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摘要： 提出了一种基于几何精度因子（GDOP）的三维室内定位方案来解决室内定位系统中的锚节点布置问题.通过该方案可以得到锚节点的双圆锥构型.利用两种测距误差模型来对该方案的性能进行评估，仿真结果表明该方案可以应用于大小不同的场景，而且在相同的定位场景下，该方案的定位精度优于现有的布置方法.
关键词：
室内定位； 几何精度因子（GDOP）； 双圆锥构型； 锚节点布置
中图分类号： TN 929.5文献标志码： A文章编号： 10005137（2018）02018606
A geometric dilution of precision based 3D indoor positioning scheme
Yang Ming， Liu Zhongling， Yu Hui*
（School of Electronic Information and Electrical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）
Abstract：
A geometric dilution of precision（GDOP） based 3D indoor positioning scheme was proposed for the layout of anchor nodes.Through the proposed scheme，the biconical configuration could be obtained.The performance of the scheme was evaluated by utilizing two different ranging error models.Simulation results indicated that the scheme can be applied to various scenes with different sizes.Furthermore，the proposed scheme had considerable accuracy improvement in the same positioning environment compared with existing layout scheme.
Key words：
indoor positioning； geometric dilution of precision（GDOP）； biconical configuration； layout of anchor nodes
收稿日期： 20180131
作者简介： 杨明（1995-），男，硕士研究生，主要从事室内定位和无人机自组织网络方面的研究.Email：648121252@sjtu.edu.cn
導师简介： 俞晖（1969-），男，高级工程师，主要从事无线通信技术方面的研究.Email：yuhui@sjtu.edu.cn
*通信作者
引用格式： 杨明，刘中令，俞晖.一种基于几何精度因子的三维室内定位方案 [J].上海师范大学学报（自然科学版），2018，47（2）：186-191.
Citation format： Yang M，Liu Z L，Yu H.A geometric dilution of precision based 3D indoor positioning scheme [J].Journal of Shanghai Normal University （Natural Sciences），2018，47（2）：186-191.
0引言
近年来，室内定位的相关应用得到了飞速发展，火灾救援[1]，博物馆导游[2]，超市导航[3]等场景都需要室内定位技术的支持.通常，定位系统中使用几何精度因子（GDOP）来衡量定位精度[4]，对于GDOP的最小化研究也在卫星的选择和水下定位中得到应用[5-6].GDOP的大小仅与锚节点的构型有关，在室内定位系统中，可以通过计算GDOP来分析锚节点构型对定位精度的几何影响.
基于GDOP的室内定位已经得到了广泛研究，许多研究都将GDOP视作一个指标来评估定位算法或系统[7-9].文献[10]提出了一种可以用于二维场景下的基于GDOP的室内定位方法.文献[11]通过对GDOP的分析得到一系列场景简洁的，能用来设计追踪系统的解析表达式.文献[12]则使用GDOP来确保定位系统中锚节点的构型是高质量的.尽管之前的研究已经解决了很多室内定位的问题，但是很少有文献借助GDOP或者其他指标的帮助提出具体的三维室内定位解决方案，研究者们也很少关注给定场景的最优锚节点构型.
本文作者基于双圆锥构型，提出适用于三维场景的布置锚节点方案.使用两种测距误差模型（高斯测距误差模型和与距离相关的非对称双指数误差模型）对该定位方案的性能进行评估.仿真结果表明该方案可以应用于大小不同、信道条件不同的场景，而且定位精度均优于现有的定位方法.
