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摘 要：低年级学生在数学学习中常常会因为思维的粗放而导致作业出错，传统的重复讲授往往不能有效解决这个问题。研究表明，错题档案可以让学生的数学思维更精细、数学作业更精密，从而提高学生数学作业自主订正的有效性。
关键词：错题档案；低年级学生；作业订正；数学学习
在低年级小学数学教学中，教师常常会为学生的一些匪夷所思的错误犯愁，而且教师常常无计可施，因为有些错误在教师讲了多遍之后仍会继续发生。笔者以为，这种现象是符合小学生学习数学的特点的，低年级的学生在数学学习过程中，面对错误时的订正思路往往是一种模仿性的思路，而模仿遇到的最大问题就是当情境有所变换时无法有效迁移。因此，有效的订正应当转换思路，笔者以课题的形式几经研究，发现建立错题档案的方式可以促进低年级学生在面对错误时的有效订正。自然，订正的过程就是一个数学知识的重新整合与构建的过程。
一、错题档案，带领学生科学面对学习不足
学生在数学作业中出现错误，一定是因为学习过程中某些方面的不足，如果不正视这些不足，不注意寻找改正这些不足的方法，那作业的订正可能只是纯粹的重复，学生也只可能在对教师正确答案的模仿中完成所谓的订正，这种订正的直接结果就是情境转换之后学生继续出错。更重要的是，如果学生长期运用这种订正方式，还会给学生的学习带来错觉，认为这种模仿正确答案就是订正，进而还有可能出现情境转换之后继续出错所导致的学习不自信的问题。因此，在低年级数学学习阶段就开始建立错题档案很有必要。
错题档案就是针对学生出现的错误，通过建立档案的方式积累错误情形，梳理错误类型，再通过错题回练、变式训练等方式完成从错误向正确的嬗变。低年级的学生由于自组织能力相对不足，因此错题档案的建设更多地需要教师来引导完成。
譬如在“认识乘法”一课的学习中，教材首先通过呈现一幅鸡兔插图，让学生通过加法分别得到兔的只数是：2 2 2=6（只），鸡的只数是：3 3 3 3=12（只），然后再通过“试一试”，让学生进一步认识到三个2相加可以写成3×2或者2×3，四个2相加可以写成4×2或2×4。经过这样的教学，学生在作业中常常出现的错误有：可以用乘法表示的还习惯于用加法表示；将三个2相加写成3 2；知道三个2相加是3×2，但答案却写成5……这些错误应以档案的形式记录并呈现在学生的面前。
在师生共同研究错题档案的时候，笔者针对上述不同类型，引导学生重新构建学习过程：乘法运用在建立乘法意识的基础上，首先要搞清楚是“几个几”，其次是要认识到“几个几”的乘法表示，再次是要进行针对性的训练。由于错题档案上的错误相对集中，因此学生在分析的时候往往也有着高度的指向性，从而可以保证这一学习过程不是原来学习的简单重复，而是一种更为有效的再学习。
二、错题档案，引导学生有效完善作业细节
建立错题档案的一个重要目的，是让学生形成自主的数学学习能力，而这显然离不开对数学学习细节尤其是作业细节的关注。很多时候，低年级学生在数学作业中的出错并不是理解能力有问题，而是对作业细节的关注不够，进一步就是对思维细节的关注不够。而错题档案确实在这方面有着明显的引导作用，此时，让学生自己建立错题档案也是可以尝试的。
笔者在本研究中主要的研究对象是二年级的学生，由于该学段的学生已经具有了初步的语言组织能力与分类意识，因此在日常作业中收集不同的错误并进行分类，就是错题档案形成的重要途径。笔者在认识乘法、认识图形和认识除法等知识学习完毕之后，用了两节课的时间，将学生此前做过的作业集中起来，引导学生“回头看”，看看自己在这段学习过程中曾经出现过的错题，然后进一步思考错误的原因，并在小组中互相交流出现过的错误与订正思路。这一教学环节的设计，可以让学生有机会面对曾经的错误。让笔者感到高兴的是，学生在错误分析的过程中，情绪常常是好坏交替，他们既会为看到自己的一些错误而懊恼，也会因为一些错误不应该犯（常常是看到某个错误之后挠头或者责怪自己）而自嘲，还会因为对一些错题仍感觉到困难而沉默。经过这样的讨论过程之后，笔者再让学生记录下一些有意义的错题，并附上自己的思考。
