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【摘 要】模型思想指的是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。在小学数学教学中，如何渗透学生的模型思想，笔者认为应该课前研读，深度挖掘模型思想；课中研磨，经历数学建模过程；课后研变，活用数学模型思想。总之，我们只有抓住数学本质，与新课程理念有效结合，才能发挥数学教育的最大价值，才能真正发展学生的核心素养。
【关键词】感受；数学；模型思想
数学学习不仅要掌握基础知识、基本技能，而且也要掌握基本思想。模型思想是《课程标准（2011年版）》新增加的一个核心概念。它指的是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。笔者结合自己的教学谈谈数学渗透模型思想的力量。
一、课前研读：深度挖掘模型思想
“凡事预则立，不预则废。”如果课前教师对教学中应渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此，老师要认真研读教材，反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着哪些数学模型？需要帮助学生建立怎样的模型？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……让我们走进《植树问题》的课堂，一起感悟不同的教学设计下演绎出的不同教学效果。
【A老师教学片断】
课前教师和同学们一起玩手指游戏，让学生观察有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔”；接着是三个手指几个间隔……通过简短的活动，学生们初步感知手指数和间隔数之间的关系（手指数=间隔数+1）。
再出示例题：“同学们要在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？”
教师让学生分组合作，解答并设法验证。汇报时，有些同学是通过借助学具在纸上进行“实地”植树的方式来进行验证，更多的同学是通过画线段图的方式来说明自己的解答结果是正确的。此时，教师启发学生思考：在两端不种的情况下，棵数和间隔数之间有什么关系呢？这时，有个别学生说：棵数比间隔数多1，也就是棵数=间隔数+1。老师对该生的回答大加赞赏。
【B老师教学片断】
植树节情境引入后，出示例题：“同学们要在全长150米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？”
教师让学生根据自己的理解列式解答，并尝试想办法验证。汇报时，同学们列出了几个不同的式子，教师质疑：究竟哪个是正确的呢？大多数学生都想到要画图，但要画150÷5=30个间隔太麻烦了……这时，教师引导学生思考：遇到大的数目不好把握怎么办？学生想到可以从小的数目入手，找出规律，然后再用规律来解决大数目的问题。
教师将学生自主研究的情况进行列表整理：
然后，老师进一步引导学生分析、比较，总结概括出“植树问题”的数学模型：植树棵数=间隔个数+1（两端都植树）
同时，老师根据学生的实际情况，引导学生进一步抽象、概括数学模型：如果我们用N表示植树的棵数、用a表示间隔的个数，那么我们植树问题的数学模型可以怎么写呢？植树问题数学模型还可以写为：N=a+1（两端都植树）。
同是《植树问题》这堂课，两位教师备课所站立的高度不同，所产生的现场教学效果迥然不同。A老师的课堂我们看到的是“教教材”的影子，按照教材安排的顺序组织教学，整个教学片断缺少深度，缺少体验和探究，不利于学生核心素养的培养。而B教师在整个环节的设计中凸显数学模型思想的渗透。从问题情境的创设到解决问题策略的探究，使构建“植树问题”的模型成为学生的主动需求，激发了建模的兴趣。接着老师在课堂中通过分析、判断、推理，架起知识与方法间沟通桥梁。最终抽象概括了在两端都种的情况下棵数=间隔数+1，渗透了数学中重要的模型思想。
眼界决定境界。一个老师能否精心研读教材，能否深度挖掘数学模型思想，往往决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。
二、课中研磨：经历数学建模过程
对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。笔者曾对《长方形的面积》这节课中引导学生经历数学建模，对渗透学生的数学模型思想进行了成功的尝试。
对于“长方形面积的计算”这部分内容的教学，如何借助现实有趣的活动，帮助学生实现对数学知识、数学观念的自我建构和发展？笔者安排三个层次的数形对应力求实现孩子的主动建模。
