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一、Copula-MEM 模型简介
本文的主要目的是对三类不同波动率指标在不同时点的动态条件相关性建模。运用Copula技术来构建金融模型的方法，可以将边缘分布和变量间的相关结构分开来研究：第一步对三序列分别确立边缘分布模型，第二步对所拟合的边缘分布模型的标准化残差序列进行概率积分转化，并对转化后的序列定义一个合适的Copula函数用于描述序列间的相依结构。
（一）边际分布模型-MEM 选择一个合适的边缘分布模型是构建Copula模型的重要前提。基于金融时间序列数据的尖峰、偏态、非负值及非正态特征， 我们假定绝对值收益率、每日高低价差和日内已实现波动率这三类非负值序列可以由Engle（2002）中提出的MEM模型来拟合。即该序列可以由一个时变比例因子 和一个标准化正值随机变量 的乘积来构成。 因而，我们可以通过对 ?着t规定一个参数密度函数， 对?滋t规定一个方程来建立MEM模型： （1）
基于Gamma类概率密度函数的灵活性，我们效仿ACD模型的建模方法，假定三序列分别服从不同参数的Gamma分布。由于误差项必须满足单位均值，我们限定?酌n=1δn，即形状参数是比例参数的倒数。最后根据下式所得出的密度函数可以用于进行极大似然估计。
（二）Copula简介 Copula是将N个随机变量的边缘分布与它们的联合分布相连接的一种函数。
（1）多元Copula函数。构建描述的多元金融时间序列间相关关系模型的第二步则是要选择一个合适的Copula函数，现有的适合于分析多元动态相关关系的Copula函数主要有两类：Gaussian Copula和 t Copula。
一是多元正态Copula函数：
C（u1，…，uN，?籽）=?椎?籽（?椎-1（u1），…，?椎-1（uN））（3）
二是多元t-Copula函数：
C（u1，…，uN，?籽，v）=T?籽，v（t-1v（u1），…，t-1N（uN）） （4）
T?籽，v表示相关系数矩阵为?籽，自由度为v的标准多元t分布， t-1v（·）为自由度为v的一元t分布的逆函数：yn=t-1v（un）。
（2）时变相关的Copula。通过定义相关参数?籽t随时间变化的方程，我们可以得到时变相关的Copula模型。下文 （7）
其中，和R分别是相关变量的协方差和相关系数，t是对角线元素为Qt平方根，对角线下元素全为零n×n维矩阵，rt是?着t在不同时点的相关系数。基于以有的研究成果，该DCC和TVC方法仅适用于Gaussian和t Copula模型。
二、实证分析
将基于Copula-MEM模型对沪深300指数的三种不同收益率测量指标建模，即已实现收益率、每日高低价差及绝对值收益率。
（一）实证数据 分析数据来源于2005年6月6日至2010年10月25日的沪深300指数。通过加总每日十分钟间隔收益率的平方，得到已实现收益率的平方序列rv2。用Ht和Lt分别表示沪深300指数每日最高价和最低价，得到每日高低价差序列 hl2t=（log（Ht/Lt））2，用Ct表示每日收盘价格，得到日收益率序列r2t=（log（Ct/Ct-1））2。由于取平方后序列值偏小，为了分析的方便将三组序列的数值分别放大10000倍。剔除2007年2月27日这个极端异常值，共得到1299个观察值。
（二）模型估计首先分别估计出三个单变量边缘分布模型中的参数，然后再估计Copula函数中的参数， 最后根据Copula所估计出来的参数将其代入到DCC或TVC模型中计算动态相关系数。 总体而言，两步估计法以损失效率为代价而达到了计算上的便利。
（1）边缘分布模型的估计结果。采用极大似然估计法分别三个单变量MEM模型进行拟合，其估计结果如表1所示：
结果表明，滞后二期的波动率对当期的条件均值关生了显著的影响， 且三序列的αi+βj值较接近1，说明三波动率指标的变化具有持续性。三收益率序列均服从不同参数的Gamma分布，所以线性相关系数不能度量序列间的相关关系。将表2中所估计出的参数代入公式（4），得到标准化残差序列εnt=Xnt/nt，该序列经过概率积分变换后的新序列：ε_rvt，ε_hlt和ε_rrt，经K-S 检验均服从［0，1］分布，条件边缘分布MEM（2，2）模型的设定是正确的。