1GDOP
1.1GDOP介绍和推导
假设有N个锚节点，其中第i个锚节点（i=1，2…，N，N>3）的坐标为（Xi，Yi，Zi），定位目标的坐标为（X，Y，Z）.那么第i个锚节点与定位目标之间的距离
Pi=（X-Xi）2+（Y-Yi）2+（Z-Zi）2.（1）
由于噪声（如测距误差）的影响，实测的目标位置和真实的位置之间会有偏差，将实测的定位目标的坐标设为（Xu，Yu，Zu），第i个锚节点和实测的定位目标位置的距离为 Pui=（Xu-Xi）2+（Yu-Yi）2+（Zu-Zi）2.（2）
假定定位误差相比于整个定位空间的尺度相对较小，对（1）式，在定位目标实测位置使用泰勒展开，取一阶近似，可得：
Pi=Pui+PiXXu（X-Xu）+PiYYu（Y-Yu）+PiZZu（Z-Zu）.（3）
测距误差dP=[dP1，dP2，…，dPi]T，其中dPi=Pi-Pui，定位误差dL=[dX，dY，dZ]T，其中dX=X-Xu，dY=Y-Yu，dZ=Z-Zu.再定义
H=P1XXuP1YYuP1ZZuPNXXuPNYYuPNZZu=aX1aY1aZ1aXNaYNaZN，（4）
其中aXi=Xi-XuPui，aYi=Yi-YuPui，aZi=Zi-ZuPui，则
HdL=dP.（5）
由于N>3，（5）式是一个超定线性方程组，能够通过最小二乘法求解：
dL=（HTH）-1HTdP.（6）
根据协方差的定义，
cov（dL）=E（dLdTL）=（HTH）-1HTE（dPdTP）H（HTH）-1.（7）
假定在同一场景下，测距误差dP各分量同分布.因此，
E（dPdTP）=Iδr2，（8）
其中δr为测距误差因子，I是一个单位矩阵，则
cov（dL）=（HTH）-1HTIδr2H（HTH）-1=δr2（HTH）-1.（9）
（9）式反映了测距误差与定位误差之间的映射关系.测距误差相同，定位误差仅与（HTH）-1的值有关.文献[13]将GDOP定义为定位误差的均方根（RMS）与测距误差均方根的比值，
GDOP=Tr（（HTH）-1），（10）
其中Tr（·）表示一个矩阵主对角线上元素的总和.
1.2GDOP定理
定理1
[14]當且仅当HTH=nIm，n个锚节点在m维空间中的几何精度因子GDOP（n，m）能得到最小值mn，其中m表示维度（m=2或3），n是锚节点数（n>3）.
定理2
[14]当锚节点的构型固定时，各点的GDOP是一个连续函数.
由定理2可知在给定场景中，当锚节点构型固定时，GDOP的分布呈一系列有规律的同心圆.
2室内定位方案
2.1双圆锥构型
根据（9）式可知定位误差由测距误差和由（HTH）-1导出的GDOP共同决定.而GDOP仅与锚节点的几何构型有关，当锚节点放置完毕后，定位场景各点处的GDOP为常量.
根据定理2可以推出：如果定位场景中心的GDOP是最小的，那么场景中其他点的GDOP也是相对均匀和相对小的.为了最小化定位场景整体的GDOP，采用一种双圆锥构型，如图1所示，该构型由一个正圆锥和一个倒圆锥组成，连接处是两个圆锥的顶点.双圆锥构型在定位场景的中心处的GDOP可以达到或接近理论最小值，文献[15]证明了当圆锥张角为54.7°时，双圆锥构型中心处的GDOP可以达到理论最小值3n.
2.2节点布置方案
提出一种基于双圆锥构型的室内定位方案来布置锚节点，由于定位空间的尺度不是非常大，时间误差忽略不计.
在布置锚节点之前，构建一个长方体空间，其长度与宽度相同，需要定位的区域包含于长方体空间内.当长方体空间确定后，可以求出所要构建的双圆锥构型的圆锥张角，通过圆锥张角的大小可以判断所要构建的双圆锥构型是否适用于定位.图2为圆锥张角与GDOP之间的关系.
