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【摘要】本文在极值理论的GPD模型基础上，引入了变点统计方法，对GPD模型的阈值进行了定量选择，从而减少了一般极值理论因主观判断所引起的阈值选取的偏差。最后，将此方法建立的模型应用到日元/美元汇率风險价值VaR和CVaR的计算中，取得了良好的效果。
【关键词】GPD模型 变点 阈值 VaR CVaR
一、引言
风险度量是金融风险管理的基础，而风险价值（VaR）及由此衍生的条件风险价值（CVaR）是当今金融风险测量的主流方法，是应用最广泛的一种工具。传统的VaR和CVaR计算方法一般都要对金融收益的分布类型进行假设，这降低了模型的可信性。以极值理论为基础的GPD模型并不假设金融收益的整体服从某一分布，而只是研究分布的尾部特征，这样就避免了模型风险。因此，近几年来，GPD模型越来越广泛地应用于金融风险的测量之中。
但在实际处理风险度量中的厚尾问题时，阈值的选取是GPD模型的一个关键环节，阈值选择过大，则可用的数据就会很少，参数估计的方差偏大；若选择过小，则导致参数估计有偏或不相合。为此，很多学者在阈值的选择上作了大量的研究，Embrechts（1997）[2]建议使用模拟法，通过研究在不同阈值的情况下极值指数的形状来确定阈值的大小；Drees和Kaufmann（1998）[3]提出了利用重对数构造Hill估计的样本最优分割的停止时间以此选取阈值。本文在以上研究的基础上，引入变点统计理论进行定量化的阈值选取，建立GPD变点统计模型，并将此方法应用到风险价值的计算中，以验证其有效性。
二、广义Pareto分布与阈值选取
设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，分布函数F支撑的上端点为x*，对某固定的大值uu，则称它为超阈值（execeedance），称Xi-u为超出量（excess）。在一定的条件下，超出量X-u服从广义Pareto分布（GPD分布）。其尾部为
■（x；μ，σ，ξ）=（1+ξ■■，ξ≠01-exp（-■），ξ=0 （1）
当ξ>0，分布具有厚尾特征，大部分金融数据都呈现出这种厚尾特征，α=1/ξ称为尾部指标，一般用Hill估计量来估计尾部指标。将X1，X2，…，Xn按照升序排列，得到次序统计量x（i），满足x（i）？叟x（i-1），i=1，2…，n。Hill（1975）提出了以下尾部指标α的Hill估计量：
α（k）=■■logx■-logx■，k=1，2，…，n-1 （2）
通过Hill估计法来选取阈值最常用的方法是作样本的Hill图，其定义为（k，α（k））：k=2，…，n的集合。阈值u要选择Hill图中呈现平稳线性状态的最大k值对应的数据Xk。观察Hill图是一种很便捷的阈值选取方法，但在实际应用中会存在两个问题：一是如何界定序列的平稳性？二是如何选择跳点？依赖于主观判断来解决这两个问题，通常会存在一定的偏差，这使得阈值的具体数值选取可能因人而异，同时难以通过计算机程序实现。为此，本文引入斜率变点，通过寻找直线中斜率发生结构性突变的点k来界定Hill估计的平稳线性状态，此点位置所对应的数值即为所求的阈值。
三、斜率变点的估计
有关变点统计的理论和变点的检测方法可见文献[4]和[6]，这里假定确有变点。按照文献[6]中斜率变点的估计方法，本文给出σ在某点前后变化最大的点，将该点作为斜率变点的估计。本文直接引用文献[6]中提出的简单模型：
y■=a■+σ■x■+ε■，1？燮i？燮k■a■+σ■x■+ε■，k■ 这里斜率的变点为k0。假定在第k0个数据时将数据分成两段，且两段数据得到的回归系数值分别为σ■■，σ■■，并计算前后系数的差值，记为
Δ■=σ■■-σ■■ （4）
那么斜率变点的估计为Δ■达到最大的点，即k0=arg（■Δ■），如果有几个点同时达到最大，则以最临近的点作为斜率变点的估计。
四、基于变点统计方法的GPD模型
通过上面的讨论，可以考虑直线中斜率发生结构性突变的点k来界定GPD模型中Hill估计的平稳线性状态，以此建立改进的GPD模型，并将其用于VaR及CVaR的计算中，其具体实现步骤如下：
