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【摘要】本文利用博弈论的理论和方法，研究BOT项目特许期的决策问题。在借鉴已有的特许期决策模型的基础上，基于完全信息动态博弈理论建立了政府与投资企业关于特许期决策的讨价还价模型，并进行推导和求解，得到特许期的最优决策，为BOT项目特许期的决策提供了理论的分析方法。
【关键词】BOT项目；特许期；讨价还价
【Abstract】 This paper analyzes the decision-making method on the concession term for BOT projects， on the basis of game theory and methods. This paper establishes a bargaining game model between the investor and the government， finds the optimum decision making model of the concession term， and provides a systematic method for determining the concession term of BOT projects.
【Keywords】 BOT Project； concession term； bargaining theory
1、引言
目前，对于公共基础设施BOT特许经营领域研究较多的是关于法律法规、制度监管、项目风险和市场价格等方面，而对于特许经营模式下特许期（concession term）的研究还不多，事实上特许期是BOT特许经营协议中最为关键的内容之一，能否合理的确定特许期是保证投资者、政府及公众权益的关键。目前，对于公共基础设施特许期的研究主要是从收益和现金流量的角度出发，但是BOT项目的建设和运营时间一般都很长，期间收益和现金流量受许多不确定因素影响，因此从该角度分析具有一定的局限性。本文将利用博弈论（game theory）的理论和方法分析BOT项目的特许期问题。
2、基于项目净现值的特许期决策模型
东南大学的李启明教授[2]等人全面分析了特许期所受到的诸多影响因素，并把这些影响因素分为两大类：项目类型、项目融资方案、项目运营和维护方案、项目风险及其分配等项目内部因素和法律、政策、技术、税务、市场、环境保护、可持续发展战略等在内的项目外部因素。
在此基础上他们把特许期（Tc）分为基本期（Tc1）和宽限期（Tc2）。
即Tc=Tc1+Tc2 （1）
其中：Tc1——表示由项目内部环境（主要是项目的技术、经济方案）所决定的基本期
Tc2——表示由项目外部环境（包括政策、市场、优惠条件等）所决定的宽限期
并从项目净现值的角度建立了基本期Tc1的数量决策模型，通过求解得到了基本期Tc1的具体数值。但对于宽限期Tc2并没有给出具体的规定和计算公式，仅仅列举了影响宽限期Tc2一些因素。
现在依据该文献的分析思路和思想，结合原文中的“BOT项目时间与净现值关系图”，我们得到本文的“基于项目净现值的特许期决策示意图”，如图1所示。
其中：Tc代表BOT项目的特许期；Tr代表BOT项目的基本收益期，等于基本期Tc1；Tf代表BOT项目的经济寿命期；I代表BOT项目投资者的投资总额；r代表BOT项目基准投资收益率；Ir代表BOT项目在基本收益期Tr内的基本收益；NPV（Tc）代表BOT项目在特许期Tc内产生的净现值；NPV（Tf）代表BOT项目在整个经济寿命期Tf内产生的净现值；NPV（Tc2）代表BOT项目在宽限期Tc2内产生的净现值。
Tc1=Tr（2）
把式（2）代入式（1）可得：
Tc=Tr+Tc2 （3）
在BOT项目的基本收益期Tr结束时，项目投资者获得了项目的基本收益Ir。但由于还承担了BOT项目外部的诸多风险，从风险补偿原则出发，项目投资者还需要获得一定的补偿。所以在基本收益期基本收益期Tr结束后，项目特许期应得到适当的宽限，项目投资者所获得的补偿即为项目在特许权宽限期Tc2内产生的净现值NPV（Tc2）。
如图1所示，在剩下的BOT项目运营时间 （Tf-Tr）里，项目产生的净现值为“ NPV（Tf）-Ir ”，于是就这部分的项目收益，项目投资者与政府进行讨价还价，以图在宽限期Tc2内获得更多的收益 NPV （Tc2 ）。