（2）Copula模型的估计结果。如表2所示：
表2中的估计结果表明，基于DCC（1，1）拟合的t-Copula模型的对数似然值LL最小，相比Gaussian-Copula更适合于对三波动率序列建模，根据所估计出的参数生成三序列间的动态相关系数表明各序列间的相关系数的其变化趋势较为一致，一些活跃的价格波动主要集中在较短的时期内。
三、结论
作为一种新兴的统计工具，使用Copula技术使我们得以用一种较简单的方法来处理相对复杂的金融问题。 本文将Copula技术应用于具有非负值特征，非正态分布、 非线性相关的金融时间序列，构建了时变Copula-MEM模型。实证结果表明，与Gaussian-Copula函数相比， t-Copula函数更适合于描述三波动率序列间的相关关系。 同时，本文的实证结果也对投资者有一定的指导意义， 将三个波动率指标共同合并在一个动态相关模型中， 有助于提高对不同类型的波动率变化模式的理解能力。
在构建时变Copula-MEM模型的过程中，仍然存在很多值得继续深入研究的地方，总体来说，现阶段对时变Copula模型的研究还不多，还有很多问题需要完善或深入研究，关于不同类型的时变Copula函数的应用程序也急需进一步的开发并纳入各种统计分析软件。
参考文献：
［1］韦艳华、张世英：《多元Copula-Garch 模型及其在金融风险分析上的应用》，《数理统计与管理》2007年第3期。
［2］Engle， R.F.， 2002， Dynamic Conditional Correlation - A Simple Class of Multivariate GARCH Models［J］， Journal of Business and Economic Statistics， 20（3）， 339-350.
［本文系国家自然科学基金资助项目（编号：70971051）阶段性研究成果］
（编辑 杜 昌）
本文的主要目的是对三类不同波动率指标在不同时点的动态条件相关性建模。运用Copula技术来构建金融模型的方法，可以将边缘分布和变量间的相关结构分开来研究：第一步对三序列分别确立边缘分布模型，第二步对所拟合的边缘分布模型的标准化残差序列进行概率积分转化，并对转化后的序列定义一个合适的Copula函数用于描述序列间的相依结构。
（一）边际分布模型-MEM 选择一个合适的边缘分布模型是构建Copula模型的重要前提。基于金融时间序列数据的尖峰、偏态、非负值及非正态特征， 我们假定绝对值收益率、每日高低价差和日内已实现波动率这三类非负值序列可以由Engle（2002）中提出的MEM模型来拟合。即该序列可以由一个时变比例因子 和一个标准化正值随机变量 的乘积来构成。 因而，我们可以通过对 ?着t规定一个参数密度函数， 对?滋t规定一个方程来建立MEM模型： （1）
基于Gamma类概率密度函数的灵活性，我们效仿ACD模型的建模方法，假定三序列分别服从不同参数的Gamma分布。由于误差项必须满足单位均值，我们限定?酌n=1δn，即形状参数是比例参数的倒数。最后根据下式所得出的密度函数可以用于进行极大似然估计。
（二）Copula简介 Copula是将N个随机变量的边缘分布与它们的联合分布相连接的一种函数。
（1）多元Copula函数。构建描述的多元金融时间序列间相关关系模型的第二步则是要选择一个合适的Copula函数，现有的适合于分析多元动态相关关系的Copula函数主要有两类：Gaussian Copula和 t Copula。
一是多元正态Copula函数：
C（u1，…，uN，?籽）=?椎?籽（?椎-1（u1），…，?椎-1（uN））（3）
二是多元t-Copula函数：
C（u1，…，uN，?籽，v）=T?籽，v（t-1v（u1），…，t-1N（uN）） （4）
T?籽，v表示相关系数矩阵为?籽，自由度为v的标准多元t分布， t-1v（·）为自由度为v的一元t分布的逆函数：yn=t-1v（un）。