这样的过程相对于一般的整理错题集而言，有着明显的进步意义。在研究之前，笔者发现错题集常常只能收集一些错题，而没有重新研究或者反思的机会，因此错题集常常是整理完了就没什么作用了。将错题集上升为错题档案，引导学生回顾错误、研究错误并寻找新的解决方法，尤其是让学生成为这个过程的主体之后，错题档案就起到了提升学生的数学思维，完善作业细节的作用。
谈到作业细节，有一点必须强调，那就是学生在做数学作业的过程中，作业细节常常能够反映学生对数学知识的掌握与运用情况，也能够反映学生的数学学习品质。譬如说，由于审题错误而导致作业错误的情形屡见不鲜，而此时跟学生强调“认真审题”往往是没有作用的，因为审题实际上是将题目中的信息进行过滤以提取有效信息的过程，这个过程是复杂的，不是说有了认真的态度就能够解决的，归根到底，还是一种能力的培养。
而笔者在研究中就发现，在错题档案中集结一类容易出现审题错误的试题，并对这些试题进行归类，可以很好地培养学生的审题能力。如对于习题中的无关信息的过滤，可以提供一类试题让学生先犯错，然后再订正，在订正的过程中再不断地比较、鉴别。如：学校组织同学们去春游，教师与学生一共有158名，每艘大游船可坐28人，每艘小游船坐12人，问需要提供几艘大游船？像这样的数学试题很多，关键就在于过滤小游船的信息。事实证明，一道试题出错之后，再以此类习题集中训练，可以提高学生的解题能力，而这实际上就是借助错题档案提升学生的作业订正能力。
三、错题档案，面向学生的精细化学习过程
研究表明，低年级学生在数学学习中之所以常常出错，有百分之七十的原因都是因为学生的思维水平与数学学习要求之间存在距离。很多时候作为教师都会责怪学生的思维能力太差，感觉学生不够仔细等，但这实际上是有着复杂的原因的，且不说当前数学知识的编排与学生实际水平之间是否得当，就说学生的生活方式，对学生的思维方式其实也是有影响的——当前的学生在生活中基本过的是无忧无虑的生活，很多事情不需要他们去考虑解决方式，这对数学学习所需要的精细思维有着明显的负面作用。体现在作业中，就是思维的粗放性导致了相当一部分知识的理解错误甚至是低级的表达错误。
错题档案则可以有效地化解这一矛盾，如果是教师提供的错题档案，由于其具有高屋建瓴的作用更容易吸引学生的注意力，从而让学生认识到自己的数学学习与作业存在什么样的问题；如果是学生自己整理的错题档案，则由于其来源于自主认识而更容易让学生在自我反思中获得对作业细节的关注与作业能力的提升。进一步研究表明，教师所提供的错题档案往往提升的是学生显性的数学学习与作业能力，而学生自己建立的错题档案则可以有效地培养学生数学学习的默会知识，而这往往是完善学生作业细节的重要保障。
需要强调的是，建立错题档案不能只重形式，只重结果。笔者在与同行交流的过程中发现，很多同行将注意力放在学生错题档案的内容积累与表现形式上，用一本漂亮的厚厚的空白本子作为错题档案的载体，让学生用黑色颜色的笔抄题，用红笔订正，用加点字突出重点等，这些行为看起来很努力，学生的错题档案也很精美，但实际效果并不大。究其原因，是这种思路忽视了学生的思维而只注重形式，这显然是不行的。笔者的研究表明，错题档案固然是通过档案的形式来研究错题，但错题怎么会错，错题档案应当选入哪些错题，应该如何将这些错题进行归类，面对一类错题又应该归纳出哪些共性的注意点，这才是错题档案的精髓所在。忽视了这一点，错题档案很容易成为形式主义的产物！同时需要注意的是，笔者虽然强调的是订正的有效性，但只有思维的正确才能赢得订正的正确，因此数学思维才应当成为错题档案建立过程中的主线。
