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函数作为高中数学的主要内容，贯穿于整个高中教学的始终，也是高考中考查的重点.函数的定义域是函数的重要要素之一，在函数部分有很重要的地位，它是研究函数关系式、值域、单调性、奇偶性的基础.本文就苏教版必修1教材中第一章函数部分定义域与其他内容间的联系作简单研究.
一、定义域和函数解析式
函数定义中，非空数集A中的元素根据对应法则与非空数集B中的元素产生了对应，故定义域又称为自变量的取值范围.
我们在谈函数的时候离不开定义域和对应法则，定义域应该放在对应法则之前考虑.我们在教学及学生在学习中都偏向于对应法则，即更为直观的解析式，实际上离开定义域谈函数就成了空中建楼阁.
例1 判断函数y=|x|与函数y=(x)2是否为同一函数.
解 ∵函数y=|x|的定义域为R，函数y=(x)2的定义域为［0，+∞)，
∴函数y=|x|与函数y=(x)2不是同一函数.
函数关系式包括定义域和对应法则，定义域是函数关系式的重要组成部分，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能会出错.
例2 现有一根铁丝长60 cm，欲围成一个矩形，求围成矩形的最大面积S.
解 设矩形的长为x cm，则宽为(30－x) cm。由题意，得S=x(30-x)，S=-x2+30x，当x=15时，Smax=225.
作为一个简单的应用题，采用如此做法得到了正确的结果，实则存在大大的漏洞，函数关系式还不完整，缺少自变量x的范围，也就是说数学离开了生活.因为当自变量x取大于30的数时，根本不能围成矩形，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围0 在用函数方法解决实际问题时，必须注意函数定义域的取值范围对实际问题的影响.
二、定义域对函数最值、值域的影响
函数的最值在教材中是这样介绍的：一般地，设y=f(x)的定义域为A，若存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，那么f(x0)为函数的最大值（最小值）.所以说最值指的是定义域上的最值，脱离定义域讨论最值、值域是没有意义的.
例3 求函数y=x2-2x在［－2，5］上的最值、值域.
错解 ∵y=x2-2x=(x2-2x+1)-1=(x-1)2-1，
∴当x=1时，ymin=-1，值域为［-1，+∞).
本题是一个简单的二次函数给定范围求最值的问题，学生容易犯一个错误，误认为最小值为-1，无最大值.产生这种错误的根源在于忽略了函数的定义域，仍然认为定义域为R，而没有注意到已知条件发生变化.
∵-2≤1≤5，
∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)=0，f(5)=52-2×5=15.
∴f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=15.
∴函数y=x2-2x在［－2，5］上的最小值是-1，最大值是15，值域为［-1，15］.
例4 求函数y=x+2x-3的最值、值域.
解 令x-3=t，则x=t5+3，y=t2+2t+3=(t+1)2+2≥2，
∴ymin=2，无最大值，值域为［2，+∞).
本题最大的错误在于换元时引入了新的变量t，却没有对其范围加以说明，也就是换元后的函数失去了应有的定义域.对于函数y=t2+2t+3应有t≥0，函数在［0，+∞)单调递增，故最小值为3，无最大值，值域为［3，+∞).
三、定义域前提下的函数单调性、奇偶性
函数单调性是函数的第一个重要性质，是指函数在给定的定义域区间上函数自变量变大时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行，而求出的单调区间必然是定义域的子集.
例5 指出函数f(x)=log2(-x2+2x)的单调区间.
解 ∵-x2+2x>0，∴-2 ∴函数定义域为(-2,0).
令u=-x2+2x，知在x∈(-2,-1)上时， u为增函数；
在x∈(-1,0)上时，u为减函数.
又 ∵f(x)=log2u在［0，+∞)是增函数，
∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-2,-1)上是增函数，在(-1,0)上是减函数.
即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间是(0,+∞)，单调递减区间是(-∞，-2）.
本题中，学生容易得出错误的结论：在(-∞,-1)上是增函数，在(-1,+∞)上是减函数.这种错误是因为学生在平时做题时机械地模仿，忽略了解题方法的内涵.
奇偶性是函数又一个重要性质.如何判断函数的奇偶性，教学中应强调判断步骤，第一步必先判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数为非奇非偶函数，若对称则继续考虑f(x)与f(-x)的关系.
例6 判断函数f(x)=4-x2|x+3|-3的奇偶性.
解 4-x2>0，|x+3|-3≠0，解得定义域为(-2,0)∪(0,2)，关于原点对称.
f(x)=4-x2|x+3|-3=4-x2x，
f(-x)=4-(-x)2-x=-f(x)，
∴函数f(x)=4-x2|x+3|-3为奇函数.
本题中，必须先求定义域，没有定义域则不能化简，不化简则会得出f(x)与f(-x)没有关系，进一步得出f(x)为非奇非偶函数的错误结论.
