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【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）07-0141-02
解析几何问题可以归结为两个基本问题：一是由条件求曲线方程；一是通过曲线方程研究曲线性质。考察2012年的18份全国各地高考试题，有14份试题的解析几何题都出现了求曲线的轨迹方程问题。能否顺利求出轨迹方程是解析几何大题得分的前提，因此求轨迹方程就成了高三一轮、二轮复习的重点。
1.问题的提出
近日笔者听了一节高三复习课《求轨迹方程》。授课过程非常典型. 教师首先提问：“我们都学过哪些求轨迹方程的方法？”学生回答：“有五步法、定义法、参数法、代入法、几何法、交轨法……。 ”在简单复习各种方法后教师总结道：“求轨迹方程方法很多，在具体解题中不同的问题应该用不同的方法解决。”对此，一个思索已久的问题突然涌现，我们说“授人以鱼”不如“授人以渔”，这说明数学教学中方法传授的重要性，数学解题的方法多样化也是非常有必要的，但方法是不是越多越好呢？我认为方法再多关键还是看学生能掌握多少，事实是首先许多学生记不住那么多方法；其次，即使记住了那么多方法，接下来更难的是面对具体问题如何正确判断题型并正确选择合适的解题方法；再进一步讲，近年高考出题越来越出人意料，当你面对考题发现你所学过的方法都不能奏效时，你又该怎么办呢？所以，笔者认为教学生多少方法并不是关键，关键是要揭示隐藏在这许多种方法背后的本质的共同点。只有抓住方法的本质，才能做到一招鲜吃遍天，甚至达到无法胜有法的境界。
2.问题的解决
求轨迹方程的本质是寻求轨迹上任意一点的横纵坐标x，y所满足的方程，所以我们只需写出动点满足的条件，代入点坐标列出方程，化简，再检验纯粹性、完备性，即可得到轨迹方程. 以上步骤其实就是教材中的求轨迹方程的基本方法——“五步法”。但“五步法”通常被认为是只适合用来解决一些简单的问题，而对于条件隐藏得较深、难度较大的问题，“五步法”则很难奏效。之所以出现这种看法，其实是对“五步法”中动点的条件理解太过肤浅、狭隘。
当动点满足的条件复杂时，动点实际上是受若干个相关联的条件共同限制，此时只需找到这些条件代入坐标并借助若干参数得到曲线的含参轨迹方程组，再消参化为普通方程即得。一般来说若建立方程组时用到n个参数m1，m2…mn，则需要找到n+1个独立条件，写成方程组f1（x，y，m1，m2…mn）=0f2（x，y，m1，m2…mn）=0…fn+1（x，y，m1，m2…mn）=0，这样方程组中共含有n+2个变量，由n+1个方程消去n个参数就可以得到关于x，y的方程。
3.高考题实例
以下以11、12年部分高考题作为典型例题来说明。
例1 （2012年江西理科卷第20题）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|■+■|=■·（■+■）+2。
（1）求曲线C的方程；（2）略。
解：（1）由于题中已经明确地给出了动点M（x，y）满足的条件：
|■+■|=■·（■+■）+2，代入点坐标，|■+■|=■，■·（■+■）=（x，y）·（0，2）=2y，得■=2y+2化简得曲线C的方程为x2=4y。
例2 （2012年四川理科第21题）如图，动点M与两定点A（-1，0），B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。
（1）求轨迹C的方程；（2）略。
解：（1）设M的坐标为（x，y），由已知条件知动点M满足的唯一条件为∠MBA=2∠MAB，直接代入点坐标显然不行，所以在坐标和角度直接牵线搭桥，利用斜率沟通二者。具体解法如下：显然有x>0，且y≠0。当∠MBA=90o时，点M的坐标为（2，±3）。当∠MBA≠90o时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=■，即-■=■，化简得3x2-y2-3=0。又点（2，±3）在曲线3x2-y2-3=0上，综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）。本题是典型的几何法求轨迹方程问题，但其本质是把几何条件转化为方程。
例3 （2011年广东理科第19题）设圆与两圆（x+■）2+y2=4，（x-■）2+y2=4中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹的方程；（2）略。