总之，错题档案可以有效地让学生的数学学习变得更为精细，从而明显增强作业及其订正的有效性。
关键词：错题档案；低年级学生；作业订正；数学学习
在低年级小学数学教学中，教师常常会为学生的一些匪夷所思的错误犯愁，而且教师常常无计可施，因为有些错误在教师讲了多遍之后仍会继续发生。笔者以为，这种现象是符合小学生学习数学的特点的，低年级的学生在数学学习过程中，面对错误时的订正思路往往是一种模仿性的思路，而模仿遇到的最大问题就是当情境有所变换时无法有效迁移。因此，有效的订正应当转换思路，笔者以课题的形式几经研究，发现建立错题档案的方式可以促进低年级学生在面对错误时的有效订正。自然，订正的过程就是一个数学知识的重新整合与构建的过程。
一、错题档案，带领学生科学面对学习不足
学生在数学作业中出现错误，一定是因为学习过程中某些方面的不足，如果不正视这些不足，不注意寻找改正这些不足的方法，那作业的订正可能只是纯粹的重复，学生也只可能在对教师正确答案的模仿中完成所谓的订正，这种订正的直接结果就是情境转换之后学生继续出错。更重要的是，如果学生长期运用这种订正方式，还会给学生的学习带来错觉，认为这种模仿正确答案就是订正，进而还有可能出现情境转换之后继续出错所导致的学习不自信的问题。因此，在低年级数学学习阶段就开始建立错题档案很有必要。
错题档案就是针对学生出现的错误，通过建立档案的方式积累错误情形，梳理错误类型，再通过错题回练、变式训练等方式完成从错误向正确的嬗变。低年级的学生由于自组织能力相对不足，因此错题档案的建设更多地需要教师来引导完成。
譬如在“认识乘法”一课的学习中，教材首先通过呈现一幅鸡兔插图，让学生通过加法分别得到兔的只数是：2 2 2=6（只），鸡的只数是：3 3 3 3=12（只），然后再通过“试一试”，让学生进一步认识到三个2相加可以写成3×2或者2×3，四个2相加可以写成4×2或2×4。经过这样的教学，学生在作业中常常出现的错误有：可以用乘法表示的还习惯于用加法表示；将三个2相加写成3 2；知道三个2相加是3×2，但答案却写成5……这些错误应以档案的形式记录并呈现在学生的面前。
在师生共同研究错题档案的时候，笔者针对上述不同类型，引导学生重新构建学习过程：乘法运用在建立乘法意识的基础上，首先要搞清楚是“几个几”，其次是要认识到“几个几”的乘法表示，再次是要进行针对性的训练。由于错题档案上的错误相对集中，因此学生在分析的时候往往也有着高度的指向性，从而可以保证这一学习过程不是原来学习的简单重复，而是一种更为有效的再学习。
二、错题档案，引导学生有效完善作业细节
建立错题档案的一个重要目的，是让学生形成自主的数学学习能力，而这显然离不开对数学学习细节尤其是作业细节的关注。很多时候，低年级学生在数学作业中的出错并不是理解能力有问题，而是对作业细节的关注不够，进一步就是对思维细节的关注不够。而错题档案确实在这方面有着明显的引导作用，此时，让学生自己建立错题档案也是可以尝试的。
笔者在本研究中主要的研究对象是二年级的学生，由于该学段的学生已经具有了初步的语言组织能力与分类意识，因此在日常作业中收集不同的错误并进行分类，就是错题档案形成的重要途径。笔者在认识乘法、认识图形和认识除法等知识学习完毕之后，用了两节课的时间，将学生此前做过的作业集中起来，引导学生“回头看”，看看自己在这段学习过程中曾经出现过的错题，然后进一步思考错误的原因，并在小组中互相交流出现过的错误与订正思路。这一教学环节的设计，可以让学生有机会面对曾经的错误。让笔者感到高兴的是，学生在错误分析的过程中，情绪常常是好坏交替，他们既会为看到自己的一些错误而懊恼，也会因为一些错误不应该犯（常常是看到某个错误之后挠头或者责怪自己）而自嘲，还会因为对一些错题仍感觉到困难而沉默。经过这样的讨论过程之后，笔者再让学生记录下一些有意义的错题，并附上自己的思考。
