论文部分内容阅读
摘要：本文研究了对于给定的4种Copula 模型，通过CML方法进行参数估计，由边缘分布二元直方图与在求出的估计参数下绘制的密度函数图形加以对比分析，再由样本与经验Copula分布进行直观的Q-Q图检验，然后用负对数似然函数值、AIC信息准则进行了拟合优度检验，认为Symmetrised Joe-Clayton copula能够更好的刻画上证指数和深证指数的相依结构。
关键词：Copula函数；Q-Q图检验；AIC
1．引言
金融市场之间的相互依赖、相互影响与日俱增,这促进了对金融间相关性如相关程度、协同运动、波动的传导和溢出等问题的研究。经典的线性相关系数是刻画金融市场相关程度的有力工具，但由于金融资产之间的相依结构往往是非线性的以及资产的联合分布往往不是正态分布，其不足便呈现出来，一种全新的相关性度量工具Copula也随之产生。Copula建立了多维随机变量的联合分布与其一维分布的直接关系，可以把复杂的市场风险分解为容易控制的边际风险，能准确地反应出金融市场的相依结构[1]。
2．Copula函数理论
2．1 Copula函数的类型
Nelsen[2]给出了Copula连接函数严格的数学定义。下面介绍Copula函数的主要类型。
（1）二元正态Copula函数
其中，ρ为相关系数，Φ为标准正态分布函数。
（2）二元t-Copula函数
其中，R为相关系数，t为服从自由度为 的 分布函数。
（3）Clayton Copula
阿基米德族Copula的形式由不同的算子生成，不同的算子选择，会产生不同类别的阿基米德族Copula。当算子时，所得的Copula定义为Clayton Copula，形式为：
C（u，v）=（u-δ+v-δ-1）-1/δ
其中，0＜δ＜+∞。
（4）Symmetrised Joe-Clayton copula
2．2 Copula函数参数估计方法
Copula函数参数估计方法[3]主要有三种：MLE（最大似然估计），IFM（分布估计），CML（半参数估计）。因为CML方法具有良好的统计特性，相对ML，IFM二者而言，可以不依赖于数据的边际分布的设定，不会存在边际分布设置不当而带来估计失误，我们在这里只详细介绍CML。设连续型随机变量X，Y的边缘分布分别是F（x；θ1），G（y；θ2），边缘密度函数分别为f（x；θ1），g（y；θ2），其中θ1，θ2）为边缘分布的未知参数。设选取的Copula分布函数为C（u，v；α），Copula密度函数为，其中α为Copula函数中的未知参数。（Xi，Yi）（i=1，2…，n）为随机样本。于是似然函数为
如果用样本经验函数Fn（x），Gn（y）分别来代替边缘分布F（x；θ1），G（y；θ2），则不用估计边缘分布中的参数θ1，θ2，只需估计Copula函数中的参数α：α=lnc[Fn（xi）Gn（yi）；α]。我们把这种参数估计方法称为半参数估计，简称为CML估计。
2.3 Copula模型的检验
Copula模型的检验[4]可分为两部分：边缘分布模型的检验和Copula函数部分的拟合优度评价。在边际分布的检验中，一元分布模型的检验相对比较成熟，建立的基于序列概率积分变换的密度分布模型的评价方法，适用于Copula模型的边缘分布的检验，即首先对原序列做概率积分变换，然后通过检验变换后的序列是否服从[0,1]均匀分布来检验密度函数模型。若变换后的序列服从独立同分布，则表明对研究变量的动态行为建模是正确的，而变换后的序列服从均匀分布则表明对研究变量边缘分布的原假设是正确的。Q-Q图检验即“分位数一分位数图”检验可以比较直观的表达变量的实际分布与指定分布的拟合情况。在使用极大似然估计方法估计参数时，我们可以通过比较对数似然函数值来确定拟合优度。Akaike' s Information Criterion(AIC)定义为AIC=2（negative log likelihood）+2/n其中，n为样本容量。
3．实证分析
我们选取上证综合指数（简称上证综指）和深圳成份指数（简称深证成指）作为研究对象。样本区间为2003.1.2-2011.3.28共1993个交易日的收盘数据，数据选自大智慧软件。其中收益率由股指自然对数的一阶差分来计算，rt=lnPt-lnPt-1（t=2，3，……1993）。为了软件处理方便，最后选取的数据为rt（t=58，59，……1993），共1936个数据。
3.1统计描述
基本的描述统计量见表1。从表1可以看出上证综指和深证成指的对数收益率是有偏和厚尾的，所以不能用正态分布描述它们的边际分布。