下面将继续李启明教授等人的研究，利用博弈论的工具和思想，建立政府与项目投资者之间的讨价还价博弈模型，通过分析在项目特许权宽限期Tc2内项目投资者的收益来推导出特许权宽限期Tc2的长度，从而获得特许期Tc的确切长度。
3、特许期讨价还价博弈决策模型的描述与假设
政府与项目投资者首先需要共同设定合理的项目基准收益率r，并根据项目的投资I确定项目投资者的基本收益Ir。所谓基准收益率是指投资项目要求达到的最低投资收益。在我国，投资项目的基准收益率一般是参照行业的相关规定来设定的。
项目投资者在基本收益期Tr内获得基本收益Ir后，项目剩下的收益为：
R=NPV（Tf）-Ir（4）
政府与项目投资者就针对项目的这部分收益进行讨价还价，并由此决定项目特许权宽限期Tc2的长度，最终获得特许期Tc的确切时间点。
如果讨价还价的结果是政府获得了项目剩下的全部收益R，项目投资者仅获得基本收益，项目特许权宽限期Tc2=0，根据上文的设定，可得：项目特许期Tc=Tc1=Tr；如果讨价还价的结果是投资者获得了项目剩下的全部收益R，项目特许权宽限期Tc2= Tf- Tc1，则项目特许期Tc= Tf。上述这两种情况为极端状况，一般不会发生，否则BOT也就失去其现实意义。作为理性参与者，政府和项目投资者不会轻易放弃谈判，而是通过讨价还价的方式来分享项目利益R，尽量就项目特许权宽限期达成一致，從而最终得到合理的特许期长度。 除上述的设定外，为了讨论的方便，在本文中政府与投资者的讨价还价博弈还遵循以下五个假设：
（1）理性的参与人
参与讨价还价的双方为政府和项目投资者（企业、组织等），政府用G来表示，项目投资者用E来表示。双方都有着充分的理性，即对各种行为的利弊得失都有着完美的计算能力。对项目剩下的收益“ NPV（Tf）-Ir ”，双方都积极争取。
（2）理想的BOT 项目及其营运环境
所谓理想的BOT 项目是指：项目的总投资I 不变，即在项目的经济寿命期内不再追加投资；项目在建设期内按时按标准完工；试运营期忽略不计，投产第一年产量即达到设计；项目的产量等于销售量等等。
理想的营运环境包括：相关政策及法律法规稳定不变；销量、价格、运营成本、基准收益率和销售税率等市场因素不变；汇率、贷款利率等货币因素都保持相对的稳定等。
这样，项目在整个经济寿命期内的净现金流量保持恒定，项目在单位时间内产生的净现金流量保持一定。
（3）完全信息
参与双方所拥有的完全信息包括三个方面：BOT 项目的信息、讨价还价的规则以及参与双方的信息。就是说对于BOT 项目与讨价还价规则，政府与投资者都拥有相同且完全的信息，而且双方都十分了解对方讨价还价的战略及相应的支付。
（4）贴现因子
在这里，贴现因子除了表示政府与投资者的耐心外，由于在讨价还价的谈判中，双方都需要消耗一定的成本，所以贴现因子还包括谈判成本。谈判成本包括两个方面：谈判费用和时间价值。谈判费用是指双方为举行谈判时在谈判场地、咨询与顾问、人工等方面所必须支出的各项费用。所谓时间价值就是双方早结束讨价还价谈判，签署合同，获得的利益比晚结束谈判签约能够获得更多的利益。
本文为了方便讨论将双方的谈判成本和耐心因子归并为一个参数贴现因子δ（0<δ<1）。政府的贴现因子记为δG，投资者的贴现因子记为δE。即对于投资者来说，在下一轮讨价还价中的收益1 元相当于在本轮收益的δE 元；对于政府来说，在下一轮讨价还价中的收益1 元相當于在本轮单位收益的δG 元。
（5）出价规则与支付。
在轮流讨价还价博弈模型中存在“先动优势”，所以本文为了在一定程度上消除“先动优势”的负面影响，将分别考虑政府与项目投资者这两个参与者分别先出价的情况。再使用逆向归纳法分别求出这两个模型的子博弈精炼纳什均衡，由此得到特许期长度的一个可行解的区间。
图2 是政府首先出价的讨价还价博弈树。政府首先出价，投资者决定是否接受政府的出价。如果投资者接受政府的出价，则讨价还价博弈结束，两者将分别得到由政府出价的支付；若投资者不接受政府的出价，投资者就进还价，由政府决定是否接受投资者的还价，依次
直至博弈结束。在该博弈过程中存在两类无限数量的子博弈，我们把政府出价的子博弈记为G1，投资者还价的子博弈记为E2。假设在子博弈G1 中政府能够获得的最大支付为RG1，最小支付为rG1；在子博弈E2 中投资者能够获得的最大支付为RE2，最小支付为rE2。