这样的过程相对于一般的整理错题集而言，有着明显的进步意义。在研究之前，笔者发现错题集常常只能收集一些错题，而没有重新研究或者反思的机会，因此错题集常常是整理完了就没什么作用了。将错题集上升为错题档案，引导学生回顾错误、研究错误并寻找新的解决方法，尤其是让学生成为这个过程的主体之后，错题档案就起到了提升学生的数学思维，完善作业细节的作用。
谈到作业细节，有一点必须强调，那就是学生在做数学作业的过程中，作业细节常常能够反映学生对数学知识的掌握与运用情况，也能够反映学生的数学学习品质。譬如说，由于审题错误而导致作业错误的情形屡见不鲜，而此时跟学生强调“认真审题”往往是没有作用的，因为审题实际上是将题目中的信息进行过滤以提取有效信息的过程，这个过程是复杂的，不是说有了认真的态度就能够解决的，归根到底，还是一种能力的培养。
而笔者在研究中就发现，在错题档案中集结一类容易出现审题错误的试题，并对这些试题进行归类，可以很好地培养学生的审题能力。如对于习题中的无关信息的过滤，可以提供一类试题让学生先犯错，然后再订正，在订正的过程中再不断地比较、鉴别。如：学校组织同学们去春游，教师与学生一共有158名，每艘大游船可坐28人，每艘小游船坐12人，问需要提供几艘大游船？像这样的数学试题很多，关键就在于过滤小游船的信息。事实证明，一道试题出错之后，再以此类习题集中训练，可以提高学生的解题能力，而这实际上就是借助错题档案提升学生的作业订正能力。
三、错题档案，面向学生的精细化学习过程
研究表明，低年级学生在数学学习中之所以常常出错，有百分之七十的原因都是因为学生的思维水平与数学学习要求之间存在距离。很多时候作为教师都会责怪学生的思维能力太差，感觉学生不够仔细等，但这实际上是有着复杂的原因的，且不说当前数学知识的编排与学生实际水平之间是否得当，就说学生的生活方式，对学生的思维方式其实也是有影响的——当前的学生在生活中基本过的是无忧无虑的生活，很多事情不需要他们去考虑解决方式，这对数学学习所需要的精细思维有着明显的负面作用。体现在作业中，就是思维的粗放性导致了相当一部分知识的理解错误甚至是低级的表达错误。
错题档案则可以有效地化解这一矛盾，如果是教师提供的错题档案，由于其具有高屋建瓴的作用更容易吸引学生的注意力，从而让学生认识到自己的数学学习与作业存在什么样的问题；如果是学生自己整理的错题档案，则由于其来源于自主认识而更容易让学生在自我反思中获得对作业细节的关注与作业能力的提升。进一步研究表明，教师所提供的错题档案往往提升的是学生显性的数学学习与作业能力，而学生自己建立的错题档案则可以有效地培养学生数学学习的默会知识，而这往往是完善学生作业细节的重要保障。
需要强调的是，建立错题档案不能只重形式，只重结果。笔者在与同行交流的过程中发现，很多同行将注意力放在学生错题档案的内容积累与表现形式上，用一本漂亮的厚厚的空白本子作为错题档案的载体，让学生用黑色颜色的笔抄题，用红笔订正，用加点字突出重点等，这些行为看起来很努力，学生的错题档案也很精美，但实际效果并不大。究其原因，是这种思路忽视了学生的思维而只注重形式，这显然是不行的。笔者的研究表明，错题档案固然是通过档案的形式来研究错题，但错题怎么会错，错题档案应当选入哪些错题，应该如何将这些错题进行归类，面对一类错题又应该归纳出哪些共性的注意点，这才是错题档案的精髓所在。忽视了这一点，错题档案很容易成为形式主义的产物！同时需要注意的是，笔者虽然强调的是订正的有效性，但只有思维的正确才能赢得订正的正确，因此数学思维才应当成为错题档案建立过程中的主线。
总之，错题档案可以有效地让学生的数学学习变得更为精细，从而明显增强作业及其订正的有效性。