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摘要： Sigma-Delta广泛应用于高精度模数转换领域，如何快速高效的对其仿真是一个受人关注的问题。采用SIMULINK对Sigma-Delta调制器进行行为级建模与仿真，该模型考虑积分器的大部分非理想因素，包括有限直流增益、有限带宽、摆率和饱和电压等。详细介绍这些非理想因素影响和建模方法，给出实际Sigma-Delta调制器的仿真结果，证明方法的有效性。
关键词： 调制器；模型；非理想；仿真
中图分类号：TN761文献标识码：A文章编号：1671－7597（2011）0320028－02
0 引言
Sigma-Delta调制器广泛应用于高精度的模数转换领域，它们通常由开关电容电路组成。由于这种电路特殊的工作特性，其分析仿真存在较多的困难。通用的电路模拟工具如SPICE虽然可以对这类电路进行仿真，但需要花费大量的计算时间，如用于设计，效率太低，因此一般只用于最后的设计验证。设计过程中通常采用基于宏模型的行为仿真方法。按照不同的模型层次，从基本的概念级功能仿真到较准确的考虑电路各种实际因素的行为宏模型仿真，分别用于设计的不同阶段。一般而言，简单的模型可以得到快速的仿真，复杂的模型能够提供较精确的结果[1-2]。采取尽量准确的宏模型以获得与实际电路尽可能接近的仿真结果是行为仿真的关键，也是近年来Sigma-Delta调制器研究中受到很大关注的一个问题。本文介绍了一种基于SIMULINK的行为仿真方法，仿真中主要考虑了积分器的非理想因素，包括积分器中运放的有限直流增益、有限带宽、摆率和饱和电压。以一个实际调制器为例，对行为仿真的结果与SPICE电路级仿真作了比较，结果表明行为仿真能较准确地预测调制器的性能。
1 Sigma-Delta调制器
Sigma-Delta调制器主要由积分器和量化器组成。它的工作原理是：当积分器的输出是正的时候，量化器的输出为正，反馈一个正的信号和输入信号相减，使得积分器的输出向负值靠近；当积分器的输出是负的时候，量化器的输出也为负，反馈一个负的信号和输入信号相减，使积分器的输出向正值靠近[3]。这样当调制器工作稳定后，量化输出与输入之间在平均意义上的误差趋于零：
U（z）、Q（z）分别是输入信号和量化噪声的z域表达式，STF（z）是信号传递函数，NTF（z）是量化噪声的传递函数。对一阶的Sigma-Delta调制器，假定积分器用一个SC积分器实现，其传递函数是：
假定量化噪声是白噪声，根据上述表达式可计算出调制器的信噪比指标。但对实际的调制器，一方面，量化噪声并不完全符合白噪声模型，另一方面，式3描述的积分器模型是理想的，实际积分器包含诸多非理想因素，因此式1到式4只能反映Sigma-Delta调制器的基本功能特性，电路设计需要考虑各种实际因素，作细致的分析仿真。
2 基于SIMULINK的仿真模型
含非理想因素积分器的Sigma-delta变换器可用SIMULINK进行仿真。本文考虑的积分器非理想因素包括有限直流增益，有限带宽、摆率和饱和电压[4]。考虑上述非理想因素的模型如图1所示，前置的MATLAB函数的变量为输入信号in、α、SR、GBW和T。
1）直流增益
理想积分器的直流增益是无穷大的，实际积分器的直流增益是有限的。有限的直流增益使得输出的反馈只有一部分到达输入端，电荷在开关电容积分器中不能完全被传递，这就是积分器的电荷泄漏现象。这增加了带内噪声，直接导致开关电容Sigma-Delta调制器的整体性能下降。受电荷泄漏影响，积分器的传输函数变为：
2）带宽和摆率
有限的单位增益带宽和摆率的影响可以用MATLAB的用户自定义的函数slew表示，图1中，在积分器的前端放置一个函数模块，从图中可以看出函数模块包括4个变量，除了输入信号外，还包括积分器的泄漏α（即alfa）、摆率sr、单位增益带宽GBW和开关时钟周期Ts，这些因素对积分器构成的影响可以用如下数学模型表示[4-6]。可以在积分器的每个时钟周期T得到输出：
式中Vs=Vin（nT-T/2），α代表积分器的泄漏，τ=1/（2πGBW），GBW是单位增益带宽，输出电压的斜率最大值位于零时刻，输出电压求导可得：
当斜率的最大值小于运放的摆率，积分器的输出将不受摆率的限制，可用式7描述输出特性；当斜率的最大值大于运放的摆率，摆率将会限制积分器的输出。输出将会被分成两个部分，有一个从受摆率限制到不受限制的过程，这个过程可以表示为：
根据函数的连续性可以得到：
3）输出电压限制
Sigma-Delta调制器的动态范围是设计者主要考虑的因素之一，运算放大器的输出电压的限制将会影响动态范围，所以需要模拟运放输出电压的限制。使用SIMULINK的饱和模块加在积分器的反馈环路中来控制输出。
3 仿真实验结果
为了验证上述非理想积分器对实际的Sigma-Delta调制器的仿真预测效果，我们对一个一阶Sigma-Delta调制器分别用SPICE和SIMULINK进行了仿真。选用的调制器如图2所示，开关1和2分别工作在互不交叠的时钟相位，运算放大器的直流增益为80dB，单位增益为5.2MHz，摆率为。SPICE对电路作晶体管级仿真。SIMULINK的仿真模型如图3所示，其中的积分器采用图1的模型。输入信号幅度是0.48V，频率为1037Hz，采样频率是1MHz，过采样率为256，选取采样点数为16384，CS=1pF，CI=2pF。