图3 是投资者首先出价的讨价还价博弈树。投资者首先出价，政府决定是否接受投资资者的出价。如果政府则接受投资者的出价，则讨价还价博弈结束，两者将分别得到由投资者出价的支付；若政府不接受投资者的出价，政府就进行还价，由投资者决定是否接受政府的出价，依次直至博弈结束。在该博弈过程中也存在两类无限数量的子博弈，我们把投资者出价的子博弈记为E1，政府还价的子博弈记为G2。设在子博弈E1 中投资者能够获得的最大支付为RE1，最小支付为rE1；在子博弈G2 中政府能够获得的最大支付为RG2，最小支付为rG2。
4、讨价还价博弈模型的求解
在对模型进行了必要的描述和假设后，下面就通过逆向归纳法来求解这两个完美动态博弈的子博弈精炼纳什均衡解。
4.1 政府先出价的讨价还价博弈模型的求解
政府先出价的讨价还价博弈过程如图3 所示。政府首先出价时，必须要认真分析投资者对其报价接受的可能性，在本着减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，政府充分考虑投资者的收益，提出一个较为合理的价格。
在子博弈G1 中，由于投资者不接受政府的报价可能获得的支付至少为δErE2，最多为δERE2，所以政府的报价必须在这两者之间。这是因为投资者在不接受政府在子博弈G1 中的报价后进入子博弈E2 后，可以获得的最大支付为RE2，最小支付为rE2。但是进入子博弈E2后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上投资者的耐心，此时投资者的最大支付为δERE2，最小为δErE2。
这样对于政府来说，其约束条件就是使投资者在子博弈G1 种获得的收益等于投资者不接受政府的出价进入在子博弈E2 后获得的支付。由此我们可以得到政府在子博弈G1 中的最大支付为（R-δErE2 ），最小支付为（R-δERE2）
政府在子博弈G1 的出价应满足条件：
（5）
（6）
现在如果投资者拒绝了政府在子博弈G1 中的出价，则进入由投资者还价的子博弈E2。投资者此时还价时也要遵循减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，在充分考虑政府的收益后，提出一个合理的价格。在子博弈E2中，由于政府不接受投资者的还价可能获得的支付至少为δGrG1 ，最多为δGRG1 ，所以投资者的还价必须在这两者之间。因为政府在不接受投资者在子博弈E2中的还价后进入下一轮子博弈G1 后，可以获得的最大支付为RG1，最小支付为rG1。但是进入子博弈G1 后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上政府的耐心，此时政府的最大支付为δGRG1，最小支付为 δGrG1 。
这样对于投资者来说，其约束条件就是使政府在子博弈E2 种获得的收益等于政府不接受投资者的还价进入在子博弈G1 后获得的支付。由此我们可以得到政府在子博弈G1 中的最大支付为（R- δGrG1 ），最小支付为（ R-δGRG1）。 投资者在子博弈E2 的出价应满足条件：
（7）
（8）
将式（8）代入式（5）可得：
（9）
将式（7）代入式（6）可得：
（10）
只有当式（9）和式（10）都取等号时才能满足上文的假设（5），所以可得该博弈的子博弈精炼纳什均衡为：
（11）
至此，我们利用逆向归纳法求出了在政府先出价的讨价还价博弈模型中，政府在子博弈G1 中的支付为： ， 投资者的支付为， 即
。
这样，投资者在特许权宽限期Tc2 内获得的收益为：
（12）
特许权宽限期Tc2 为：
（13）
把式（13）和基本收益期Tr 代入式（3）可得：
（14）
由此，我们通过求解政府先出价的讨价还价博弈模型得到了投资者在特许权宽限期Tc2内的收益。通过项目净现值和时间的关系，确定了特许权宽限期Tc2 的长度，并最终得到了特许期长度Tc 。
4.2 投资者先出价的讨价还价博弈模型的求解
在讨论了政府先出价的情况后，下面将对项目投资者先出价的讨价还价博弈模型进行求解。投资者先出价的讨价还价博弈过程。投资者首先出价时，同样也要必须认真分析政府对其报价接受的可能性，在本着减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，投资者充分考虑政府的收益，提出一个较为合理的价格。在子博弈E1 中，由于政府不接受投资者的报价可能获得的支付至少为δGrG2，最多为δGRG2，所以投资者的报价必须在这两者之间。这是因为政府在不接受投资者在子博弈E1 中的报价后进入子博弈G2 后，可以获得的最大支付为RG2，最小支付为rG2。但是进入子博弈G2 后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上政府的耐心，此时政府的最大支付为δGRG2，最小为δGrG2。