收益率直方图如图1所示，从图中也可以看出不能用正态分布描述它们的边际分布。其中的曲线是与各股指收益率具有相同的均值和标准差的正态分布密度函数曲线。
另外，我们也进行了正态性检验，p值如表2所示，均应该拒绝各股指服从正态性的假定。
3.2参数估计
我们对于Copula函数参数估计用CML估计。估计结果如表3所示。
根据核密度估计出来的边缘分布函数分别记为U=F（x），V=G（y）。于是我们可以根据（Ui，Ui）（i=1，2，…，n）的二元直方图的形状选取适当的Copula函数。图形如图2所示。
由图2和图3比较可看出图2呈现出“U”型，而Colayton Copula呈现出“L”型，所以不符合要求。其余三种Copula函数都是呈现出“U”型。
3.3 Copula模型检验
（1）Q-Q图检验
我们知道当Q-Q图形近似的形成一条直线的时候，样本越接近经验分布函数。很明显t-Copula与直线的差距最大，特别是在首尾两端，所以不符合要求。
（2）拟合优度评价
我们用对数似然函数值、Akaike' s Information Criterion(AIC)来确定拟合程度。具体数值如表4所示。由于计算的是负对数似然函数值，所以数值越小拟合的越好。很明显二元正态Copula 、Clayton Copula不符合要求。
4.结束语
文中通过选择四种比较有代表性的Copula模型对沪深股市进行相关性的研究。采用半参数方法估计Copula的参数，经过模型检验，结果表明Symmetrised Joe-Clayton copula可以很好的拟合数据。近年来Copula技术在金融上取得了极大的发展，Copula技术可将边缘分布与变量间的相关结构分开来研究，这为分析金融问题提供了一种崭新的思路。
参考文献：
[1] 张尧庭. 实用连接函数(Copula)技术与金融风险分析[ J ]. 统计研究, 2002, (4) : 48～51.
[2] Nelsen R B.An introduction to copulas. New York: Springer-Verlag,1999
[3] 韋艳华,张世英. Copula理论及其在金融上的应用. 北京：清华大学出版社,2008
[4] 韦艳华,张世英,郭焱. 金融市场的相关程度和相关模式的研究[ J ]. 系统工程学报, 2004, (4) : 355～362.
（作者单位：石河子大学商学院统计与金融系）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词：Copula函数；Q-Q图检验；AIC
1．引言
金融市场之间的相互依赖、相互影响与日俱增,这促进了对金融间相关性如相关程度、协同运动、波动的传导和溢出等问题的研究。经典的线性相关系数是刻画金融市场相关程度的有力工具，但由于金融资产之间的相依结构往往是非线性的以及资产的联合分布往往不是正态分布，其不足便呈现出来，一种全新的相关性度量工具Copula也随之产生。Copula建立了多维随机变量的联合分布与其一维分布的直接关系，可以把复杂的市场风险分解为容易控制的边际风险，能准确地反应出金融市场的相依结构[1]。
2．Copula函数理论
2．1 Copula函数的类型
Nelsen[2]给出了Copula连接函数严格的数学定义。下面介绍Copula函数的主要类型。
（1）二元正态Copula函数
其中，ρ为相关系数，Φ为标准正态分布函数。
（2）二元t-Copula函数
其中，R为相关系数，t为服从自由度为 的 分布函数。
（3）Clayton Copula
阿基米德族Copula的形式由不同的算子生成，不同的算子选择，会产生不同类别的阿基米德族Copula。当算子时，所得的Copula定义为Clayton Copula，形式为：
C（u，v）=（u-δ+v-δ-1）-1/δ
其中，0＜δ＜+∞。
（4）Symmetrised Joe-Clayton copula
2．2 Copula函数参数估计方法
Copula函数参数估计方法[3]主要有三种：MLE（最大似然估计），IFM（分布估计），CML（半参数估计）。因为CML方法具有良好的统计特性，相对ML，IFM二者而言，可以不依赖于数据的边际分布的设定，不会存在边际分布设置不当而带来估计失误，我们在这里只详细介绍CML。设连续型随机变量X，Y的边缘分布分别是F（x；θ1），G（y；θ2），边缘密度函数分别为f（x；θ1），g（y；θ2），其中θ1，θ2）为边缘分布的未知参数。设选取的Copula分布函数为C（u，v；α），Copula密度函数为，其中α为Copula函数中的未知参数。（Xi，Yi）（i=1，2…，n）为随机样本。于是似然函数为