如图2所示，用GDOP密度来评估三维场景下室内定位方案的性能，该指标定义为三维场景中各点GDOP的均值，即
GDOP=1VΩGDOPdV.（11）
由图2可知GDOP密度与双圆锥构型的圆锥张角密切相关，而且构型的中心点的GDOP与构型的GDOP密度的趋势相似.图2的结果表明GDOP密度在圆锥张角在35°～70°范围内取到的值较小.因此，应确保所要构建的双圆锥构型的圆锥张角在合适的区间内，如果张角值超出了区间，应调整长方体空间的大小，直到新的张角值落在合适区间内.
选择长方体空间的上下平面中的一个平面（正方形），将任意一个锚节点放在该平面的一条边的中心上，将另外2个锚节点放在以正方形边长为直径，平面中心为圆心的圆周上.调整圆周上2个锚节点的位置，使得同一平面上的3个锚节点组成等边三角形，构成的三角形的中心即上下平面的中心.上下平面两个对应的点的连线应该穿过长方体空间的中心.以图1为例，锚节点1对应锚节点6，锚节点2对应锚节点5，锚节点3对应锚节点4，长方体空间的中心为坐标轴的原点.如果存在多余锚节点，应尽可能放置于靠近长方体空间中心的位置，这样可以有效提高定位精度.
图3为锚节点数和平均定位误差的关系曲线.根据图3可以发现定位精度会随着锚节点数的增加而提高，但是增量在递减，因此，在设计室内定位系统时，应该平衡定位精度和支出的关系.
3仿真结果及分析
根据GDOP的定义和定理1，在锚节点数一定且测距误差的均方根值给定的情况下求得理论上最小的定位误差.在仿真中，使用6个锚节点并且选用高斯测距误差模型，选择一个长方体空间作为待定位空间，该长方体空间的大小是可变的.此外，将测距误差的均方根值设为0.03.因此，可以得到理论上最小的定位误差值为0.212 m.将提出的定位方案与文献[16]所提方案进行比较.文献[16]所提方案的构型如图4所示，该构型由6个锚节点构成，其中2个锚节点位于上下平面的中心，余下4个锚节点放置在空间中，与上下平面平行，且位于上下平面中间的矩形平面的4个顶点上.定位精度的仿真结果如图5所示. 圖5中，x轴的角度值为arctanac，其中a为待测空间的长度，c为待测空间的高度，该角度值可以归一化地表示长方体空间的大小.而且双圆锥构型的圆锥张角也与该角度值相一致.图5展示了两种布置方法的定位精度，并且将平均定位误差与理论最小定位误差作比较.从图5中，可以发现文献[16]所提方案在较小的角度定位精度较好，但是在本方案中，需要调整长方体空间的尺寸使圆锥张角落在合适的区间，当张角较小时，误差较大的情况可以得到解决.在其他圆锥张角区间，提出的方案明显优于文献[16]所提方案，定位精度提升15%左右.另一方面，在合适的区间里，本方案的定位误差接近于理论上最小的定位误差.
为了让仿真环境更接近于真实场景，选择与距离相关的非对称双指数测距误差模型进行分析[17]，该模型的表达式为：
PADE（d，r）=
1λp（r）+λN（r）exλN（r），x≤0
1λp（r）+λN（r）e-xλp（r），x≥0
，（13）
式中λp（r）=apr+bp，λN（r）=aNr+bN，d是测距误差，r是测量的距离，ap，bp，aN，bN为配置参数，这些参数的值决定了仿真环境的信道质量.
选择两个不同尺寸的长方体（空间的角度分别为40°与70°），比较两种布置方法的定位精度.在仿真中，选择多组不同的参数来确保仿真结果的准确性和可信赖性，仿真结果如表1所示.对于不同的场景，所提方案均优于现有的布置方法.另外，定位误差值与测距误差模型的参数密切相关，这也与GDOP的定义相吻合.仿真结果验证了所提方案可以在各种大小、信道条件的场景下使用，且都可以获得较好的定位精度.
