平面解析几何研究的内容是求曲线方程，再通过方程的特征研究曲线的几何性质，是数与形结合的典范，体现了用代数的方法研究曲线的思想方法.高考中重点考查直线、圆以及圆锥曲线的定义、方程、几何性质，直线与圆和圆锥曲线的位置关系，对同学们的思维能力、运算求解能力及数学思想方法的灵活运用要求较高.复习这部分内容时要理清概念，掌握基本方法，特别要注意理清概念的内涵与外延，对一些常见概念及公式的易错点要了如指掌.本文从解析几何的典型易错知识与方法加以剖析，以提高大家的辨别能力，提高解题速度与正确率.
　　易错剖析一：基本概念理解偏差致错
　　例1设双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为.
　　错解：由题意，b=2，c=23，故a=22，所以双曲线的渐近线方程为y=±22x.
　　错因分析：虽然结果正确，但是解决问题过程中概念不清晰，双曲线的虚轴长为2b，焦距为2c.
　　正解：因为2b=2，所以b=1，因为2c=23，所以c=3，所以a=c2-b2=2，所以双曲线的渐近线方程为y=±bax=±22x.
　　例2已知方程x2m2 n-y23m2-n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是.
　　错解：方程x2m2 n-y23m2-n=1表示双曲线，所以m2 n>0，3m2-n>0，所以-m2　　∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1　　错因分析：方程x2m2 n-y23m2-n=1表示双曲线，不一定是m2 n>0，3m2-n>0，应正确转化为（m2 n）·（3m2-n）>0，解得-m2　　正解：∵方程x2m2 n-y23m2-n=1表示双曲线，∴（m2 n）·（3m2-n）>0，解得-m2　　由双曲线性质，知c2=（m2 n） （3m2-n）=4m2（其中c是半焦距），∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1　　评注：对于圆锥曲线的概念和性质要准确把握，其中双曲线的实轴长、虚轴长，椭圆的长轴长、短轴长及焦距分别对应是哪些量是易错点，再有，椭圆、双曲线及抛物线的方程要先确定焦点位置，再确定基本量.
　　易错剖析二：知识交汇处转化不准确致错
　　例3直线xsinα y 2=0的倾斜角的取值范围是.
　　错解：设直线的倾斜角為θ，则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，所以-π4≤θ≤π4.
　　错因分析：上述错解中不理解直线倾斜角的概念，其范围应该是θ∈[0，π），再有要善于用正切函数的图像解题.
　　正解：设直线的倾斜角为θ，则有tanθ=-sinα.因为sinα∈[-1，1]，所以-1≤tanθ≤1，又θ∈[0，π），所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.
　　评注：根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性.
　　易错剖析三：选用直线方程时没有考虑其适用条件致错
　　例4经过点P（-5，-4），且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是.
　　错解：由题意，设所求方程为y 4=k（x 5），即kx-y 5k-4=0.
　　由12·（5k-4）·（4k-5）=5得，k=85，故所求直线方程为8x-5y 20=0.
　　错因分析：截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”.事实上，直线与两坐标轴所围成的三角形面积为12·|5k-4|·|4k-5|，而不是12·（5k-4）·（4k-5）.
　　正解：由题意设所求方程为y 4=k（x 5），即kx-y 5k-4=0.
　　由12·|5k-4|·|4k-5|=5得，k=85或k=25.
　　故所求直线方程为8x-5y 20=0或2x-5y-10=0.
　　点评：“距离”与“截距”、两直线夹角与到角等基本概念，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，易致错.
　　例5过点（3，3）且横、纵截距相等的直线方程.
　　错解：设所求方程为xa ya=1，将（3，3）代入得a=6，得直线方程为x y-6=0.
　　错因分析：上述错解所设方程为xa ya=1，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵截距为0且过点（3，3）的直线y=x也符合条件，主要审题不严致错.
　　正解：x y-6=0或x-y=0.
　　例6过点P（2，4）引圆（x-1）2 （y-1）2=1的切线，则切线方程为.