如果用样本经验函数Fn（x），Gn（y）分别来代替边缘分布F（x；θ1），G（y；θ2），则不用估计边缘分布中的参数θ1，θ2，只需估计Copula函数中的参数α：α=lnc[Fn（xi）Gn（yi）；α]。我们把这种参数估计方法称为半参数估计，简称为CML估计。
2.3 Copula模型的检验
Copula模型的检验[4]可分为两部分：边缘分布模型的检验和Copula函数部分的拟合优度评价。在边际分布的检验中，一元分布模型的检验相对比较成熟，建立的基于序列概率积分变换的密度分布模型的评价方法，适用于Copula模型的边缘分布的检验，即首先对原序列做概率积分变换，然后通过检验变换后的序列是否服从[0,1]均匀分布来检验密度函数模型。若变换后的序列服从独立同分布，则表明对研究变量的动态行为建模是正确的，而变换后的序列服从均匀分布则表明对研究变量边缘分布的原假设是正确的。Q-Q图检验即“分位数一分位数图”检验可以比较直观的表达变量的实际分布与指定分布的拟合情况。在使用极大似然估计方法估计参数时，我们可以通过比较对数似然函数值来确定拟合优度。Akaike' s Information Criterion(AIC)定义为AIC=2（negative log likelihood）+2/n其中，n为样本容量。
3．实证分析
我们选取上证综合指数（简称上证综指）和深圳成份指数（简称深证成指）作为研究对象。样本区间为2003.1.2-2011.3.28共1993个交易日的收盘数据，数据选自大智慧软件。其中收益率由股指自然对数的一阶差分来计算，rt=lnPt-lnPt-1（t=2，3，……1993）。为了软件处理方便，最后选取的数据为rt（t=58，59，……1993），共1936个数据。
3.1统计描述
基本的描述统计量见表1。从表1可以看出上证综指和深证成指的对数收益率是有偏和厚尾的，所以不能用正态分布描述它们的边际分布。
收益率直方图如图1所示，从图中也可以看出不能用正态分布描述它们的边际分布。其中的曲线是与各股指收益率具有相同的均值和标准差的正态分布密度函数曲线。
另外，我们也进行了正态性检验，p值如表2所示，均应该拒绝各股指服从正态性的假定。
3.2参数估计
我们对于Copula函数参数估计用CML估计。估计结果如表3所示。
根据核密度估计出来的边缘分布函数分别记为U=F（x），V=G（y）。于是我们可以根据（Ui，Ui）（i=1，2，…，n）的二元直方图的形状选取适当的Copula函数。图形如图2所示。
由图2和图3比较可看出图2呈现出“U”型，而Colayton Copula呈现出“L”型，所以不符合要求。其余三种Copula函数都是呈现出“U”型。
3.3 Copula模型检验
（1）Q-Q图检验
我们知道当Q-Q图形近似的形成一条直线的时候，样本越接近经验分布函数。很明显t-Copula与直线的差距最大，特别是在首尾两端，所以不符合要求。
（2）拟合优度评价
我们用对数似然函数值、Akaike' s Information Criterion(AIC)来确定拟合程度。具体数值如表4所示。由于计算的是负对数似然函数值，所以数值越小拟合的越好。很明显二元正态Copula 、Clayton Copula不符合要求。
4.结束语
文中通过选择四种比较有代表性的Copula模型对沪深股市进行相关性的研究。采用半参数方法估计Copula的参数，经过模型检验，结果表明Symmetrised Joe-Clayton copula可以很好的拟合数据。近年来Copula技术在金融上取得了极大的发展，Copula技术可将边缘分布与变量间的相关结构分开来研究，这为分析金融问题提供了一种崭新的思路。
参考文献：
[1] 张尧庭. 实用连接函数(Copula)技术与金融风险分析[ J ]. 统计研究, 2002, (4) : 48～51.
[2] Nelsen R B.An introduction to copulas. New York: Springer-Verlag,1999
[3] 韋艳华,张世英. Copula理论及其在金融上的应用. 北京：清华大学出版社,2008
[4] 韦艳华,张世英,郭焱. 金融市场的相关程度和相关模式的研究[ J ]. 系统工程学报, 2004, (4) : 355～362.
（作者单位：石河子大学商学院统计与金融系）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文