这样对于投资者来说，其约束条件就是使政府在子博弈E1 种获得的收益等于政府不接受投资者的出价进入在子博弈G2 后获得的支付。由此我们可以得到投资者在子博弈E1 中的最大支付为（R-δGrG2 ），最小支付为（ R-δGRG2）。
投资者在子博弈E1 的出价应满足条件：
（15）
（16）
现在如果政府拒绝了投资者在子博弈G1 中的出价，则进入由政府还价的子博弈G2。政府此时还价时也要遵循减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，在充分考虑政府的收益后，提出一个合理的价格。
在子博弈G2 中，由于投资者不接受政府的还价可能获得的支付至少为δErE1 ，最多为δERE1 ，所以政府的还价必须在这两者之间。因为投资者在不接受政府在子博弈G2中的还价后进入下一轮子博弈E1 后，可以获得的最大支付为RE1，最小支付为rE1。但是进入子博弈E1 后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上投资者的耐心，此时投资者的最大支付为δERE1，最小支付为δErE1 。
这样对于政府来说，其约束条件就是使投资者在子博弈G2 种获得的收益等于投资者不接受政府的还价进入在子博弈E1 后获得的支付。由此我们可以得到政府在子博弈G2 中的最大支付为（R-δErE1 ），最小支付为（ R-δERE1）。
政府在子博弈G2 的出价应满足条件：
（17）
（18）
将式（18）代入式（15）可得：
（19）
将式（17）代入式（16）可得：
（20）
只有当式（19）和式（20）都取等号时才能满足上文的假设（5），所以可得该博弈的子博弈精炼纳什均衡为：
（21）
至此，我们利用逆向归纳法求出了在投资者先出价的讨价还价博弈模型中，投资者在子博弈E1中的支付为：R（1-δG ）/（1-δEδG ）。
这样，投资者在特许权宽限期 内获得的收益为：
（22）
由此，我们通过求解投资者先出价的讨价还价博弈模型得到了投资者在特许权宽限期T'c 2 内的收益。通过项目净现值和时间的关系，确定了特许权宽限期T'c 2 的长度，并最终得到了特许期长度T'c 。
结论：
由式（14）和式（24）我们可以得到特许期长度的两个可能解： T c 和T'c ，特许期长度T*C的区间为 。只要重复上述两个讨价还价博弈，就可以将该区间逐渐缩小，直至一点，该点就是特许期长度的确切时间点。
至此，本文在完全信息动态博弈的情况下，通过建立政府与项目投资者之间的讨价还价模型，得到了投资者在特许宽限期内收益，并根据项目净现值与时间的关系，确定了项目的特许权宽限期的长度，并最终得到了特许期长度可行解的一个区间。
但是这些结论都建立在完全信息和一些假设的基础上，比如假设（2）“理想的BOT 项目及其营运环境”在现实环境中很难实现，假设（3）完全信息的要求在现实环境中一般也很难达到。對模型的推导，最后虽然得到了特许期可行解的一个区间，但是在现实中要想利用该模型得到特许期确切的时间点还很困难。所以该模型还很难应用到实践中，存在不少局限，需要进一步的改进和完善。
参考文献：
[1]傅涛，陈吉宁，傅平.城市水业的BOT 及其法律问题，清华水业蓝皮书（系列之四）.http：//www.h2o-china.com.
[2]李启明，申立银.基础设施BOT 项目特许权期的决策模型[J].管理工程学报.2000，1：43～46.
[3] [美]约翰·纳什著.张良桥，王晓刚译.王则柯校.纳什博弈论论文集.北京：首都经济贸易大学出版社，2000.
[4] J. Nash.Equilibrium Points N-person Games [J].Proceedings of the National Academy of Science of the United Stations of America，1950，（36）：48-49.
[5] J. Nash.The Bargaining Problem [J].Econometrica，1950，（18）：155-162.9
[6] J. Nash.Non-cooperative Games [J].Annals of Mathematics，1951，（54）：286-295.
