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浙江湖州吴兴高级中学 313000
摘要：参数分离法是处理恒成立问题的一种重要方法，但对于型如“m>f（x）或m＜f（x）（即p∨q）”的恒成立问题，却要慎用此法，否则很容易产生错解. 笔者针对教学中一道习题的反思，从逻辑、可行域、分类讨论、函数等多个视角进行错解剖析.
关键词：视角；逻辑；可行域；分类讨论；函数
原题 ∀x∈
，
，使不等式a－lnx+ln>0恒成立，求实数a的取值范围.
错解 由a－lnx+ln>0得a>lnx－ln或a 设h（x）=lnx－ln=ln，g（x）=lnx+ln=ln.
依题意知a>h（x）或a ，
上恒成立.
因为g′（x）=>0，h′（x）=>0，
所以g（x）与h（x）都在
，上单调递增. 要使不等式①成立，
当且仅当a>h
或a ，即a>ln或a 反思 粗看求解过程似乎无懈可击，但事实上，当x∈
，时，ln≥0，当且仅当x=时取等号. 符合题意的解只需当x=时，a－lnx≠0即可，即a≠ln. 显然以上解法有误，那究竟错在那里呢？下面从不同视角进行剖析.
视角1 逻辑
原题的否定形式为：“若∃x∈
，时，使不等式a－lnx+ln≤0成立，求实数a的取值范围.”
因为a－lnx+ln≤0⇒ ln≤a≤ln，
又因为不等式ln≤ln在
，上的解仅为x=，
所以当且仅当a=ln时，ln≤a≤ln恒成立.
所以实数a的取值范围是a≠ln.
剖析 从逻辑的视角看错解，错解的关键是对逻辑连接词“或”的理解不透彻，从而导致不等价变形.
对p∨q型的恒成立问题，若能从其否定形式入手，将其转化（p∧q型），往往能简化解题过程，降低思维量，从而收到意想不到的效果.
视角2 可行域
不妨先作出满足式①及x∈
，的可行域（如图1）. 由图可知，满足“式①在x∈
，上恒成立”的值a≠ln.
剖析从可行域的视角看错解（如图2），式②仅表示满足a>lnx－ln恒成立和a ，ln
的任意值在x∈
，上也满足“式①在x∈
，上恒成立”（如图3）.
视角3 分类讨论
（1）当a>lnx>ln时，原题可化为a>ln在x∈
，上恒成立. 所以a>ln.
（2）当a=lnx时，原题可化为ln>0在x∈
，上恒成立.
（ⅰ）当≤x<时，ln>0恒成立，即ln≤a （ⅱ）当x=时，ln=0，即a≠.
（3）当a
，上恒成立. 所以a 综上所述，a≠ln.
剖析 从分类讨论的视角看错解，错解的关键是将a=lnx成立的条件当作两个点来处理. 其实当a=lnx时，原题恒成立的a的条件是一个区间段.
视角4 函数
构造函数h（x）=a－lnx，g（x）=ln.
由题意得，只需求h（x）＞g（x）在x∈
，上恒成立时a的取值范围.
由图4知，当且仅当ea≠，即a≠ln时符合题意. 因此，实数a的取值范围是a≠ln.
[y][x][g（x）][h（x）][O][][]
图4
剖析 h（x）=a－lnx=a－lnx（x≤ea），
－a+lnx（x>ea） 是一个分段函数，且x=ea是它的零点. 从函数的视角看错解，式②解决了函数h（x）=a－lnx（x≤ea）及h（x）=-a+lnx（x>ea）分别符合题目要求的a的取值范围.错解的关键是忽视了当≤ea<时，函数h（x）也符合题目要求的情况.
“构造函数，画出含参数不等式中涉及的相关函数的图象（或相关方程的曲线），通过对图象（或曲线）的分析,得到参数应满足的不等式，从而得到参数的取值范围”是求解恒成立问题的常用思想.
综上可知，求解形如“m>f（x）或m＜f（x）（即p∨q）”的恒成立问题时，用分离参数法容易产生错解，可从逻辑、可行域、函数、分类讨论等多个视角求解，从而避开逻辑连接词“或”的“陷阱”.
例1已知数列｛an｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和，若a1=2，q=，且对任意的正整数k及正数c（c≤3）都有<2成立，求c的取值范围.
错解 易知Sk=41－
.
由<2，
可得<2.
化简得c<4－6
k或c＞4-4
k对k∈N+恒成立.
令f（k）=4－6
k，g（k）=4－4
k（k∈N+）.
由函数的单调性易知f（k）min=1，g（k）<4，从而c<1或c≥4. 又由已知0 正解 例1的否定形式为：“已知数列｛an｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和，若a1=2，q=，且存在正整数k及正数c（c≤3）使≥2成立，求c的取值范围.”
因为≥2⇒ 4－6
k≤c≤4－4
k.
当k=1时，1≤c≤2，
当k=2时，≤c≤3.
所以符合例1的解为0 例2 若不等式3x+a－2x+6>0对一切实数x都成立，试求实数a的取值范围.
错解 原不等式等价于a>或a<. 令h（x）=，g（x）=.
因为h（x）∈R，g（x）∈R，所以满足条件的a不存在.
