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数学思想是解题的灵魂，对数学思想方法的领悟与运用渗透在整个初中阶段的数学学习中，是克服题海战术，取得优异成绩的有效策略. 在列一元一次方程解应用题过程中，若能灵活运用数学思想方法来求解，往往能取得事半功倍的效果. 现就列一元一次方程解应用题中的常见的思想方法举例说明.
一、 四个基本思想
1. 数形结合思想
数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把图形和蕴含的数量关系巧妙地结合起来，使问题更直观，更容易解决.
例1 如图1，8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
【分析】通过观察图形可以发现，由大长方形的上下两条边可以得出两个小长方形的长等于一个小长方形的长 三个小长方形的宽，从而得出一个小长方形的长等于三个小长方形的宽；同样由大长方形的左右两条边也可以得出一个小长方形的长 一个小长方形的宽=60.
解：设长方形地砖的宽为x cm，则长为3x cm，
根据题意，得：x 3x=60，
解得x=15，则3x=45.
答：长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
2. 整体思想
当一个问题中未知数较多，一个一个地求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的固定代数式看作一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.
例2 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得到的数比原来的数的3倍多489，求原数.
【分析】本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程. 如果从整体思考，视后四位数为一个整体，方便简捷.
解：设后四位所组成的数是x，则原来是20 000 x，现在是10x 2，所以10x 2=3（20 000 x） 489，
解得x=8 641.
答：原五位数为28 641.
3. 分类思想
分类讨论思想就是把应用题中包含的各种可能情况按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的.
例3 A和B两地相距1 890千米，甲乙两列火车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？
【分析】两车相距135千米，存在两种情况，相遇前相距135千米或相遇后相距135千米，所以应进行分类讨论.
解：设经过x小时后，两车相距135千米，那么甲行驶了120x千米，乙行驶了150x千米. 下面分两种情况：
1. 当两车在相遇前相距135千米时，则根据题意，得120x 135 150x=1 890，
解得x=6.5；
2. 当两车在相遇后相距135千米时，则根据题意，得120x 150x=1 890 135，
解得：x=7.5.
答：经过6.5或7.5小时两车间的距离是135千米.
4. 转化思想
转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题. 一个难以直接解决的问题，可通过深入观察和研究，将其转化为简单问题迅速求解.
例4 甲乙两人从相距50千米的两地同时相向而行，甲每小时走7千米，乙每小时走3千米，甲带一只小狗每小时走9千米，当狗一遇到乙时又返回甲处，一遇到甲时又返回乙处，直到两人相遇，求小狗走的路程.
【分析】本题看似复杂，在解题时需根据题意理清：狗重复往返跑，直到甲乙两人相遇时狗才停住，因而小狗走的时间就恰好是甲乙相遇需要的时间，所以就将求小狗走的路程问题转化为求甲乙两人相遇的时间问题，这也是本题的突破口.
解：设甲乙两人相遇时用了x小时，根据题意，得：（7 3）x=50，
解得：x=5.
则小狗走的路程是：9×5=45（千米）
答：小狗走的路程为45千米.
二、 三个常用方法
1. 设k法
利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.
例5 （2014·台湾）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积. 今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5. 若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？ （ ）
A. 5.4 B. 5.7 C. 7.2 D. 7.5
【分析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3k、4k、5k，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出甲杯内水的高度.
解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度分别为3k公分、4k公分、5k公分，根据题意，得：
60×10 80×10 100×10=60×3k 80×4k 100×5k，解得：k=2.4，则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）. 故选C.
2. 间接设法
在列一元一次方程解应用题时，有时由于问题较复杂或特殊，直接设未知数不能解或是解的过程比较复杂，这时我们可以设与所求问题相关的量为未知数，便于列方程.
例6 李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时行18千米，则比火车开出时间迟到15分钟.若李伟打算在火车开出前10分钟到达火车站.求李伟此时骑摩托车的速度该是多少？
【分析】本题若用直接设法会相当复杂，所以采用间接设法，关键抓住“早”“迟”两个时间，再根据隐藏的数量关系——路程不变来列方程.
3. 逆推法
数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算会显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法. 逆推法是解决数学问题的一种重要方法. 有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难，而用逆推法就会十分简便.
例7 王大伯卖西瓜，第一天卖了全部的一半还多1个，第二天卖出剩下的一半还多3个，正好全部卖完. 一共有多少个西瓜？
【试一试】
（2015·宁德）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截至2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？
参考答案：
【分析】设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意得出方程2x-2 x 5=57，解得即可.
解：设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意，得：2x-2 x 5=57，
解得：x=18， ∴2x-2=34.
答：亚洲和欧洲的意向创始成员国各有34个和18个.
（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）
一、 四个基本思想
1. 数形结合思想
数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形、由形想数，把图形和蕴含的数量关系巧妙地结合起来，使问题更直观，更容易解决.