4结束语
基于可以获得较小GDOP的双圆锥构型，提出了一种室内定位方案用于解决三维场景下的锚节点布置问题.分析和仿真结果表明该构型的圆锥张角对定位误差有直接的影响.调整双圆锥构型后该方案可应用于不同大小的场景.另外，利用两种不同的测距误差模型来评估定位方案的性能，并与现有的布置方法进行比较，在各种大小、信道条件下的场景中，所提定位方案均能得到更高的定位精度.
参考文献：
[1]Moon G B，Hur M B，Jee G I.An indoor positioning system for a first responder in an emergency environment [C].Proceedings of the 12th International Conference on Control，Automation and Systems，JeJu Island：IEEE，2012.
[2]Kawaji H，Hatada K，Yamasaki T，et al.An imagebased indoor positioning for digital museum applications [C].Proceedings of the 16th International Conference on Virtual Systems and Multimedia，Seoul：IEEE，2010.
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[5]Kihara M，Okada T.A satellite selection method and accuracy for the global positioning system [J].Navigation，1984，31（1）：8-20.
[6]Luo T J，Chen W J，Chen F J，et al.CramérRao bounds of source localization with distributed sensors in underwater multipath environment [C].Proceedings of 2016 Shanghai OCEANS.Shanghai：IEEE，2016.
[7]Feng G A，Shen C，Long C H，et al.GDOP index in UWB indoor location system experiment [C].Proceedings of 2015 IEEE Sensors，Busan：IEEE，2015.
[8]Rajagopal N，Chayapathy S，Sinopoli B，et al.Beacon placement for rangebased indoor localization [C].Proceedings of 2016 International Conference on Indoor Positioning and Indoor Navigation，Alcala de Henares：IEEE，2016.
[9]Anwar A K，Ioannis G，Pavlidou F N.Evaluation of indoor location based on combination of AGPS/HSGPS [C].Proceedings of the 3rd International Symposium on Wireless Pervasive Computing，Santorini：IEEE，2008. [10]Kirchhof N.Optimal placement of multiple sensors for localization applications [C].Proceedings of 2013 International Conference on Indoor Positioning and Indoor Navigation，MontbeliardBelfort：IEEE，2013.
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[12]Syafrudin M，Walter C，Schweinzer H.Robust locating using LPS LOSNUS under NLOS conditions [C].Proceedings of 2014 International Conference on Indoor Positioning and Indoor Navigation，Busan：IEEE，2014.
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[15]薛樹强，杨元喜，陈武，等.正交三角函数导出的最小GDOP定位构型解集 [J].武汉大学学报（信息科学版），2014，39（7）：820-825.
Xue S Q，Yang Y X，Chen W，et al.Positioning configurations with minimum GDOP from orthogonal trigonometric functions [J].Geomatics and Information Science of Wuhan University，2014，39（7）：820-825.
[16]Zwirello L，Janson M，Ascher C，et al.Accuracy considerations of UWB localization systems dedicated to largescale applications [C].Proceedings of 2010 International Conference on Indoor Positioning and Indoor Navigation，Zurich：IEEE，2010.
[17]Li S H，Hedley M，Collings I B.New efficient indoor cooperative localization algorithm with empirical ranging error model [J].Journal on Selected Areas in Communications，2015，33（7）：1407-1417.
（责任编辑：包震宇，顾浩然）
关键词：
室内定位； 几何精度因子（GDOP）； 双圆锥构型； 锚节点布置
中图分类号： TN 929.5文献标志码： A文章编号： 10005137（2018）02018606
A geometric dilution of precision based 3D indoor positioning scheme
Yang Ming， Liu Zhongling， Yu Hui*
（School of Electronic Information and Electrical Engineering，Shanghai Jiao Tong University，Shanghai 200240，China）
Abstract：
A geometric dilution of precision（GDOP） based 3D indoor positioning scheme was proposed for the layout of anchor nodes.Through the proposed scheme，the biconical configuration could be obtained.The performance of the scheme was evaluated by utilizing two different ranging error models.Simulation results indicated that the scheme can be applied to various scenes with different sizes.Furthermore，the proposed scheme had considerable accuracy improvement in the same positioning environment compared with existing layout scheme.
