论文部分内容阅读
一、“数列与差分”专题设置的意义
“数列与差分”这章内容本是大学内容，随着新课改的进行，将这节内容比较浅显的部分划分为了高中选修内容。这一章节的选择是按照新课程标准的要求，将时代性、应用性、先进性思想融入到数学学习的理念之中。数学是研究数字关系与图形关系，或者数字与图形之间的关系的学科，研究数学的意义在于更好的服务于其他科学，也为今后的学习和生活打下坚实的基础。数学是一门实用性学科，将生产生活和科技发展进行了紧密联系，将“数列与差分”放入高中新课改要求中，是中学课程改革的需求、数学学科自身发展的需要，也是社会发展变化和生活进步的真实需求。
数列与差分的学习与应用，对实际生活需要很有帮助，设置这一专题，能有效提高学生的综合素质，提升学生的数学素养，满足学生多元化和个性化需求，同时，高中阶段对“数列与差分”的学习，也是为大学相关内容的学习打下一个坚实的基础。同时，该专题对解决生活中的实际问题，也是非常有实际价值的。对于人口问题、金融保险相关的问题都可以借助于“数列与差分”来建立模型进行分析和解答。
二、“数列与差分”相关内容和教学方式
在展开“数列与差分”专题的教学过程中，教师应该遵循由简单深入到复杂、联系以前学习的知识、着眼于数学服务于生活、创设问题情境来分析问题解决问题、认识知识发展的实际过程、与相关数列知识比如导数等内容相联系、教学过程中以学生为主并结合先进的教学手段和方法，等等这些原则来进行“数列与差分”专题内容的学习和讲解。
“数列与差分”教学过程中，教师应该认清数学的本质，将数列和差分的相关概念分析清楚，并且结合其他相关的数列知识进行对比分析。专题讲解首先需要分析“数列与差分”的相关定义，再分析具体的图像或者通项表达方式，举出具体实例进行讲解应用，然后针对生活中的应用给出分析。
三、“数列与差分”专题教学设计分析
1.差分的定义
差分是对于数列问题而言的，相对于一个特定的数列，第n+1项与第n项的差?an=an+1-an，表示第n项处的差分，
一般将数列中后一项与前一项的差值成为差分，比如?an=an+1-an表示数列在第n项处的一阶差分，将?（?an）=?2an=?an+1-?a表示为通项为{an}的数列在第n项时的二阶差分。差分表示?2an上面的2这个数字表示差分进行的次数，在这里是差分进行了2次。也就是差分算子“?”使用了两次。每次进行差分运算之后，又会形成新的差分数列，比如这里两次之后形成{?2an}，类似可以定义三阶差分、四阶差分等等。
2.差分与数列通项的关系
下面举出差分和通项的例子，比如关系1：数列中{an} = {2，3，4，5，6}，那么其一阶差分Δan={1，2，3，4}。由一阶差分组成的新数列，项数比前面的数列少1项。如果是常数列，那么数列的一阶差分项数都是0。
关系2：对数列{an} = {4n-5} = {-1，3，7，11，15，19}，其一阶差分Δan= {4，4，4，4，4 }为常数列，该数列的通项为an=4n-5，表示是一个线性函数。总结出来，一次线性函数的一阶差分是常数列。
关系3：对数列{an} = {n2-3n+5} = {3，3，5，9，15，23}，其一阶差分Δan= {0，2，4，6，8}，其二阶差分Δ2an={2，2，2，2}为常数列，其通项an= n2-3n+5是一个二次函数.一般地，当数列{an}是由一个二次函数定义时，其二阶差分为常数列.