解：（1）如图，当圆C与圆A外切，与圆内切时，设圆心C的坐标为（x，y），由题设动点C满足两个条件：圆A与圆C外切圆B与圆C内切，利用圆的内、外切和圆心距、圆半径的关系借助参数RC，得：|AC|=RC+RA|BC|=RC+RB，代入点坐标，得■=RC+2■=RC-2，其本质是含参数RC的轨迹参数方程，相减消去参数，得到■-■=4化简得■-y2=1（x≥2）。当圆C与圆A内切，与圆B外切时，同理可得■-y2=1（x≤-2）。综上，曲线的轨迹方程是■-y2=1。本题是参数法求曲线方程，由于有一个参数，所以建立含两个方程的方程组，消参求出曲线方程。
例4 （2012年湖北理科第21题）设是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）略。
解： （1）如图，设M（x，y），A（x0，y0）由动点M满足的条件|DM|=m|DA|（m>0且m≠1），代入坐标可得x=x0|y|=m|y0|①，其本质是含参数x0，y0的参数方程组，但方程个数只有两个，所以必须再寻找一个条件，又因为点A在单位圆上运动，所以x02+y02=1②， 这样就得到所求轨迹的含参数方程组x=x0|y|=m|y0|x02+x02=1③，将①式代入②式消去参数x0，y0即得所求曲线C的方程为x2+■=1（m>0且m≠1）。以下略。本题是典型的代入法求轨迹方程问题，但其实质是建立参数方程组③，消参化为普通方程。
例5 （2012年辽宁理科第20题）如图，椭圆C0：■+■=1（a>b>0，a，b为常数）动圆C1：x2+y2=t12，b （1）求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程； （2）略。
解： （1）设A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=■（x+a）①，直线A2B的方程为y=-■（x-a）②，又由点A（x1，y1）在椭圆C0上，有■+■=1（x）③。这样就得到的含两个参数x1，y1的参数方程组y=■（x+a）y=■（x-a）■+■=1，①×②，得y2=■（x2-a2）④。把③式化成y12=b2（1-■），代入④消去得■-■=1（x<-a，y<0）。本题是典型的交轨法求曲线方程的问题，但实质还是建立参数方程组，消参化为普通方程。
4.反思
数学解题需要一题多解，但如果学了方法却又受制于方法，不会因题而变则是死方法，这样的方法再多又有何意义呢？需知问题是千变万化的，所以必须抓住解题方法的本质，真正做到能因具体问题的变化而变化。
当然，数学学习首先要有法，然后才有多法，再到一法或无法。当解题不受制于法，解题才能得心应手，顺应自然。我想，真正的数学解题应该是以不变应万变，无法才有法，无招胜有招，这才是数学解题的最高境界！
解析几何问题可以归结为两个基本问题：一是由条件求曲线方程；一是通过曲线方程研究曲线性质。考察2012年的18份全国各地高考试题，有14份试题的解析几何题都出现了求曲线的轨迹方程问题。能否顺利求出轨迹方程是解析几何大题得分的前提，因此求轨迹方程就成了高三一轮、二轮复习的重点。
1.问题的提出
近日笔者听了一节高三复习课《求轨迹方程》。授课过程非常典型. 教师首先提问：“我们都学过哪些求轨迹方程的方法？”学生回答：“有五步法、定义法、参数法、代入法、几何法、交轨法……。 ”在简单复习各种方法后教师总结道：“求轨迹方程方法很多，在具体解题中不同的问题应该用不同的方法解决。”对此，一个思索已久的问题突然涌现，我们说“授人以鱼”不如“授人以渔”，这说明数学教学中方法传授的重要性，数学解题的方法多样化也是非常有必要的，但方法是不是越多越好呢？我认为方法再多关键还是看学生能掌握多少，事实是首先许多学生记不住那么多方法；其次，即使记住了那么多方法，接下来更难的是面对具体问题如何正确判断题型并正确选择合适的解题方法；再进一步讲，近年高考出题越来越出人意料，当你面对考题发现你所学过的方法都不能奏效时，你又该怎么办呢？所以，笔者认为教学生多少方法并不是关键，关键是要揭示隐藏在这许多种方法背后的本质的共同点。只有抓住方法的本质，才能做到一招鲜吃遍天，甚至达到无法胜有法的境界。
2.问题的解决
求轨迹方程的本质是寻求轨迹上任意一点的横纵坐标x，y所满足的方程，所以我们只需写出动点满足的条件，代入点坐标列出方程，化简，再检验纯粹性、完备性，即可得到轨迹方程. 以上步骤其实就是教材中的求轨迹方程的基本方法——“五步法”。但“五步法”通常被认为是只适合用来解决一些简单的问题，而对于条件隐藏得较深、难度较大的问题，“五步法”则很难奏效。之所以出现这种看法，其实是对“五步法”中动点的条件理解太过肤浅、狭隘。
当动点满足的条件复杂时，动点实际上是受若干个相关联的条件共同限制，此时只需找到这些条件代入坐标并借助若干参数得到曲线的含参轨迹方程组，再消参化为普通方程即得。一般来说若建立方程组时用到n个参数m1，m2…mn，则需要找到n+1个独立条件，写成方程组f1（x，y，m1，m2…mn）=0f2（x，y，m1，m2…mn）=0…fn+1（x，y，m1，m2…mn）=0，这样方程组中共含有n+2个变量，由n+1个方程消去n个参数就可以得到关于x，y的方程。