Key words：
indoor positioning； geometric dilution of precision（GDOP）； biconical configuration； layout of anchor nodes
收稿日期： 20180131
作者简介： 杨明（1995-），男，硕士研究生，主要从事室内定位和无人机自组织网络方面的研究.Email：648121252@sjtu.edu.cn
導师简介： 俞晖（1969-），男，高级工程师，主要从事无线通信技术方面的研究.Email：yuhui@sjtu.edu.cn
*通信作者
引用格式： 杨明，刘中令，俞晖.一种基于几何精度因子的三维室内定位方案 [J].上海师范大学学报（自然科学版），2018，47（2）：186-191.
Citation format： Yang M，Liu Z L，Yu H.A geometric dilution of precision based 3D indoor positioning scheme [J].Journal of Shanghai Normal University （Natural Sciences），2018，47（2）：186-191.
0引言
近年来，室内定位的相关应用得到了飞速发展，火灾救援[1]，博物馆导游[2]，超市导航[3]等场景都需要室内定位技术的支持.通常，定位系统中使用几何精度因子（GDOP）来衡量定位精度[4]，对于GDOP的最小化研究也在卫星的选择和水下定位中得到应用[5-6].GDOP的大小仅与锚节点的构型有关，在室内定位系统中，可以通过计算GDOP来分析锚节点构型对定位精度的几何影响.
基于GDOP的室内定位已经得到了广泛研究，许多研究都将GDOP视作一个指标来评估定位算法或系统[7-9].文献[10]提出了一种可以用于二维场景下的基于GDOP的室内定位方法.文献[11]通过对GDOP的分析得到一系列场景简洁的，能用来设计追踪系统的解析表达式.文献[12]则使用GDOP来确保定位系统中锚节点的构型是高质量的.尽管之前的研究已经解决了很多室内定位的问题，但是很少有文献借助GDOP或者其他指标的帮助提出具体的三维室内定位解决方案，研究者们也很少关注给定场景的最优锚节点构型.
本文作者基于双圆锥构型，提出适用于三维场景的布置锚节点方案.使用两种测距误差模型（高斯测距误差模型和与距离相关的非对称双指数误差模型）对该定位方案的性能进行评估.仿真结果表明该方案可以应用于大小不同、信道条件不同的场景，而且定位精度均优于现有的定位方法.
1GDOP
1.1GDOP介绍和推导
假设有N个锚节点，其中第i个锚节点（i=1，2…，N，N>3）的坐标为（Xi，Yi，Zi），定位目标的坐标为（X，Y，Z）.那么第i个锚节点与定位目标之间的距离
Pi=（X-Xi）2+（Y-Yi）2+（Z-Zi）2.（1）
由于噪声（如测距误差）的影响，实测的目标位置和真实的位置之间会有偏差，将实测的定位目标的坐标设为（Xu，Yu，Zu），第i个锚节点和实测的定位目标位置的距离为 Pui=（Xu-Xi）2+（Yu-Yi）2+（Zu-Zi）2.（2）
假定定位误差相比于整个定位空间的尺度相对较小，对（1）式，在定位目标实测位置使用泰勒展开，取一阶近似，可得：
Pi=Pui+PiXXu（X-Xu）+PiYYu（Y-Yu）+PiZZu（Z-Zu）.（3）