定义域作为函数基本要素之一，在学习函数其他内容时它是基础、是前提，在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中更是重要的前提条件.提起函数不忘定义域，有利于培养学生的大局观，有利于培养学生的思维品质.
一、定义域和函数解析式
函数定义中，非空数集A中的元素根据对应法则与非空数集B中的元素产生了对应，故定义域又称为自变量的取值范围.
我们在谈函数的时候离不开定义域和对应法则，定义域应该放在对应法则之前考虑.我们在教学及学生在学习中都偏向于对应法则，即更为直观的解析式，实际上离开定义域谈函数就成了空中建楼阁.
例1 判断函数y=|x|与函数y=(x)2是否为同一函数.
解 ∵函数y=|x|的定义域为R，函数y=(x)2的定义域为［0，+∞)，
∴函数y=|x|与函数y=(x)2不是同一函数.
函数关系式包括定义域和对应法则，定义域是函数关系式的重要组成部分，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能会出错.
例2 现有一根铁丝长60 cm，欲围成一个矩形，求围成矩形的最大面积S.
解 设矩形的长为x cm，则宽为(30－x) cm。由题意，得S=x(30-x)，S=-x2+30x，当x=15时，Smax=225.
作为一个简单的应用题，采用如此做法得到了正确的结果，实则存在大大的漏洞，函数关系式还不完整，缺少自变量x的范围，也就是说数学离开了生活.因为当自变量x取大于30的数时，根本不能围成矩形，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围0
二、定义域对函数最值、值域的影响
函数的最值在教材中是这样介绍的：一般地，设y=f(x)的定义域为A，若存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，那么f(x0)为函数的最大值（最小值）.所以说最值指的是定义域上的最值，脱离定义域讨论最值、值域是没有意义的.
例3 求函数y=x2-2x在［－2，5］上的最值、值域.
错解 ∵y=x2-2x=(x2-2x+1)-1=(x-1)2-1，
∴当x=1时，ymin=-1，值域为［-1，+∞).
本题是一个简单的二次函数给定范围求最值的问题，学生容易犯一个错误，误认为最小值为-1，无最大值.产生这种错误的根源在于忽略了函数的定义域，仍然认为定义域为R，而没有注意到已知条件发生变化.
∵-2≤1≤5，
∴f(-2)=(-2)2-2×(-2)=0，f(5)=52-2×5=15.
∴f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=15.
∴函数y=x2-2x在［－2，5］上的最小值是-1，最大值是15，值域为［-1，15］.
例4 求函数y=x+2x-3的最值、值域.
解 令x-3=t，则x=t5+3，y=t2+2t+3=(t+1)2+2≥2，
∴ymin=2，无最大值，值域为［2，+∞).
本题最大的错误在于换元时引入了新的变量t，却没有对其范围加以说明，也就是换元后的函数失去了应有的定义域.对于函数y=t2+2t+3应有t≥0，函数在［0，+∞)单调递增，故最小值为3，无最大值，值域为［3，+∞).
三、定义域前提下的函数单调性、奇偶性
函数单调性是函数的第一个重要性质，是指函数在给定的定义域区间上函数自变量变大时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行，而求出的单调区间必然是定义域的子集.
例5 指出函数f(x)=log2(-x2+2x)的单调区间.
解 ∵-x2+2x>0，∴-2
令u=-x2+2x，知在x∈(-2,-1)上时， u为增函数；
在x∈(-1,0)上时，u为减函数.
又 ∵f(x)=log2u在［0，+∞)是增函数，
∴函数f(x)=log2(x2+2x)在(-2,-1)上是增函数，在(-1,0)上是减函数.
即函数f(x)=log2(x2+2x)的单调递增区间是(0,+∞)，单调递减区间是(-∞，-2）.
本题中，学生容易得出错误的结论：在(-∞,-1)上是增函数，在(-1,+∞)上是减函数.这种错误是因为学生在平时做题时机械地模仿，忽略了解题方法的内涵.
奇偶性是函数又一个重要性质.如何判断函数的奇偶性，教学中应强调判断步骤，第一步必先判断定义域是否关于原点对称，若不对称则函数为非奇非偶函数，若对称则继续考虑f(x)与f(-x)的关系.
例6 判断函数f(x)=4-x2|x+3|-3的奇偶性.
解 4-x2>0，|x+3|-3≠0，解得定义域为(-2,0)∪(0,2)，关于原点对称.
f(x)=4-x2|x+3|-3=4-x2x，
f(-x)=4-(-x)2-x=-f(x)，
∴函数f(x)=4-x2|x+3|-3为奇函数.
本题中，必须先求定义域，没有定义域则不能化简，不化简则会得出f(x)与f(-x)没有关系，进一步得出f(x)为非奇非偶函数的错误结论.
定义域作为函数基本要素之一，在学习函数其他内容时它是基础、是前提，在求解函数关系式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题中更是重要的前提条件.提起函数不忘定义域，有利于培养学生的大局观，有利于培养学生的思维品质.