　　错解：当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x-2），即kx-y 4-2k=0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，
　　即d=|k-1 4-2k|k2 （-1）2=|3-k|k2 1=1，
　　解得k=43，
　　∴所求切线方程为43x-y 4-2×43=0，
　　即4x-3y 4=0.
　　综上，切线方程为4x-3y 4=0.
　　错因分析：选用直线的点斜式方程时没有考虑斜率不存在的情形.
　　正解：在上述解的基础上，再讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；综上，切线方程为x=2或4x-3y 4=0.
　　点评：直线方程的五种形式中，每种形式都有其适用条件，忽视斜率不存在或零截距的情况，是很多学生经常犯的错误.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.如本题中，要关注过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解. 　　易错剖析四：使用公式时没有考虑公式适用的大前提
　　例7直线x y 2=0与2x 2y 1=0之间的距离是.
　　错解：用公式d=|2-1|2=22.
　　错因分析：本题的“陷阱”是两平行直线的距离公式使用的大前提是两直线方程中x，y对应项的系数要相等.
　　正解：先将2x 2y 1=0化為x y 12=0，
　　则两平行线间的距离为d=|2-12|2=324.
　　例8直线l过点P（-1，2）且到点A（2，3）和点B（-4，5）的距离相等，则直线l的方程为.
　　错解：思路一：设直线l的方程为y-2=k（x 1），即kx-y k 2=0.
　　由题意知|2k-3 k 2|k2 1=|-4k-5 k 2|k2 1，
　　即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.
　　∴直线l的方程为y-2=-13（x 1），
　　即x 3y-5=0.
　　思路二：由题意可知AB∥l时，有k=kAB=-13，直线l的方程为y-2=-13（x 1），即x 3y-5=0.
　　错因分析：思路一没有考虑斜率不存在的情形，思路二从形出发只考虑了一种情形.
　　正解：思路一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k（x 1），即kx-y k 2=0.
　　由题意知|2k-3 k 2|k2 1=|-4k-5 k 2|k2 1，
　　即|3k-1|=|-3k-3|，∴k=-13.
　　∴直线l的方程为y-2=-13（x 1），
　　即x 3y-5=0.
　　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1，也符合题意.
　　思路二：当AB∥l时，有k=kAB=-13，直线l的方程为y-2=-13（x 1），即x 3y-5=0.
　　当l过AB中点时，AB的中点为（-1，4）.
　　∴直线l的方程为x=-1.
　　故所求直线l的方程为x 3y-5=0或x=-1.
　　评注：利用距离公式应注意：①点P（x0，y0）到直线x=a的距离d=|x0-a|，到直线y=b的距离d=|y0-b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为对应相等.
　　例9过直线2x y 4=0和圆（x 1）2 （y-2）2=4的交点，并且面积最小的圆的方程为.
　　错解：设所求圆的方程为（x 1）2 （y-2）2-4 k（2x y 4）=0，
　　即x2 y2 2（k 1）x （k-4）y 1 4k=0，
　　所求圆的半径
　　r=（k 1）2 14（k-4）2-（1 4k）
　　=125k2-16k 16.
　　显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k 16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2 y2 265x-125y 375=0.
　　错因分析：本题的“陷阱”是方程x2 y2 2（k 1）x （k-4）y 1 4k=0表示圆的充要条件，上述解法忽视了k的限制条件（k 1）2 14（k-4）2-（1 4k）>0.
　　正解：设所求圆的方程为（x 1）2 （y-2）2-4 k（2x y 4）=0，
　　即x2 y2 2（k 1）x （k-4）y 1 4k=0，
　　化为圆的标准方程得[x （k 1）]2 [y 12（k-4）]2=（k 1）2 14（k-4）2-（4k 1），
　　由（k 1）2 14（k-4）2-（1 4k）>0，得5k2-16k 16>0，
　　此时，所求圆的半径
　　r=（k 1）2 14（k-4）2-（1 4k）
　　=125k2-16k 16.
　　显然，当k=--1610，即k=85时，5k2-16k 16有最小值165，此时，圆的半径最小，从而面积最小.故所求的圆的方程为x2 y2 265x-125y 375=0.