例1 如图1，8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
【分析】通过观察图形可以发现，由大长方形的上下两条边可以得出两个小长方形的长等于一个小长方形的长 三个小长方形的宽，从而得出一个小长方形的长等于三个小长方形的宽；同样由大长方形的左右两条边也可以得出一个小长方形的长 一个小长方形的宽=60.
解：设长方形地砖的宽为x cm，则长为3x cm，
根据题意，得：x 3x=60，
解得x=15，则3x=45.
答：长方形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.
2. 整体思想
当一个问题中未知数较多，一个一个地求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的固定代数式看作一个整体，通盘考虑，则可既便于列方程，又便于解方程.
例2 一个五位数最高位上的数字是2，如果把这个数字移到个位数字的右边，那么所得到的数比原来的数的3倍多489，求原数.
【分析】本题若逐个设出各位数字，则未知数过多，不易列出方程. 如果从整体思考，视后四位数为一个整体，方便简捷.
解：设后四位所组成的数是x，则原来是20 000 x，现在是10x 2，所以10x 2=3（20 000 x） 489，
解得x=8 641.
答：原五位数为28 641.
3. 分类思想
分类讨论思想就是把应用题中包含的各种可能情况按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的.
例3 A和B两地相距1 890千米，甲乙两列火车分别从A，B两地同时出发相向而行，甲每小时行120千米，乙每小时行150千米，经过多长时间两车间的距离是135千米？
【分析】两车相距135千米，存在两种情况，相遇前相距135千米或相遇后相距135千米，所以应进行分类讨论.
解：设经过x小时后，两车相距135千米，那么甲行驶了120x千米，乙行驶了150x千米. 下面分两种情况：
1. 当两车在相遇前相距135千米时，则根据题意，得120x 135 150x=1 890，
解得x=6.5；
2. 当两车在相遇后相距135千米时，则根据题意，得120x 150x=1 890 135，
解得：x=7.5.
答：经过6.5或7.5小时两车间的距离是135千米.
4. 转化思想
转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题. 一个难以直接解决的问题，可通过深入观察和研究，将其转化为简单问题迅速求解.
例4 甲乙两人从相距50千米的两地同时相向而行，甲每小时走7千米，乙每小时走3千米，甲带一只小狗每小时走9千米，当狗一遇到乙时又返回甲处，一遇到甲时又返回乙处，直到两人相遇，求小狗走的路程.
【分析】本题看似复杂，在解题时需根据题意理清：狗重复往返跑，直到甲乙两人相遇时狗才停住，因而小狗走的时间就恰好是甲乙相遇需要的时间，所以就将求小狗走的路程问题转化为求甲乙两人相遇的时间问题，这也是本题的突破口.
解：设甲乙两人相遇时用了x小时，根据题意，得：（7 3）x=50，
解得：x=5.
则小狗走的路程是：9×5=45（千米）
答：小狗走的路程为45千米.
二、 三个常用方法
1. 设k法
利用一元一次方程解应用题时经常会遇到有关比例问题，这时若能巧妙地设定未知单位量k，就能轻松地列出方程求解.
例5 （2014·台湾）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15公分，各装有10公分高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积. 今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5. 若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少公分？ （ ）
A. 5.4 B. 5.7 C. 7.2 D. 7.5
【分析】根据甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5，设后来甲、乙、丙三杯内水的高度为3k、4k、5k，由表格中的数据列出方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出甲杯内水的高度.
解：设后来甲、乙、丙三杯内水的高度分别为3k公分、4k公分、5k公分，根据题意，得：
60×10 80×10 100×10=60×3k 80×4k 100×5k，解得：k=2.4，则甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2（公分）. 故选C.
2. 间接设法
在列一元一次方程解应用题时，有时由于问题较复杂或特殊，直接设未知数不能解或是解的过程比较复杂，这时我们可以设与所求问题相关的量为未知数，便于列方程.
例6 李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟.若每小时行18千米，则比火车开出时间迟到15分钟.若李伟打算在火车开出前10分钟到达火车站.求李伟此时骑摩托车的速度该是多少？
【分析】本题若用直接设法会相当复杂，所以采用间接设法，关键抓住“早”“迟”两个时间，再根据隐藏的数量关系——路程不变来列方程.
3. 逆推法
数学中有些问题，如果按照题意叙述由后往前推算会显得很简单，这种解决问题的方法叫逆推法. 逆推法是解决数学问题的一种重要方法. 有些数学问题若按常规思维方法考虑非常困难，而用逆推法就会十分简便.
例7 王大伯卖西瓜，第一天卖了全部的一半还多1个，第二天卖出剩下的一半还多3个，正好全部卖完. 一共有多少个西瓜？
【试一试】
（2015·宁德）为支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截至2015年4月15日，亚投行意向创始成员国确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？
参考答案：
【分析】设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意得出方程2x-2 x 5=57，解得即可.
解：设欧洲的意向创始成员国有x个，亚洲的意向创始成员国有（2x-2）个，根据题意，得：2x-2 x 5=57，
解得：x=18， ∴2x-2=34.
答：亚洲和欧洲的意向创始成员国各有34个和18个.
（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）