首先，通过（2）式计算GPD分布的尾部指标α的Hill估计量；
其次，通过（3）式找到使（4）达到最大的点，该点即为斜率变点所在的位置；
再次，根据斜率变点所在的位置确定GPD模型的阈值u；
最后，根据选定的阈值u，应用极值统计方法估计GPD模型的未知参数，并代入以下计算式中，得出VaR和CVaR：
VaR■=u+■■（1-p）■-1 （5）
CVaR■=■+■ （6）
其中p为显著性水平。
五、应用实例
本文以日元/美元汇率为例，检验上节所提方法应用于金融风险价值计算的有效性。采用的历史数据为1973年1月1日至2012年7月31共10422个数据（数据来源：美国联邦储备局INTERNET网站）。
（一）VaR和CVaR的计算
首先，根据极值理论，并借助R统计软件中的极值统计包evir中的hill函数，得到相应的Hill值，再利用变点统计理论对Hill估计的斜率变点进行检验可知，通过（4）中Δ■达到最大，搜索得到变点位置k0=10224，即在第10224个数据时Hill估计斜率发生了结构性变化，由此得所求阈值为u=1.5811。
根据选定的阈值，超过阈值u的样本数的个数为198个，为了提高估计的精确度，采用Bootstrap再抽样的方法，即根据这198个数据构造经验分布，再从这个分布中抽取10000个样本，一共抽10组，分别用这10组样本用极大似然估计对参数进行估计，得到σ和ξ的估计值分别为0.5142和0.1829，其标准差分别为0.05504和0.08110。再利用（5）式和（6）式得到在不同的置信水平下的VaR和CVaR，如表1。 表1 GPD模型下的VaR和CVaR
注：一般GPD模型下VaR和CVaR的计算直接引用文献[1]中的方法计算得到。
从表1可以看出，基于变点统计方法的GPD模型计算得到的不同置信水平下的VaR和CVaR值均明显大于一般极值理论建立的GPD模型所计算的VaR和CVaR值，这表明一般极值理论建立的GPD模型存在着低估风险的可能，而通过变点定量选取阈值的方法能更为精确的刻画风险程度，增加模型的灵敏度。
（二）模型的有效性检验
为检验模型的有效性，需要检验计算的VaR对实际损失的覆盖程度。根据样本计算出损失超过VaR值的天数t，进一步计算溢出率E=t/n。并将E值与显著性水平p进行比较。若E>p，说明模型低估了风险，反之表明预测结果覆盖了实际的损失，但是如果E太小则说明估计过于保守。下表给出了检验的结果：
表2 模型计算的VaR的检验结果
从上表可以看出，两个模型计算出实际溢出率E 六、结语
本文利用变点统计方法改进了一般极值理论下的GPD模型，该方法能定量地确定GPD模型的阈值，克服了利用Hill估计等传统方法在选取阈值时过于依赖于主观判断的缺陷，并将建立的模型应用于金融风险度量和管理中，使得极值理论在金融风险的应用中更为精确地度量VaR和CVaR。
但是，由于本文用于实证所收集的日元/美元汇率数据可能只是实际数据的一部分，还不能完全反映数据的真实情况，因此应用上述估算的实证结果只是基于收集数据的反映，不一定能完全反映实际情况。如何在不完整数据及小样本条件下，更合理、科学和准确地估算和预测VaR和CVaR，还有一些关键问题值得做进一步探讨。
参考文献
[1]史道济.实用极值统计方法[M].天津：天津科学技术出版社，2005：42-106.
[2]Embrechts P，et al.Modelling extreme events for insurance and finance[M].Springer Verlag，1997.
[3]Drees H，et al. Selecting the optimal sample fraction in univariate extreme value estimation[J].Stochastic Processes and their Applications，1998：149-172.
[4]陈希孺.变点统计分析简介：（I）问题的提法[J].数理统计与管理，1991，（1）：52-58.
[5]叶五一，缪柏其，谭常春.基于分位点回归模型变点检测的金融传染分析[J].数量经济技术经济研究，2007，24（10）：151-160.