[7] A .Rubinstein.Perfect Equilibrium in a Bargaining model [J].Econometrica，1982，（50）：97-109.
[8]张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海：上海三联书店，上海人民出版社，1996：200-207.
作者简介：
侍玉成（1981.11.16），男，籍贯：江苏；职称：工程师；研究方向：项目融资。
周翼华（1986.11.9），男，籍贯：江苏；职称：工程师；研究方向：路桥专业。
【关键词】BOT项目；特许期；讨价还价
【Abstract】 This paper analyzes the decision-making method on the concession term for BOT projects， on the basis of game theory and methods. This paper establishes a bargaining game model between the investor and the government， finds the optimum decision making model of the concession term， and provides a systematic method for determining the concession term of BOT projects.
【Keywords】 BOT Project； concession term； bargaining theory
1、引言
目前，对于公共基础设施BOT特许经营领域研究较多的是关于法律法规、制度监管、项目风险和市场价格等方面，而对于特许经营模式下特许期（concession term）的研究还不多，事实上特许期是BOT特许经营协议中最为关键的内容之一，能否合理的确定特许期是保证投资者、政府及公众权益的关键。目前，对于公共基础设施特许期的研究主要是从收益和现金流量的角度出发，但是BOT项目的建设和运营时间一般都很长，期间收益和现金流量受许多不确定因素影响，因此从该角度分析具有一定的局限性。本文将利用博弈论（game theory）的理论和方法分析BOT项目的特许期问题。
2、基于项目净现值的特许期决策模型
东南大学的李启明教授[2]等人全面分析了特许期所受到的诸多影响因素，并把这些影响因素分为两大类：项目类型、项目融资方案、项目运营和维护方案、项目风险及其分配等项目内部因素和法律、政策、技术、税务、市场、环境保护、可持续发展战略等在内的项目外部因素。
在此基础上他们把特许期（Tc）分为基本期（Tc1）和宽限期（Tc2）。
即Tc=Tc1+Tc2 （1）
其中：Tc1——表示由项目内部环境（主要是项目的技术、经济方案）所决定的基本期
Tc2——表示由项目外部环境（包括政策、市场、优惠条件等）所决定的宽限期
并从项目净现值的角度建立了基本期Tc1的数量决策模型，通过求解得到了基本期Tc1的具体数值。但对于宽限期Tc2并没有给出具体的规定和计算公式，仅仅列举了影响宽限期Tc2一些因素。
现在依据该文献的分析思路和思想，结合原文中的“BOT项目时间与净现值关系图”，我们得到本文的“基于项目净现值的特许期决策示意图”，如图1所示。
其中：Tc代表BOT项目的特许期；Tr代表BOT项目的基本收益期，等于基本期Tc1；Tf代表BOT项目的经济寿命期；I代表BOT项目投资者的投资总额；r代表BOT项目基准投资收益率；Ir代表BOT项目在基本收益期Tr内的基本收益；NPV（Tc）代表BOT项目在特许期Tc内产生的净现值；NPV（Tf）代表BOT项目在整个经济寿命期Tf内产生的净现值；NPV（Tc2）代表BOT项目在宽限期Tc2内产生的净现值。
Tc1=Tr（2）
把式（2）代入式（1）可得：
Tc=Tr+Tc2 （3）
在BOT项目的基本收益期Tr结束时，项目投资者获得了项目的基本收益Ir。但由于还承担了BOT项目外部的诸多风险，从风险补偿原则出发，项目投资者还需要获得一定的补偿。所以在基本收益期基本收益期Tr结束后，项目特许期应得到适当的宽限，项目投资者所获得的补偿即为项目在特许权宽限期Tc2内产生的净现值NPV（Tc2）。
如图1所示，在剩下的BOT项目运营时间 （Tf-Tr）里，项目产生的净现值为“ NPV（Tf）-Ir ”，于是就这部分的项目收益，项目投资者与政府进行讨价还价，以图在宽限期Tc2内获得更多的收益 NPV （Tc2 ）。