第一层次，通过提供多元化的探索素材，打开了学生探索、研究的切入口。他们有的数、有的摆、有的量，有的画，同样的结果却隐含着不同的数学思考，在教师有意识地组织交流，求同比较和横向沟通中中理解了不同算法之间的本质意义。从“铺满”到“半铺”再到“只量长和宽”的思维展示活动中，学生感受到了一维线段的长度与二维面积个数之间的某种对应。
第二层次，着重引导学生从“实际操作的层面”逐渐过渡到“用思维去把握对象”，每一问题的推进，都在无声地引导学生将思维从实物操作向表象操作再向算法操作过渡，从而在探索活动中充分感悟到长、宽数量与面积的对应。
第三层次，当学生从各种具体的实例中发现长和宽与面积个数的对应关系之后，适时地让学生利用自己实践操作的直观经验，进行不自觉的表象提升，使学生在更高的层面对长方形的长、宽重新进行建构，成功地建立了长方形的面积=长×宽的数学模型。
三、课后研变：活用数学模型思想
学习数学的价值在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。数学模型的价值体现在建立过程及以此去解决实际问题的过程之中。解决问题具体表现在两个方面：一是布置数学题作业，如基本题、变式题、拓展题等；二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学。
如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，课后作业设计时可出示这样的变式题：
1. 汽车3小时行驶了270千米，5小时可行驶多少千米？
2. 飞机的速度是每小时900千米，飞机早上11：00起飞，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？
学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从3小时行驶了270千米中找到需要的速度，从11：00至14：00中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。对于学有余力的学生，学习了行程问题后，教师还可以设计生活题作业讓学生灵活运用模型思想。
总之，我们只要抓住数学本质，与新课程理念有效结合，才能发挥数学教育的最大价值！但数学模型思想的渗透不是一蹴而就的，而是一个长期的过程，需要贯穿于整个小学阶段。为此作为数学教师，我们应该自觉地将“数学建模”的思想融入教学实践中，做课程改革的有心人，有意识地实施课前研读、课中研磨、课后研变三大策略，让学生去感知、经历、体验、拓展、提升数学思想方法，感受数学模型思想的力量，从而真正提高学生的数学素养！
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2]孔凡哲，曾峥编.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2012.
【关键词】感受；数学；模型思想
数学学习不仅要掌握基础知识、基本技能，而且也要掌握基本思想。模型思想是《课程标准（2011年版）》新增加的一个核心概念。它指的是针对要解决的问题，构造相应的数学模型，通过对数学模型的研究来解决实际问题的一种数学思想方法。笔者结合自己的教学谈谈数学渗透模型思想的力量。
一、课前研读：深度挖掘模型思想
“凡事预则立，不预则废。”如果课前教师对教学中应渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此，老师要认真研读教材，反复琢磨每一具体的教学内容中隐藏着哪些数学模型？需要帮助学生建立怎样的模型？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……让我们走进《植树问题》的课堂，一起感悟不同的教学设计下演绎出的不同教学效果。
【A老师教学片断】
课前教师和同学们一起玩手指游戏，让学生观察有几个手指几个间隔？“两个手指一个间隔”；接着是三个手指几个间隔……通过简短的活动，学生们初步感知手指数和间隔数之间的关系（手指数=间隔数+1）。
再出示例题：“同学们要在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？”
教师让学生分组合作，解答并设法验证。汇报时，有些同学是通过借助学具在纸上进行“实地”植树的方式来进行验证，更多的同学是通过画线段图的方式来说明自己的解答结果是正确的。此时，教师启发学生思考：在两端不种的情况下，棵数和间隔数之间有什么关系呢？这时，有个别学生说：棵数比间隔数多1，也就是棵数=间隔数+1。老师对该生的回答大加赞赏。
【B老师教学片断】
植树节情境引入后，出示例题：“同学们要在全长150米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵树苗？”