正解构造函数f（x）=x+a，g（x）=－2 . 在同一坐标系内作出它们的图象（图略），借助直观图形，易知－a<3，即a>－3. 故所求a的取值范围是（－3，+∞）.
当然，以上两例也可从其他视角来求解，这里不再赘述.
摘要：参数分离法是处理恒成立问题的一种重要方法，但对于型如“m>f（x）或m＜f（x）（即p∨q）”的恒成立问题，却要慎用此法，否则很容易产生错解. 笔者针对教学中一道习题的反思，从逻辑、可行域、分类讨论、函数等多个视角进行错解剖析.
关键词：视角；逻辑；可行域；分类讨论；函数
原题 ∀x∈
，
，使不等式a－lnx+ln>0恒成立，求实数a的取值范围.
错解 由a－lnx+ln>0得a>lnx－ln或a
依题意知a>h（x）或a
上恒成立.
因为g′（x）=>0，h′（x）=>0，
所以g（x）与h（x）都在
，上单调递增. 要使不等式①成立，
当且仅当a>h
或a
，时，ln≥0，当且仅当x=时取等号. 符合题意的解只需当x=时，a－lnx≠0即可，即a≠ln. 显然以上解法有误，那究竟错在那里呢？下面从不同视角进行剖析.
视角1 逻辑
原题的否定形式为：“若∃x∈
，时，使不等式a－lnx+ln≤0成立，求实数a的取值范围.”
因为a－lnx+ln≤0⇒ ln≤a≤ln，
又因为不等式ln≤ln在
，上的解仅为x=，
所以当且仅当a=ln时，ln≤a≤ln恒成立.
所以实数a的取值范围是a≠ln.
剖析 从逻辑的视角看错解，错解的关键是对逻辑连接词“或”的理解不透彻，从而导致不等价变形.
对p∨q型的恒成立问题，若能从其否定形式入手，将其转化（p∧q型），往往能简化解题过程，降低思维量，从而收到意想不到的效果.
视角2 可行域
不妨先作出满足式①及x∈
，的可行域（如图1）. 由图可知，满足“式①在x∈
，上恒成立”的值a≠ln.
剖析从可行域的视角看错解（如图2），式②仅表示满足a>lnx－ln恒成立和a
的任意值在x∈
，上也满足“式①在x∈
，上恒成立”（如图3）.
视角3 分类讨论
（1）当a>lnx>ln时，原题可化为a>ln在x∈
，上恒成立. 所以a>ln.
（2）当a=lnx时，原题可化为ln>0在x∈
，上恒成立.
（ⅰ）当≤x<时，ln>0恒成立，即ln≤a
（3）当a
，上恒成立. 所以a
剖析 从分类讨论的视角看错解，错解的关键是将a=lnx成立的条件当作两个点来处理. 其实当a=lnx时，原题恒成立的a的条件是一个区间段.
视角4 函数
构造函数h（x）=a－lnx，g（x）=ln.
由题意得，只需求h（x）＞g（x）在x∈
，上恒成立时a的取值范围.
由图4知，当且仅当ea≠，即a≠ln时符合题意. 因此，实数a的取值范围是a≠ln.
图4
剖析 h（x）=a－lnx=a－lnx（x≤ea），
－a+lnx（x>ea） 是一个分段函数，且x=ea是它的零点. 从函数的视角看错解，式②解决了函数h（x）=a－lnx（x≤ea）及h（x）=-a+lnx（x>ea）分别符合题目要求的a的取值范围.错解的关键是忽视了当≤ea<时，函数h（x）也符合题目要求的情况.
“构造函数，画出含参数不等式中涉及的相关函数的图象（或相关方程的曲线），通过对图象（或曲线）的分析,得到参数应满足的不等式，从而得到参数的取值范围”是求解恒成立问题的常用思想.
综上可知，求解形如“m>f（x）或m＜f（x）（即p∨q）”的恒成立问题时，用分离参数法容易产生错解，可从逻辑、可行域、函数、分类讨论等多个视角求解，从而避开逻辑连接词“或”的“陷阱”.
例1已知数列｛an｝是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项的和，若a1=2，q=，且对任意的正整数k及正数c（c≤3）都有<2成立，求c的取值范围.
错解 易知Sk=41－
.
由<2，
可得<2.
化简得c<4－6
k或c＞4-4
k对k∈N+恒成立.
令f（k）=4－6
k，g（k）=4－4
k（k∈N+）.
由函数的单调性易知f（k）min=1，g（k）<4，从而c<1或c≥4. 又由已知0
因为≥2⇒ 4－6
k≤c≤4－4
k.
当k=1时，1≤c≤2，
当k=2时，≤c≤3.
所以符合例1的解为0
错解 原不等式等价于a>或a<. 令h（x）=，g（x）=.
因为h（x）∈R，g（x）∈R，所以满足条件的a不存在.
正解构造函数f（x）=x+a，g（x）=－2 . 在同一坐标系内作出它们的图象（图略），借助直观图形，易知－a<3，即a>－3. 故所求a的取值范围是（－3，+∞）.
当然，以上两例也可从其他视角来求解，这里不再赘述.