下面将继续李启明教授等人的研究，利用博弈论的工具和思想，建立政府与项目投资者之间的讨价还价博弈模型，通过分析在项目特许权宽限期Tc2内项目投资者的收益来推导出特许权宽限期Tc2的长度，从而获得特许期Tc的确切长度。
3、特许期讨价还价博弈决策模型的描述与假设
政府与项目投资者首先需要共同设定合理的项目基准收益率r，并根据项目的投资I确定项目投资者的基本收益Ir。所谓基准收益率是指投资项目要求达到的最低投资收益。在我国，投资项目的基准收益率一般是参照行业的相关规定来设定的。
项目投资者在基本收益期Tr内获得基本收益Ir后，项目剩下的收益为：
R=NPV（Tf）-Ir（4）
政府与项目投资者就针对项目的这部分收益进行讨价还价，并由此决定项目特许权宽限期Tc2的长度，最终获得特许期Tc的确切时间点。
如果讨价还价的结果是政府获得了项目剩下的全部收益R，项目投资者仅获得基本收益，项目特许权宽限期Tc2=0，根据上文的设定，可得：项目特许期Tc=Tc1=Tr；如果讨价还价的结果是投资者获得了项目剩下的全部收益R，项目特许权宽限期Tc2= Tf- Tc1，则项目特许期Tc= Tf。上述这两种情况为极端状况，一般不会发生，否则BOT也就失去其现实意义。作为理性参与者，政府和项目投资者不会轻易放弃谈判，而是通过讨价还价的方式来分享项目利益R，尽量就项目特许权宽限期达成一致，從而最终得到合理的特许期长度。 除上述的设定外，为了讨论的方便，在本文中政府与投资者的讨价还价博弈还遵循以下五个假设：
（1）理性的参与人
参与讨价还价的双方为政府和项目投资者（企业、组织等），政府用G来表示，项目投资者用E来表示。双方都有着充分的理性，即对各种行为的利弊得失都有着完美的计算能力。对项目剩下的收益“ NPV（Tf）-Ir ”，双方都积极争取。
（2）理想的BOT 项目及其营运环境
所谓理想的BOT 项目是指：项目的总投资I 不变，即在项目的经济寿命期内不再追加投资；项目在建设期内按时按标准完工；试运营期忽略不计，投产第一年产量即达到设计；项目的产量等于销售量等等。
理想的营运环境包括：相关政策及法律法规稳定不变；销量、价格、运营成本、基准收益率和销售税率等市场因素不变；汇率、贷款利率等货币因素都保持相对的稳定等。
这样，项目在整个经济寿命期内的净现金流量保持恒定，项目在单位时间内产生的净现金流量保持一定。
（3）完全信息
参与双方所拥有的完全信息包括三个方面：BOT 项目的信息、讨价还价的规则以及参与双方的信息。就是说对于BOT 项目与讨价还价规则，政府与投资者都拥有相同且完全的信息，而且双方都十分了解对方讨价还价的战略及相应的支付。
（4）贴现因子
在这里，贴现因子除了表示政府与投资者的耐心外，由于在讨价还价的谈判中，双方都需要消耗一定的成本，所以贴现因子还包括谈判成本。谈判成本包括两个方面：谈判费用和时间价值。谈判费用是指双方为举行谈判时在谈判场地、咨询与顾问、人工等方面所必须支出的各项费用。所谓时间价值就是双方早结束讨价还价谈判，签署合同，获得的利益比晚结束谈判签约能够获得更多的利益。
本文为了方便讨论将双方的谈判成本和耐心因子归并为一个参数贴现因子δ（0<δ<1）。政府的贴现因子记为δG，投资者的贴现因子记为δE。即对于投资者来说，在下一轮讨价还价中的收益1 元相当于在本轮收益的δE 元；对于政府来说，在下一轮讨价还价中的收益1 元相當于在本轮单位收益的δG 元。
（5）出价规则与支付。
在轮流讨价还价博弈模型中存在“先动优势”，所以本文为了在一定程度上消除“先动优势”的负面影响，将分别考虑政府与项目投资者这两个参与者分别先出价的情况。再使用逆向归纳法分别求出这两个模型的子博弈精炼纳什均衡，由此得到特许期长度的一个可行解的区间。
图2 是政府首先出价的讨价还价博弈树。政府首先出价，投资者决定是否接受政府的出价。如果投资者接受政府的出价，则讨价还价博弈结束，两者将分别得到由政府出价的支付；若投资者不接受政府的出价，投资者就进还价，由政府决定是否接受投资者的还价，依次
直至博弈结束。在该博弈过程中存在两类无限数量的子博弈，我们把政府出价的子博弈记为G1，投资者还价的子博弈记为E2。假设在子博弈G1 中政府能够获得的最大支付为RG1，最小支付为rG1；在子博弈E2 中投资者能够获得的最大支付为RE2，最小支付为rE2。