教师让学生根据自己的理解列式解答，并尝试想办法验证。汇报时，同学们列出了几个不同的式子，教师质疑：究竟哪个是正确的呢？大多数学生都想到要画图，但要画150÷5=30个间隔太麻烦了……这时，教师引导学生思考：遇到大的数目不好把握怎么办？学生想到可以从小的数目入手，找出规律，然后再用规律来解决大数目的问题。
教师将学生自主研究的情况进行列表整理：
然后，老师进一步引导学生分析、比较，总结概括出“植树问题”的数学模型：植树棵数=间隔个数+1（两端都植树）
同时，老师根据学生的实际情况，引导学生进一步抽象、概括数学模型：如果我们用N表示植树的棵数、用a表示间隔的个数，那么我们植树问题的数学模型可以怎么写呢？植树问题数学模型还可以写为：N=a+1（两端都植树）。
同是《植树问题》这堂课，两位教师备课所站立的高度不同，所产生的现场教学效果迥然不同。A老师的课堂我们看到的是“教教材”的影子，按照教材安排的顺序组织教学，整个教学片断缺少深度，缺少体验和探究，不利于学生核心素养的培养。而B教师在整个环节的设计中凸显数学模型思想的渗透。从问题情境的创设到解决问题策略的探究，使构建“植树问题”的模型成为学生的主动需求，激发了建模的兴趣。接着老师在课堂中通过分析、判断、推理，架起知识与方法间沟通桥梁。最终抽象概括了在两端都种的情况下棵数=间隔数+1，渗透了数学中重要的模型思想。
眼界决定境界。一个老师能否精心研读教材，能否深度挖掘数学模型思想，往往决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。
二、课中研磨：经历数学建模过程
对小学数学而言，“建模”的过程，实际上就是“数学化”的过程，是学生在数学学习中获得某种带有“模型”意义的数学结构的过程。笔者曾对《长方形的面积》这节课中引导学生经历数学建模，对渗透学生的数学模型思想进行了成功的尝试。
对于“长方形面积的计算”这部分内容的教学，如何借助现实有趣的活动，帮助学生实现对数学知识、数学观念的自我建构和发展？笔者安排三个层次的数形对应力求实现孩子的主动建模。
第一层次，通过提供多元化的探索素材，打开了学生探索、研究的切入口。他们有的数、有的摆、有的量，有的画，同样的结果却隐含着不同的数学思考，在教师有意识地组织交流，求同比较和横向沟通中中理解了不同算法之间的本质意义。从“铺满”到“半铺”再到“只量长和宽”的思维展示活动中，学生感受到了一维线段的长度与二维面积个数之间的某种对应。
第二层次，着重引导学生从“实际操作的层面”逐渐过渡到“用思维去把握对象”，每一问题的推进，都在无声地引导学生将思维从实物操作向表象操作再向算法操作过渡，从而在探索活动中充分感悟到长、宽数量与面积的对应。
第三层次，当学生从各种具体的实例中发现长和宽与面积个数的对应关系之后，适时地让学生利用自己实践操作的直观经验，进行不自觉的表象提升，使学生在更高的层面对长方形的长、宽重新进行建构，成功地建立了长方形的面积=长×宽的数学模型。
三、课后研变：活用数学模型思想
学习数学的价值在于它能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，而数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。数学模型的价值体现在建立过程及以此去解决实际问题的过程之中。解决问题具体表现在两个方面：一是布置数学题作业，如基本题、变式题、拓展题等；二是生活题作业，让学生在实际生活中应用数学。
如在学生掌握了速度、时间、路程之间关系后，先进行单项练习，课后作业设计时可出示这样的变式题：
1. 汽车3小时行驶了270千米，5小时可行驶多少千米？
2. 飞机的速度是每小时900千米，飞机早上11：00起飞，14：00到站，两站之间的距离是多少千米？
学生在掌握了速度乘时间等于路程这一模型后，进行变式练习，学生基本能正确解答，说明学生对基本数学模型已经掌握，并能够从3小时行驶了270千米中找到需要的速度，从11：00至14：00中找到所需时间。虽然两题叙述不同，但都可以运用同一个数学模型进行解答。掌握了数学模型，学生解答起数学问题来得心应手。对于学有余力的学生，学习了行程问题后，教师还可以设计生活题作业讓学生灵活运用模型思想。
总之，我们只要抓住数学本质，与新课程理念有效结合，才能发挥数学教育的最大价值！但数学模型思想的渗透不是一蹴而就的，而是一个长期的过程，需要贯穿于整个小学阶段。为此作为数学教师，我们应该自觉地将“数学建模”的思想融入教学实践中，做课程改革的有心人，有意识地实施课前研读、课中研磨、课后研变三大策略，让学生去感知、经历、体验、拓展、提升数学思想方法，感受数学模型思想的力量，从而真正提高学生的数学素养！
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2]孔凡哲，曾峥编.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2012.