基金项目：西藏民族学院青年项目（10myQ03）；国家社科基金西部项目（11XJY011）。
作者简介：汪朋（1983-），男，湖北武汉人，数理统计学硕士，讲师，统计师，研究方向：统计决策和计量经济学。
【关键词】GPD模型 变点 阈值 VaR CVaR
一、引言
风险度量是金融风险管理的基础，而风险价值（VaR）及由此衍生的条件风险价值（CVaR）是当今金融风险测量的主流方法，是应用最广泛的一种工具。传统的VaR和CVaR计算方法一般都要对金融收益的分布类型进行假设，这降低了模型的可信性。以极值理论为基础的GPD模型并不假设金融收益的整体服从某一分布，而只是研究分布的尾部特征，这样就避免了模型风险。因此，近几年来，GPD模型越来越广泛地应用于金融风险的测量之中。
但在实际处理风险度量中的厚尾问题时，阈值的选取是GPD模型的一个关键环节，阈值选择过大，则可用的数据就会很少，参数估计的方差偏大；若选择过小，则导致参数估计有偏或不相合。为此，很多学者在阈值的选择上作了大量的研究，Embrechts（1997）[2]建议使用模拟法，通过研究在不同阈值的情况下极值指数的形状来确定阈值的大小；Drees和Kaufmann（1998）[3]提出了利用重对数构造Hill估计的样本最优分割的停止时间以此选取阈值。本文在以上研究的基础上，引入变点统计理论进行定量化的阈值选取，建立GPD变点统计模型，并将此方法应用到风险价值的计算中，以验证其有效性。
二、广义Pareto分布与阈值选取
设X1，X2，…，Xn是独立同分布的随机变量序列，分布函数F支撑的上端点为x*，对某固定的大值u
■（x；μ，σ，ξ）=（1+ξ■■，ξ≠01-exp（-■），ξ=0 （1）
当ξ>0，分布具有厚尾特征，大部分金融数据都呈现出这种厚尾特征，α=1/ξ称为尾部指标，一般用Hill估计量来估计尾部指标。将X1，X2，…，Xn按照升序排列，得到次序统计量x（i），满足x（i）？叟x（i-1），i=1，2…，n。Hill（1975）提出了以下尾部指标α的Hill估计量：
α（k）=■■logx■-logx■，k=1，2，…，n-1 （2）
通过Hill估计法来选取阈值最常用的方法是作样本的Hill图，其定义为（k，α（k））：k=2，…，n的集合。阈值u要选择Hill图中呈现平稳线性状态的最大k值对应的数据Xk。观察Hill图是一种很便捷的阈值选取方法，但在实际应用中会存在两个问题：一是如何界定序列的平稳性？二是如何选择跳点？依赖于主观判断来解决这两个问题，通常会存在一定的偏差，这使得阈值的具体数值选取可能因人而异，同时难以通过计算机程序实现。为此，本文引入斜率变点，通过寻找直线中斜率发生结构性突变的点k来界定Hill估计的平稳线性状态，此点位置所对应的数值即为所求的阈值。
三、斜率变点的估计
有关变点统计的理论和变点的检测方法可见文献[4]和[6]，这里假定确有变点。按照文献[6]中斜率变点的估计方法，本文给出σ在某点前后变化最大的点，将该点作为斜率变点的估计。本文直接引用文献[6]中提出的简单模型：
y■=a■+σ■x■+ε■，1？燮i？燮k■a■+σ■x■+ε■，k■
Δ■=σ■■-σ■■ （4）
那么斜率变点的估计为Δ■达到最大的点，即k0=arg（■Δ■），如果有几个点同时达到最大，则以最临近的点作为斜率变点的估计。
四、基于变点统计方法的GPD模型
通过上面的讨论，可以考虑直线中斜率发生结构性突变的点k来界定GPD模型中Hill估计的平稳线性状态，以此建立改进的GPD模型，并将其用于VaR及CVaR的计算中，其具体实现步骤如下：
首先，通过（2）式计算GPD分布的尾部指标α的Hill估计量；
其次，通过（3）式找到使（4）达到最大的点，该点即为斜率变点所在的位置；
再次，根据斜率变点所在的位置确定GPD模型的阈值u；
最后，根据选定的阈值u，应用极值统计方法估计GPD模型的未知参数，并代入以下计算式中，得出VaR和CVaR：
VaR■=u+■■（1-p）■-1 （5）