3.高考题实例
以下以11、12年部分高考题作为典型例题来说明。
例1 （2012年江西理科卷第20题）已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|■+■|=■·（■+■）+2。
（1）求曲线C的方程；（2）略。
解：（1）由于题中已经明确地给出了动点M（x，y）满足的条件：
|■+■|=■·（■+■）+2，代入点坐标，|■+■|=■，■·（■+■）=（x，y）·（0，2）=2y，得■=2y+2化简得曲线C的方程为x2=4y。
例2 （2012年四川理科第21题）如图，动点M与两定点A（-1，0），B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C。
（1）求轨迹C的方程；（2）略。
解：（1）设M的坐标为（x，y），由已知条件知动点M满足的唯一条件为∠MBA=2∠MAB，直接代入点坐标显然不行，所以在坐标和角度直接牵线搭桥，利用斜率沟通二者。具体解法如下：显然有x>0，且y≠0。当∠MBA=90o时，点M的坐标为（2，±3）。当∠MBA≠90o时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，有tan∠MBA=■，即-■=■，化简得3x2-y2-3=0。又点（2，±3）在曲线3x2-y2-3=0上，综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）。本题是典型的几何法求轨迹方程问题，但其本质是把几何条件转化为方程。
例3 （2011年广东理科第19题）设圆与两圆（x+■）2+y2=4，（x-■）2+y2=4中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹的方程；（2）略。
解：（1）如图，当圆C与圆A外切，与圆内切时，设圆心C的坐标为（x，y），由题设动点C满足两个条件：圆A与圆C外切圆B与圆C内切，利用圆的内、外切和圆心距、圆半径的关系借助参数RC，得：|AC|=RC+RA|BC|=RC+RB，代入点坐标，得■=RC+2■=RC-2，其本质是含参数RC的轨迹参数方程，相减消去参数，得到■-■=4化简得■-y2=1（x≥2）。当圆C与圆A内切，与圆B外切时，同理可得■-y2=1（x≤-2）。综上，曲线的轨迹方程是■-y2=1。本题是参数法求曲线方程，由于有一个参数，所以建立含两个方程的方程组，消参求出曲线方程。
例4 （2012年湖北理科第21题）设是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|（m>0且m≠1）。当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（2）略。
解： （1）如图，设M（x，y），A（x0，y0）由动点M满足的条件|DM|=m|DA|（m>0且m≠1），代入坐标可得x=x0|y|=m|y0|①，其本质是含参数x0，y0的参数方程组，但方程个数只有两个，所以必须再寻找一个条件，又因为点A在单位圆上运动，所以x02+y02=1②， 这样就得到所求轨迹的含参数方程组x=x0|y|=m|y0|x02+x02=1③，将①式代入②式消去参数x0，y0即得所求曲线C的方程为x2+■=1（m>0且m≠1）。以下略。本题是典型的代入法求轨迹方程问题，但其实质是建立参数方程组③，消参化为普通方程。
例5 （2012年辽宁理科第20题）如图，椭圆C0：■+■=1（a>b>0，a，b为常数）动圆C1：x2+y2=t12，b
解： （1）设A（x1，y1），B（x1，-y1），又知A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=■（x+a）①，直线A2B的方程为y=-■（x-a）②，又由点A（x1，y1）在椭圆C0上，有■+■=1（x）③。这样就得到的含两个参数x1，y1的参数方程组y=■（x+a）y=■（x-a）■+■=1，①×②，得y2=■（x2-a2）④。把③式化成y12=b2（1-■），代入④消去得■-■=1（x<-a，y<0）。本题是典型的交轨法求曲线方程的问题，但实质还是建立参数方程组，消参化为普通方程。
4.反思
数学解题需要一题多解，但如果学了方法却又受制于方法，不会因题而变则是死方法，这样的方法再多又有何意义呢？需知问题是千变万化的，所以必须抓住解题方法的本质，真正做到能因具体问题的变化而变化。
当然，数学学习首先要有法，然后才有多法，再到一法或无法。当解题不受制于法，解题才能得心应手，顺应自然。我想，真正的数学解题应该是以不变应万变，无法才有法，无招胜有招，这才是数学解题的最高境界！