图3 是投资者首先出价的讨价还价博弈树。投资者首先出价，政府决定是否接受投资资者的出价。如果政府则接受投资者的出价，则讨价还价博弈结束，两者将分别得到由投资者出价的支付；若政府不接受投资者的出价，政府就进行还价，由投资者决定是否接受政府的出价，依次直至博弈结束。在该博弈过程中也存在两类无限数量的子博弈，我们把投资者出价的子博弈记为E1，政府还价的子博弈记为G2。设在子博弈E1 中投资者能够获得的最大支付为RE1，最小支付为rE1；在子博弈G2 中政府能够获得的最大支付为RG2，最小支付为rG2。
4、讨价还价博弈模型的求解
在对模型进行了必要的描述和假设后，下面就通过逆向归纳法来求解这两个完美动态博弈的子博弈精炼纳什均衡解。
4.1 政府先出价的讨价还价博弈模型的求解
政府先出价的讨价还价博弈过程如图3 所示。政府首先出价时，必须要认真分析投资者对其报价接受的可能性，在本着减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，政府充分考虑投资者的收益，提出一个较为合理的价格。
在子博弈G1 中，由于投资者不接受政府的报价可能获得的支付至少为δErE2，最多为δERE2，所以政府的报价必须在这两者之间。这是因为投资者在不接受政府在子博弈G1 中的报价后进入子博弈E2 后，可以获得的最大支付为RE2，最小支付为rE2。但是进入子博弈E2后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上投资者的耐心，此时投资者的最大支付为δERE2，最小为δErE2。
这样对于政府来说，其约束条件就是使投资者在子博弈G1 种获得的收益等于投资者不接受政府的出价进入在子博弈E2 后获得的支付。由此我们可以得到政府在子博弈G1 中的最大支付为（R-δErE2 ），最小支付为（R-δERE2）
政府在子博弈G1 的出价应满足条件：
（5）
（6）
现在如果投资者拒绝了政府在子博弈G1 中的出价，则进入由投资者还价的子博弈E2。投资者此时还价时也要遵循减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，在充分考虑政府的收益后，提出一个合理的价格。在子博弈E2中，由于政府不接受投资者的还价可能获得的支付至少为δGrG1 ，最多为δGRG1 ，所以投资者的还价必须在这两者之间。因为政府在不接受投资者在子博弈E2中的还价后进入下一轮子博弈G1 后，可以获得的最大支付为RG1，最小支付为rG1。但是进入子博弈G1 后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上政府的耐心，此时政府的最大支付为δGRG1，最小支付为 δGrG1 。
这样对于投资者来说，其约束条件就是使政府在子博弈E2 种获得的收益等于政府不接受投资者的还价进入在子博弈G1 后获得的支付。由此我们可以得到政府在子博弈G1 中的最大支付为（R- δGrG1 ），最小支付为（ R-δGRG1）。 投资者在子博弈E2 的出价应满足条件：
（7）
（8）
将式（8）代入式（5）可得：
（9）
将式（7）代入式（6）可得：
（10）
只有当式（9）和式（10）都取等号时才能满足上文的假设（5），所以可得该博弈的子博弈精炼纳什均衡为：
（11）
至此，我们利用逆向归纳法求出了在政府先出价的讨价还价博弈模型中，政府在子博弈G1 中的支付为： ， 投资者的支付为， 即
。
这样，投资者在特许权宽限期Tc2 内获得的收益为：
（12）
特许权宽限期Tc2 为：
（13）
把式（13）和基本收益期Tr 代入式（3）可得：
（14）
由此，我们通过求解政府先出价的讨价还价博弈模型得到了投资者在特许权宽限期Tc2内的收益。通过项目净现值和时间的关系，确定了特许权宽限期Tc2 的长度，并最终得到了特许期长度Tc 。
4.2 投资者先出价的讨价还价博弈模型的求解
在讨论了政府先出价的情况后，下面将对项目投资者先出价的讨价还价博弈模型进行求解。投资者先出价的讨价还价博弈过程。投资者首先出价时，同样也要必须认真分析政府对其报价接受的可能性，在本着减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，投资者充分考虑政府的收益，提出一个较为合理的价格。在子博弈E1 中，由于政府不接受投资者的报价可能获得的支付至少为δGrG2，最多为δGRG2，所以投资者的报价必须在这两者之间。这是因为政府在不接受投资者在子博弈E1 中的报价后进入子博弈G2 后，可以获得的最大支付为RG2，最小支付为rG2。但是进入子博弈G2 后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上政府的耐心，此时政府的最大支付为δGRG2，最小为δGrG2。