测距误差dP=[dP1，dP2，…，dPi]T，其中dPi=Pi-Pui，定位误差dL=[dX，dY，dZ]T，其中dX=X-Xu，dY=Y-Yu，dZ=Z-Zu.再定义
H=P1XXuP1YYuP1ZZuPNXXuPNYYuPNZZu=aX1aY1aZ1aXNaYNaZN，（4）
其中aXi=Xi-XuPui，aYi=Yi-YuPui，aZi=Zi-ZuPui，则
HdL=dP.（5）
由于N>3，（5）式是一个超定线性方程组，能够通过最小二乘法求解：
dL=（HTH）-1HTdP.（6）
根据协方差的定义，
cov（dL）=E（dLdTL）=（HTH）-1HTE（dPdTP）H（HTH）-1.（7）
假定在同一场景下，测距误差dP各分量同分布.因此，
E（dPdTP）=Iδr2，（8）
其中δr为测距误差因子，I是一个单位矩阵，则
cov（dL）=（HTH）-1HTIδr2H（HTH）-1=δr2（HTH）-1.（9）
（9）式反映了测距误差与定位误差之间的映射关系.测距误差相同，定位误差仅与（HTH）-1的值有关.文献[13]将GDOP定义为定位误差的均方根（RMS）与测距误差均方根的比值，
GDOP=Tr（（HTH）-1），（10）
其中Tr（·）表示一个矩阵主对角线上元素的总和.
1.2GDOP定理
定理1
[14]當且仅当HTH=nIm，n个锚节点在m维空间中的几何精度因子GDOP（n，m）能得到最小值mn，其中m表示维度（m=2或3），n是锚节点数（n>3）.
定理2
[14]当锚节点的构型固定时，各点的GDOP是一个连续函数.
由定理2可知在给定场景中，当锚节点构型固定时，GDOP的分布呈一系列有规律的同心圆.
2室内定位方案
2.1双圆锥构型
根据（9）式可知定位误差由测距误差和由（HTH）-1导出的GDOP共同决定.而GDOP仅与锚节点的几何构型有关，当锚节点放置完毕后，定位场景各点处的GDOP为常量.
根据定理2可以推出：如果定位场景中心的GDOP是最小的，那么场景中其他点的GDOP也是相对均匀和相对小的.为了最小化定位场景整体的GDOP，采用一种双圆锥构型，如图1所示，该构型由一个正圆锥和一个倒圆锥组成，连接处是两个圆锥的顶点.双圆锥构型在定位场景的中心处的GDOP可以达到或接近理论最小值，文献[15]证明了当圆锥张角为54.7°时，双圆锥构型中心处的GDOP可以达到理论最小值3n.
2.2节点布置方案
提出一种基于双圆锥构型的室内定位方案来布置锚节点，由于定位空间的尺度不是非常大，时间误差忽略不计.
在布置锚节点之前，构建一个长方体空间，其长度与宽度相同，需要定位的区域包含于长方体空间内.当长方体空间确定后，可以求出所要构建的双圆锥构型的圆锥张角，通过圆锥张角的大小可以判断所要构建的双圆锥构型是否适用于定位.图2为圆锥张角与GDOP之间的关系.
如图2所示，用GDOP密度来评估三维场景下室内定位方案的性能，该指标定义为三维场景中各点GDOP的均值，即
GDOP=1VΩGDOPdV.（11）
由图2可知GDOP密度与双圆锥构型的圆锥张角密切相关，而且构型的中心点的GDOP与构型的GDOP密度的趋势相似.图2的结果表明GDOP密度在圆锥张角在35°～70°范围内取到的值较小.因此，应确保所要构建的双圆锥构型的圆锥张角在合适的区间内，如果张角值超出了区间，应调整长方体空间的大小，直到新的张角值落在合适区间内.