关系4：对数列{an} = {3n} = {3，9，27，81，243，729，2187}，其一阶差分Δan={6，18，54，162，486，1458}，二阶差分Δ2an= {12，36，108，324，972}都不是常数列，而都是公比为3的等比数列.一般地，当数列{an}是由一个指数函数定义时，其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的等比数列。
3.差分对数列的描述
（1）一阶差分对数列增减的描述
（2）一阶差分对数列极值的描述
（3）二阶差分对数列图形凸凹的描述
四、“数列与差分”教学案例分析
下文以待定系数法求解差分方程为例子来分析。
待定系数法求解差分方程与求解常微分方程的思想可以进行对比分析，在求解非齐次线性差分方程中待定系数法也很实用。
待定系数法求解差分方程，是根据方程的特点，设出一般模式方程，根据其中的相关条件，找出特定解代入方程，求出待定系数。
（1）当K≠1时，设方程一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b（1）有一个特解xn=A，其中A为待定系数，那么将xn=A代入（1），就有A=kA+b，A=b/（1-k），即xn=b/（1-k），所以该一阶非齐次差分方程的通解为：
xn=knc+ b/（1-k），（c为任意常数）。
（2）当k=1时，方程（1）xn+1=xn+b得知它的一阶差分为常数，所以设置xn=An的特解，代入原方程（1），A（n+1）=An+b，得A=b，所以得到xn=bn；所以（1）的通解为：
xn=knc+ bn=c+bn（c为任意常数）。
例题1：一个电教室的座位是这样安排的，每后一排比前面一排的座位多2个座位，已经知道第一排是30个座位：
①用yn表示第n排的座位数，求yn+1与yn的关系表示；
②第9排座位有多少个？
③如果用Sn表示第n排之前的座位总数包括第n排，那么Sn+1与Sn的关系表示又是怎么样的？
④如果该电教室有20排座位，那么一共可以坐多少人呢？
解：（1）yn+1=yn+2；n=1，2…
（2）由题目可以知道，k=1，b=2，所以yn=2n+c，c为任意常数，加上题目中已知y1=30，所以得出c=28，特解为yn=2n+28，y9=46；
（3）Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，得出Sn+1= Sn+30，n=1，2…
（4）由解答（3）中的Sn+1-Sn= 2n+30，也就是?Sn= 2n+30，由数列Sn的一阶差分可以知道，Sn的表达式是一个二次函数，我们将这个二次函数设为Sn=An2+Bn+C，则?Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30.得出A=1，B=29，再结合已知条件，y1=30=S1，30=A+B+C，得出Sn=n2+29n，n=1，2…从而得出S20=980.
五、总结
本文从“数列与差分”专题设置的意义和内容设置方向开始讨论，具体分析了“数列与差分”专题教学设计，并举出实际例子来分析其应用。数学内容博大精深，又是科学学科的基础，所以在今后的教学过程中，要从学生的角度出发，认真关注学生的学习感受和体验，注重教学效果。
“数列与差分”这章内容本是大学内容，随着新课改的进行，将这节内容比较浅显的部分划分为了高中选修内容。这一章节的选择是按照新课程标准的要求，将时代性、应用性、先进性思想融入到数学学习的理念之中。数学是研究数字关系与图形关系，或者数字与图形之间的关系的学科，研究数学的意义在于更好的服务于其他科学，也为今后的学习和生活打下坚实的基础。数学是一门实用性学科，将生产生活和科技发展进行了紧密联系，将“数列与差分”放入高中新课改要求中，是中学课程改革的需求、数学学科自身发展的需要，也是社会发展变化和生活进步的真实需求。
数列与差分的学习与应用，对实际生活需要很有帮助，设置这一专题，能有效提高学生的综合素质，提升学生的数学素养，满足学生多元化和个性化需求，同时，高中阶段对“数列与差分”的学习，也是为大学相关内容的学习打下一个坚实的基础。同时，该专题对解决生活中的实际问题，也是非常有实际价值的。对于人口问题、金融保险相关的问题都可以借助于“数列与差分”来建立模型进行分析和解答。
二、“数列与差分”相关内容和教学方式
在展开“数列与差分”专题的教学过程中，教师应该遵循由简单深入到复杂、联系以前学习的知识、着眼于数学服务于生活、创设问题情境来分析问题解决问题、认识知识发展的实际过程、与相关数列知识比如导数等内容相联系、教学过程中以学生为主并结合先进的教学手段和方法，等等这些原则来进行“数列与差分”专题内容的学习和讲解。
“数列与差分”教学过程中，教师应该认清数学的本质，将数列和差分的相关概念分析清楚，并且结合其他相关的数列知识进行对比分析。专题讲解首先需要分析“数列与差分”的相关定义，再分析具体的图像或者通项表达方式，举出具体实例进行讲解应用，然后针对生活中的应用给出分析。