CVaR■=■+■ （6）
其中p为显著性水平。
五、应用实例
本文以日元/美元汇率为例，检验上节所提方法应用于金融风险价值计算的有效性。采用的历史数据为1973年1月1日至2012年7月31共10422个数据（数据来源：美国联邦储备局INTERNET网站）。
（一）VaR和CVaR的计算
首先，根据极值理论，并借助R统计软件中的极值统计包evir中的hill函数，得到相应的Hill值，再利用变点统计理论对Hill估计的斜率变点进行检验可知，通过（4）中Δ■达到最大，搜索得到变点位置k0=10224，即在第10224个数据时Hill估计斜率发生了结构性变化，由此得所求阈值为u=1.5811。
根据选定的阈值，超过阈值u的样本数的个数为198个，为了提高估计的精确度，采用Bootstrap再抽样的方法，即根据这198个数据构造经验分布，再从这个分布中抽取10000个样本，一共抽10组，分别用这10组样本用极大似然估计对参数进行估计，得到σ和ξ的估计值分别为0.5142和0.1829，其标准差分别为0.05504和0.08110。再利用（5）式和（6）式得到在不同的置信水平下的VaR和CVaR，如表1。 表1 GPD模型下的VaR和CVaR
注：一般GPD模型下VaR和CVaR的计算直接引用文献[1]中的方法计算得到。
从表1可以看出，基于变点统计方法的GPD模型计算得到的不同置信水平下的VaR和CVaR值均明显大于一般极值理论建立的GPD模型所计算的VaR和CVaR值，这表明一般极值理论建立的GPD模型存在着低估风险的可能，而通过变点定量选取阈值的方法能更为精确的刻画风险程度，增加模型的灵敏度。
（二）模型的有效性检验
为检验模型的有效性，需要检验计算的VaR对实际损失的覆盖程度。根据样本计算出损失超过VaR值的天数t，进一步计算溢出率E=t/n。并将E值与显著性水平p进行比较。若E>p，说明模型低估了风险，反之表明预测结果覆盖了实际的损失，但是如果E太小则说明估计过于保守。下表给出了检验的结果：
表2 模型计算的VaR的检验结果
从上表可以看出，两个模型计算出实际溢出率E
本文利用变点统计方法改进了一般极值理论下的GPD模型，该方法能定量地确定GPD模型的阈值，克服了利用Hill估计等传统方法在选取阈值时过于依赖于主观判断的缺陷，并将建立的模型应用于金融风险度量和管理中，使得极值理论在金融风险的应用中更为精确地度量VaR和CVaR。
但是，由于本文用于实证所收集的日元/美元汇率数据可能只是实际数据的一部分，还不能完全反映数据的真实情况，因此应用上述估算的实证结果只是基于收集数据的反映，不一定能完全反映实际情况。如何在不完整数据及小样本条件下，更合理、科学和准确地估算和预测VaR和CVaR，还有一些关键问题值得做进一步探讨。
参考文献
[1]史道济.实用极值统计方法[M].天津：天津科学技术出版社，2005：42-106.
[2]Embrechts P，et al.Modelling extreme events for insurance and finance[M].Springer Verlag，1997.
[3]Drees H，et al. Selecting the optimal sample fraction in univariate extreme value estimation[J].Stochastic Processes and their Applications，1998：149-172.
[4]陈希孺.变点统计分析简介：（I）问题的提法[J].数理统计与管理，1991，（1）：52-58.
[5]叶五一，缪柏其，谭常春.基于分位点回归模型变点检测的金融传染分析[J].数量经济技术经济研究，2007，24（10）：151-160.
基金项目：西藏民族学院青年项目（10myQ03）；国家社科基金西部项目（11XJY011）。
作者简介：汪朋（1983-），男，湖北武汉人，数理统计学硕士，讲师，统计师，研究方向：统计决策和计量经济学。