选择长方体空间的上下平面中的一个平面（正方形），将任意一个锚节点放在该平面的一条边的中心上，将另外2个锚节点放在以正方形边长为直径，平面中心为圆心的圆周上.调整圆周上2个锚节点的位置，使得同一平面上的3个锚节点组成等边三角形，构成的三角形的中心即上下平面的中心.上下平面两个对应的点的连线应该穿过长方体空间的中心.以图1为例，锚节点1对应锚节点6，锚节点2对应锚节点5，锚节点3对应锚节点4，长方体空间的中心为坐标轴的原点.如果存在多余锚节点，应尽可能放置于靠近长方体空间中心的位置，这样可以有效提高定位精度.
图3为锚节点数和平均定位误差的关系曲线.根据图3可以发现定位精度会随着锚节点数的增加而提高，但是增量在递减，因此，在设计室内定位系统时，应该平衡定位精度和支出的关系.
3仿真结果及分析
根据GDOP的定义和定理1，在锚节点数一定且测距误差的均方根值给定的情况下求得理论上最小的定位误差.在仿真中，使用6个锚节点并且选用高斯测距误差模型，选择一个长方体空间作为待定位空间，该长方体空间的大小是可变的.此外，将测距误差的均方根值设为0.03.因此，可以得到理论上最小的定位误差值为0.212 m.将提出的定位方案与文献[16]所提方案进行比较.文献[16]所提方案的构型如图4所示，该构型由6个锚节点构成，其中2个锚节点位于上下平面的中心，余下4个锚节点放置在空间中，与上下平面平行，且位于上下平面中间的矩形平面的4个顶点上.定位精度的仿真结果如图5所示. 圖5中，x轴的角度值为arctanac，其中a为待测空间的长度，c为待测空间的高度，该角度值可以归一化地表示长方体空间的大小.而且双圆锥构型的圆锥张角也与该角度值相一致.图5展示了两种布置方法的定位精度，并且将平均定位误差与理论最小定位误差作比较.从图5中，可以发现文献[16]所提方案在较小的角度定位精度较好，但是在本方案中，需要调整长方体空间的尺寸使圆锥张角落在合适的区间，当张角较小时，误差较大的情况可以得到解决.在其他圆锥张角区间，提出的方案明显优于文献[16]所提方案，定位精度提升15%左右.另一方面，在合适的区间里，本方案的定位误差接近于理论上最小的定位误差.
为了让仿真环境更接近于真实场景，选择与距离相关的非对称双指数测距误差模型进行分析[17]，该模型的表达式为：
PADE（d，r）=
1λp（r）+λN（r）exλN（r），x≤0
1λp（r）+λN（r）e-xλp（r），x≥0
，（13）
式中λp（r）=apr+bp，λN（r）=aNr+bN，d是测距误差，r是测量的距离，ap，bp，aN，bN为配置参数，这些参数的值决定了仿真环境的信道质量.
选择两个不同尺寸的长方体（空间的角度分别为40°与70°），比较两种布置方法的定位精度.在仿真中，选择多组不同的参数来确保仿真结果的准确性和可信赖性，仿真结果如表1所示.对于不同的场景，所提方案均优于现有的布置方法.另外，定位误差值与测距误差模型的参数密切相关，这也与GDOP的定义相吻合.仿真结果验证了所提方案可以在各种大小、信道条件的场景下使用，且都可以获得较好的定位精度.
4结束语
基于可以获得较小GDOP的双圆锥构型，提出了一种室内定位方案用于解决三维场景下的锚节点布置问题.分析和仿真结果表明该构型的圆锥张角对定位误差有直接的影响.调整双圆锥构型后该方案可应用于不同大小的场景.另外，利用两种不同的测距误差模型来评估定位方案的性能，并与现有的布置方法进行比较，在各种大小、信道条件下的场景中，所提定位方案均能得到更高的定位精度.
参考文献：
[1]Moon G B，Hur M B，Jee G I.An indoor positioning system for a first responder in an emergency environment [C].Proceedings of the 12th International Conference on Control，Automation and Systems，JeJu Island：IEEE，2012.
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（责任编辑：包震宇，顾浩然）