这样对于投资者来说，其约束条件就是使政府在子博弈E1 种获得的收益等于政府不接受投资者的出价进入在子博弈G2 后获得的支付。由此我们可以得到投资者在子博弈E1 中的最大支付为（R-δGrG2 ），最小支付为（ R-δGRG2）。
投资者在子博弈E1 的出价应满足条件：
（15）
（16）
现在如果政府拒绝了投资者在子博弈G1 中的出价，则进入由政府还价的子博弈G2。政府此时还价时也要遵循减少讨价还价的轮次、节约谈判费用和时间成本的内在要求，在充分考虑政府的收益后，提出一个合理的价格。
在子博弈G2 中，由于投资者不接受政府的还价可能获得的支付至少为δErE1 ，最多为δERE1 ，所以政府的还价必须在这两者之间。因为投资者在不接受政府在子博弈G2中的还价后进入下一轮子博弈E1 后，可以获得的最大支付为RE1，最小支付为rE1。但是进入子博弈E1 后需要一定的谈判费用和时间成本，再加上投资者的耐心，此时投资者的最大支付为δERE1，最小支付为δErE1 。
这样对于政府来说，其约束条件就是使投资者在子博弈G2 种获得的收益等于投资者不接受政府的还价进入在子博弈E1 后获得的支付。由此我们可以得到政府在子博弈G2 中的最大支付为（R-δErE1 ），最小支付为（ R-δERE1）。
政府在子博弈G2 的出价应满足条件：
（17）
（18）
将式（18）代入式（15）可得：
（19）
将式（17）代入式（16）可得：
（20）
只有当式（19）和式（20）都取等号时才能满足上文的假设（5），所以可得该博弈的子博弈精炼纳什均衡为：
（21）
至此，我们利用逆向归纳法求出了在投资者先出价的讨价还价博弈模型中，投资者在子博弈E1中的支付为：R（1-δG ）/（1-δEδG ）。
这样，投资者在特许权宽限期 内获得的收益为：
（22）
由此，我们通过求解投资者先出价的讨价还价博弈模型得到了投资者在特许权宽限期T'c 2 内的收益。通过项目净现值和时间的关系，确定了特许权宽限期T'c 2 的长度，并最终得到了特许期长度T'c 。
结论：
由式（14）和式（24）我们可以得到特许期长度的两个可能解： T c 和T'c ，特许期长度T*C的区间为 。只要重复上述两个讨价还价博弈，就可以将该区间逐渐缩小，直至一点，该点就是特许期长度的确切时间点。
至此，本文在完全信息动态博弈的情况下，通过建立政府与项目投资者之间的讨价还价模型，得到了投资者在特许宽限期内收益，并根据项目净现值与时间的关系，确定了项目的特许权宽限期的长度，并最终得到了特许期长度可行解的一个区间。
但是这些结论都建立在完全信息和一些假设的基础上，比如假设（2）“理想的BOT 项目及其营运环境”在现实环境中很难实现，假设（3）完全信息的要求在现实环境中一般也很难达到。對模型的推导，最后虽然得到了特许期可行解的一个区间，但是在现实中要想利用该模型得到特许期确切的时间点还很困难。所以该模型还很难应用到实践中，存在不少局限，需要进一步的改进和完善。
参考文献：
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[2]李启明，申立银.基础设施BOT 项目特许权期的决策模型[J].管理工程学报.2000，1：43～46.
[3] [美]约翰·纳什著.张良桥，王晓刚译.王则柯校.纳什博弈论论文集.北京：首都经济贸易大学出版社，2000.
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[6] J. Nash.Non-cooperative Games [J].Annals of Mathematics，1951，（54）：286-295.
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[8]张维迎.博弈论与信息经济学[M].上海：上海三联书店，上海人民出版社，1996：200-207.
作者简介：
侍玉成（1981.11.16），男，籍贯：江苏；职称：工程师；研究方向：项目融资。
周翼华（1986.11.9），男，籍贯：江苏；职称：工程师；研究方向：路桥专业。