三、“数列与差分”专题教学设计分析
1.差分的定义
差分是对于数列问题而言的，相对于一个特定的数列，第n+1项与第n项的差?an=an+1-an，表示第n项处的差分，
一般将数列中后一项与前一项的差值成为差分，比如?an=an+1-an表示数列在第n项处的一阶差分，将?（?an）=?2an=?an+1-?a表示为通项为{an}的数列在第n项时的二阶差分。差分表示?2an上面的2这个数字表示差分进行的次数，在这里是差分进行了2次。也就是差分算子“?”使用了两次。每次进行差分运算之后，又会形成新的差分数列，比如这里两次之后形成{?2an}，类似可以定义三阶差分、四阶差分等等。
2.差分与数列通项的关系
下面举出差分和通项的例子，比如关系1：数列中{an} = {2，3，4，5，6}，那么其一阶差分Δan={1，2，3，4}。由一阶差分组成的新数列，项数比前面的数列少1项。如果是常数列，那么数列的一阶差分项数都是0。
关系2：对数列{an} = {4n-5} = {-1，3，7，11，15，19}，其一阶差分Δan= {4，4，4，4，4 }为常数列，该数列的通项为an=4n-5，表示是一个线性函数。总结出来，一次线性函数的一阶差分是常数列。
关系3：对数列{an} = {n2-3n+5} = {3，3，5，9，15，23}，其一阶差分Δan= {0，2，4，6，8}，其二阶差分Δ2an={2，2，2，2}为常数列，其通项an= n2-3n+5是一个二次函数.一般地，当数列{an}是由一个二次函数定义时，其二阶差分为常数列.
关系4：对数列{an} = {3n} = {3，9，27，81，243，729，2187}，其一阶差分Δan={6，18，54，162，486，1458}，二阶差分Δ2an= {12，36，108，324，972}都不是常数列，而都是公比为3的等比数列.一般地，当数列{an}是由一个指数函数定义时，其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的等比数列。
3.差分对数列的描述
（1）一阶差分对数列增减的描述
（2）一阶差分对数列极值的描述
（3）二阶差分对数列图形凸凹的描述
四、“数列与差分”教学案例分析
下文以待定系数法求解差分方程为例子来分析。
待定系数法求解差分方程与求解常微分方程的思想可以进行对比分析，在求解非齐次线性差分方程中待定系数法也很实用。
待定系数法求解差分方程，是根据方程的特点，设出一般模式方程，根据其中的相关条件，找出特定解代入方程，求出待定系数。
（1）当K≠1时，设方程一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b（1）有一个特解xn=A，其中A为待定系数，那么将xn=A代入（1），就有A=kA+b，A=b/（1-k），即xn=b/（1-k），所以该一阶非齐次差分方程的通解为：
xn=knc+ b/（1-k），（c为任意常数）。
（2）当k=1时，方程（1）xn+1=xn+b得知它的一阶差分为常数，所以设置xn=An的特解，代入原方程（1），A（n+1）=An+b，得A=b，所以得到xn=bn；所以（1）的通解为：
xn=knc+ bn=c+bn（c为任意常数）。
例题1：一个电教室的座位是这样安排的，每后一排比前面一排的座位多2个座位，已经知道第一排是30个座位：
①用yn表示第n排的座位数，求yn+1与yn的关系表示；
②第9排座位有多少个？
③如果用Sn表示第n排之前的座位总数包括第n排，那么Sn+1与Sn的关系表示又是怎么样的？
④如果该电教室有20排座位，那么一共可以坐多少人呢？
解：（1）yn+1=yn+2；n=1，2…
（2）由题目可以知道，k=1，b=2，所以yn=2n+c，c为任意常数，加上题目中已知y1=30，所以得出c=28，特解为yn=2n+28，y9=46；
（3）Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，得出Sn+1= Sn+30，n=1，2…
（4）由解答（3）中的Sn+1-Sn= 2n+30，也就是?Sn= 2n+30，由数列Sn的一阶差分可以知道，Sn的表达式是一个二次函数，我们将这个二次函数设为Sn=An2+Bn+C，则?Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30.得出A=1，B=29，再结合已知条件，y1=30=S1，30=A+B+C，得出Sn=n2+29n，n=1，2…从而得出S20=980.
五、总结
本文从“数列与差分”专题设置的意义和内容设置方向开始讨论，具体分析了“数列与差分”专题教学设计，并举出实际例子来分析其应用。数学内容博大精深，又是科学学科的基础，所以在今后的教学过程中，要从学生的角度出发，认真关注学生的学习感受和体验，注重教学效果。