　　评注：审题的关键环节是挖掘方程表示圆的充要条件，理清条件间错综复杂的关系.审题不清，是解析几何解题的大忌.
　　易错剖析五：忽视定义中的限制条件致错
　　例10已知定圆C1：（x 3）2 y2=1，圆C2：（x-3）2 y2=9，动圆M同时与定圆C1，C2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程.
　　错解：由C1：（x 3）2 y2=1，C2：（x-3）2 y2=9，
　　设圆M半径为r，则MC1=1 r，MC2=3 r，
　　故MC2-MC1=2<|C1C2|=6，知M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，
　　且2a=2，a=1，c=3；b2=c2-a2=8，
　　故M的轨迹方程为：x2-y28=1.
　　错因分析：上述解法将MC2-MC1=2看成|MC1-MC2|=2，误认为动圆圆心的轨迹为双曲线，这是双曲线的概念不清所致.
　　正解：在上述解法中添加：由于MC2-MC1=2，知MC2>MC1，点M的轨迹是双曲线的左支，故M的轨迹方程为：x2-y28=1（x<0）.
　　评注：直线与圆、圆锥曲线的定义，看似基础，实则涉及到一类问题的本质，如果不注意一些限制条件，容易致错.
　　易错剖析六：题设转化时不等价致错
　　例11已知圆（x-a）2 y2=1与圆x2 y2=25没有公共点，则正数a的取值范围是.
　　错解：由题意可知，两圆相离，所以圆心距a2>1 5，又a>0，所以a>6.
　　错因分析：两圆没有公共点，除了两圆相离，还可以是两圆内含. 　　正解：由题意可知，两圆相离或内含，所以a2>1 5或a2<5-1，所以06.
　　评注：在研究两圆位置关系时，要关注题设条件的等价转化，如两圆没有公共点，两圆可以是外离或内含；再如两圆相切，可以是外切也可以是内切.
　　易错剖析七：偏重技巧忽视本质致错
　　例12已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）上的任意一点到它的两个焦点（-c，0），（c，0）的距离之和为22，且它的焦距为2.
　　（1）求椭圆C的方程；
　　（2）已知直线x-y m=0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2 y2=59內，求m的取值范围.
　　错解：（1）依题意可知2a=22，2c=2.
　　又b2=a2-c2，解得a=2，b=1.
　　则椭圆C的方程为x22 y2=1.
　　（2）联立方程x22 y2=1，x-y m=0，消去y整理得3x2 4mx 2m2-2=0.
　　设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 x2=-4m3，y1 y2=x1 x2 2m=-4m3 2m=2m3，
　　即AB的中点为（-2m3，m3）.
　　又∵AB的中点不在圆x2 y2=59内，
　　∴4m29 m29=5m29≥59，
　　解得m≤-1或m≥1.
　　错因分析：本题第（2）问中忽视了大前提：必需两根都存在，要用判别式去检验，即Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2 3）>0，是致错的根本原因.
　　正解：（2）联立方程x22 y2=1，x-y m=0，消去y整理得3x2 4mx 2m2-2=0.
　　则Δ=16m2-12（2m2-2）=8（-m2 3）>0，
　　解得-3　　设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1 x2=-4m3，
　　y1 y2=x1 x2 2m=-4m3 2m=2m3，
　　即AB的中点为（-2m3，m3）.
　　又∵AB的中点不在圆x2 y2=59内，
　　∴4m29 m29=5m29≥59，
　　解得m≤-1或m≥1.②
　　由①②得，-3　　故m的取值范围为（-3，-1]∪[1，3）.
　　评注：在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，通过联立方程组，用判别式来判别解的情况是前提.一些技巧性的解法，虽简化了过程，但忽视了本质，易致错.
　　同学们，在解决解析几何问题时，首先要理解直线、圆和椭圆的定义，要理解其方程的结构特征，掌握其几何性质，要充分理解概念，掌握基本方法.高三一轮复习是一个见微知渐的过程，希望通过错误的剖析引导同学辨析正误.在解析几何的复习中，狠抓三基，不断对相应题型作出归纳总结，定能取得很好的效果.
　　（作者：王小青，江苏省如皋中学）