。
问题一：第一格放1粒，第二格放2粒，第三个放4粒，第四个放8粒，…第64格放263粒。
问题二：国王总共需要多少颗麦粒？求和S64=1+2+4……+263……（1）
【设计意图】让生活的情境与数学之间架起桥梁。
探讨： 发明者要求的麦粒总数是多少？会求和吗？
教师：在上式两端乘以2，即2S64=？
学生动手计算：2S64=2+4+8……+2×263……（2）
教师：比较两个式，有什么关系？（留出时间让学生探讨）
学生：比较后发现，第一个式子中第2项到第64项与第二个式子中第1项到第63项相同。
教师：两式相减会得到什么结果？（1）—（2） （让学生来展示过程）
学生：S64=264-1≈1.84×1019
教师：假设小麦1000粒为40克。
学生计算后得出：要给发明者7000亿吨小麦。国王无法满足要求。
教师设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？学生探讨。
【设计意图】通过教师引导，让学生自主去探究解决该问题。学生经过计算后发现，“错位相减法”十分的简便。同时让学生有了成功的体验。通过这一环节为下面证明求和公式做铺垫，为后面的教学埋下伏笔。
1.2 类比联想，推导公式
1.2.1 设等比数列{an}，首项为a1，公比为q（q≠1），如何求前n项和？
学生：Sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn=？
教师：类比刚才过程，该怎么求？教师提示在式子两边同乘以q学生分组探究求解（3分钟），期间对学生进行分步提问，让学生将自己思考的过程展示出来。并写出推导过程。
两式相减得：得Sn= （q≠1）
【设计意图】：在教师的指导下，让学生从实例到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的成功和愉快.
1.2.2 特殊情况处理。
探讨1：教师：如果q=1时怎么办？
学生：q=1时分母没有意义。最后得出结论：q=1时，即Sn=n
探讨2：结合等比数列的通项公式，能够得到什么公式？学生计算得到：Sn= （q≠1）
Sn=na1（q=1）
【设计意图】使学生加深对知识的认识，进一步完善知识结构。
学生探索知识的思维过程总是从问题开始，又在解决问题中得到发展和创新。教学过程中学生在教师创设的情境下自己动脑思考、动口表达，探索未知领域，寻找客观真理，成为发现者，要让学生自始至终地参与这一探索过程，学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程。
2.创设问题，激发学生的思维积极性
联合国教科文组织编写的《学会生存——教育世界的今天和明天》一文中写到：现在教师的职责已经越来越少的传递知识，而是越来越多的激励思考；教师必须集中更多的时间和精力从事那些有效果和有创造性的活动。这就要求教师在教学中要由过去的重视教师教转变成重视学生学。由过去重视学生知识的积累转变成重视学生思维的发展。把思维的空间和时间留给学生。因此，我们在教学中应特别关注培养学生创造性或独特性的理解和表达。培养学生敢于与众不同的思想，鼓励学生超越同伴和老师，使学生养成良好的思维习惯。 2.1 巧设探索性问题，培养学生创新思维
学生练习：
（1）求数列1×2，2×22，3×23，4×24，‥‥‥，n×2n的前n项和。
（2）求和s=a+2a2+3a3+4a4+……+nan
学生会仿照上述求和公式推理过程，在等式两边同时乘以一个数后，两式相减可求。数列的这一求和方法冠以名为“错位相减法”，该方法的巧妙之处在于通过这一过程能将数列求和中间最困难的部分相消，转化为等比数列来求和，这也是数列求和的关键所在。学生通过对其本质的理解，总结推导过程可由此及彼，此方法适用于：若某个数列它的各项恰好是由某个等差数列与某个等比数列之对应项相乘所构成的，数列的通项为{an●bn} ，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
在等比数列求和教学时，不是简单的将求和公式交给学生，而是调动学生一起探讨推理过程，将思维空间留给了学生，让学生感受知识形成过程，培养学生的思维能力。
2.2 精心设计问题，引导学生多思。
在学习新内容时，如果都能诱导分析，让学生开动脑筋，那么学生不但对知识理解深入，而且有利于他们思维能力的培养。例如在教学数列用“裂项求和”方法求和时，教师不应急于一下子把方法原理告诉学生（那样学生只会忙于“收拾”），而应精心设计问题，让学生思考，使学生在探索思维中获得知识。例如数列{ }的通项公式为 = ，求数列{ }的前n项和。我们通常采用裂项求和的方法， = ，将一项变成两项，有学生自己完成。 =1- + - +……+ 显然 =1- 。
学生再练习：数列{ }的通项公式为 = ，求数列{ }的前n项和。学生有了问题，自然注意力集中，思维活跃。方法可以由学生自己总结。让学生有充分展示的机会。学生兴趣大增，热情很高，急于知道结论，所以都能积极动手探求结果。
在教学中，培养学生的思维能力，加强学生创新意识教育，培养学生良好的创新意识，不仅成为科技发展的需要，也是培养新世纪合格人才的需要.
在教学活动中，只有真正做到以学生为主体设计教学活动程序，把以学生为主体作为一条主线贯穿教学活动全过程，尊重学生的主体地位，才能真正做到以科学而有激励作用的方法吸引学生全员参与教学活动；以有趣味又有挑战性的问题激发学生的求知欲望和探究热情；也才能真正调动每个学生的思维积极性，主动进取，引导学生最大限度地通过独立思考、自主操作或者相互研讨、展开争辩等方式自主地获取知识与技能，提高学生的思维能力，得到相关的科学思想与方法.学习数学本应是个充满智慧挑战的过程，从初见有趣现象的惊诧，到发现问题的迷惘，经历探究过程的刺激，最后到享受探索成功的喜悦。只有让学生体会到这蕴意丰富的每一环节，才能使学生真正的体会到数学的乐趣。为此，数学教学中应将更多的思考空间留给学生，培养学生的思维与创新能力。
收稿日期：2013-05-30