（2）时变相关的Copula。通过定义相关参数?籽t随时间变化的方程，我们可以得到时变相关的Copula模型。下文 （7）
其中，和R分别是相关变量的协方差和相关系数，t是对角线元素为Qt平方根，对角线下元素全为零n×n维矩阵，rt是?着t在不同时点的相关系数。基于以有的研究成果，该DCC和TVC方法仅适用于Gaussian和t Copula模型。
二、实证分析
将基于Copula-MEM模型对沪深300指数的三种不同收益率测量指标建模，即已实现收益率、每日高低价差及绝对值收益率。
（一）实证数据 分析数据来源于2005年6月6日至2010年10月25日的沪深300指数。通过加总每日十分钟间隔收益率的平方，得到已实现收益率的平方序列rv2。用Ht和Lt分别表示沪深300指数每日最高价和最低价，得到每日高低价差序列 hl2t=（log（Ht/Lt））2，用Ct表示每日收盘价格，得到日收益率序列r2t=（log（Ct/Ct-1））2。由于取平方后序列值偏小，为了分析的方便将三组序列的数值分别放大10000倍。剔除2007年2月27日这个极端异常值，共得到1299个观察值。
（二）模型估计首先分别估计出三个单变量边缘分布模型中的参数，然后再估计Copula函数中的参数， 最后根据Copula所估计出来的参数将其代入到DCC或TVC模型中计算动态相关系数。 总体而言，两步估计法以损失效率为代价而达到了计算上的便利。
（1）边缘分布模型的估计结果。采用极大似然估计法分别三个单变量MEM模型进行拟合，其估计结果如表1所示：
结果表明，滞后二期的波动率对当期的条件均值关生了显著的影响， 且三序列的αi+βj值较接近1，说明三波动率指标的变化具有持续性。三收益率序列均服从不同参数的Gamma分布，所以线性相关系数不能度量序列间的相关关系。将表2中所估计出的参数代入公式（4），得到标准化残差序列εnt=Xnt/nt，该序列经过概率积分变换后的新序列：ε_rvt，ε_hlt和ε_rrt，经K-S 检验均服从［0，1］分布，条件边缘分布MEM（2，2）模型的设定是正确的。
（2）Copula模型的估计结果。如表2所示：
表2中的估计结果表明，基于DCC（1，1）拟合的t-Copula模型的对数似然值LL最小，相比Gaussian-Copula更适合于对三波动率序列建模，根据所估计出的参数生成三序列间的动态相关系数表明各序列间的相关系数的其变化趋势较为一致，一些活跃的价格波动主要集中在较短的时期内。
三、结论
作为一种新兴的统计工具，使用Copula技术使我们得以用一种较简单的方法来处理相对复杂的金融问题。 本文将Copula技术应用于具有非负值特征，非正态分布、 非线性相关的金融时间序列，构建了时变Copula-MEM模型。实证结果表明，与Gaussian-Copula函数相比， t-Copula函数更适合于描述三波动率序列间的相关关系。 同时，本文的实证结果也对投资者有一定的指导意义， 将三个波动率指标共同合并在一个动态相关模型中， 有助于提高对不同类型的波动率变化模式的理解能力。
在构建时变Copula-MEM模型的过程中，仍然存在很多值得继续深入研究的地方，总体来说，现阶段对时变Copula模型的研究还不多，还有很多问题需要完善或深入研究，关于不同类型的时变Copula函数的应用程序也急需进一步的开发并纳入各种统计分析软件。
参考文献：
［1］韦艳华、张世英：《多元Copula-Garch 模型及其在金融风险分析上的应用》，《数理统计与管理》2007年第3期。
［2］Engle， R.F.， 2002， Dynamic Conditional Correlation - A Simple Class of Multivariate GARCH Models［J］， Journal of Business and Economic Statistics， 20（3）， 339-350.
［本文系国家自然科学基金资助项目（编号：70971051）阶段性研究成果］
（编辑 杜 昌）