仿真结束后，可得到比较器输出的一个高低电平码流。由于衡量Sigma-Delta调制器的主要性能指标是信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）和有效位数（Effective Number Of Bits，ENOB），因此仿真结束后，还要对数据做快速傅里叶变换得到功率谱，从变换结果中提取信号功率与噪声功率，再按信噪比定义算出SNR。
从两种仿真得到的功率谱（PSD）结果，可计算出信噪比分别是68.634dB和69.052dB，对应有效位数分别为11.103位和11.169位。对这一调制器，理想情况下的信噪比是72dB，对应有效位数11.668位。可以看出SIMILINK仿真与SPICE晶体管级仿真的结果是较为接近的，但用SPICE的仿真时间为800多秒，而SIMULINK仅仅需要几秒，大大提高了计算效率。存在的误差说明SIMULINK仿真中尚有未包括的一些实际因素，还需要进一步改进模型。
4 结束语
影响积分器的主要因素是有限直流增益，有限带宽、摆率和饱和电压，本文对其非理想因素使用SIMULINK建立模型，并且通过实例验证了这种方法的效果。从仿真结果可以看出行为级仿真能对调制器的性能作较好的预测，同时大大提高了仿真速度，这对提高设计效率是很有意义的。影响Sigma-Delta调制器的非理想因素还包括时钟抖动，开关热噪声等等，同样可以使用SIMULINK对其建模，使这种行为仿真更精确。
参考文献：
[1]Dong Y,Opal A. An Overview On Computer-Aided Analysis Techniques for Sigma-Delta Modulators[C].Canada：IEEE International Symposium on Circuits and Systems,2001：423-426.
[2]Guo Y,Peng L. Efficient Look-Up-Table-Based Modeling for Robust Design of ADCs[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,2007，54（7）：1513-1528.
[3]刘明亮，开关电容电路[M].北京：人民邮电出版社，2008：150-162.
[4]Lei J M,Dai X W,Zou X C,Modeling non-idealities of Sigma Delta ADC in simulink[C].China：International Conference on Circuits and Systems,2008：1040-1043.
[5]Malcovati P,Brigati S,Francesconi F.Behavioral modeling of switched-capacitor sigma-delta modulators[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications,2003，50（3）：352-364.
[6]Fornasari A,Malcovati P,Maloberti F.Improved Modeling of Sigma-Delta Modulator Non-Idealities in SIMULINK[C].Italy：IEEE International Symposium on Circuits and Systems,2005，6：5982-5285.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
关键词： 调制器；模型；非理想；仿真
中图分类号：TN761文献标识码：A文章编号：1671－7597（2011）0320028－02
0 引言
Sigma-Delta调制器广泛应用于高精度的模数转换领域，它们通常由开关电容电路组成。由于这种电路特殊的工作特性，其分析仿真存在较多的困难。通用的电路模拟工具如SPICE虽然可以对这类电路进行仿真，但需要花费大量的计算时间，如用于设计，效率太低，因此一般只用于最后的设计验证。设计过程中通常采用基于宏模型的行为仿真方法。按照不同的模型层次，从基本的概念级功能仿真到较准确的考虑电路各种实际因素的行为宏模型仿真，分别用于设计的不同阶段。一般而言，简单的模型可以得到快速的仿真，复杂的模型能够提供较精确的结果[1-2]。采取尽量准确的宏模型以获得与实际电路尽可能接近的仿真结果是行为仿真的关键，也是近年来Sigma-Delta调制器研究中受到很大关注的一个问题。本文介绍了一种基于SIMULINK的行为仿真方法，仿真中主要考虑了积分器的非理想因素，包括积分器中运放的有限直流增益、有限带宽、摆率和饱和电压。以一个实际调制器为例，对行为仿真的结果与SPICE电路级仿真作了比较，结果表明行为仿真能较准确地预测调制器的性能。
1 Sigma-Delta调制器
Sigma-Delta调制器主要由积分器和量化器组成。它的工作原理是：当积分器的输出是正的时候，量化器的输出为正，反馈一个正的信号和输入信号相减，使得积分器的输出向负值靠近；当积分器的输出是负的时候，量化器的输出也为负，反馈一个负的信号和输入信号相减，使积分器的输出向正值靠近[3]。这样当调制器工作稳定后，量化输出与输入之间在平均意义上的误差趋于零：
U（z）、Q（z）分别是输入信号和量化噪声的z域表达式，STF（z）是信号传递函数，NTF（z）是量化噪声的传递函数。对一阶的Sigma-Delta调制器，假定积分器用一个SC积分器实现，其传递函数是：
假定量化噪声是白噪声，根据上述表达式可计算出调制器的信噪比指标。但对实际的调制器，一方面，量化噪声并不完全符合白噪声模型，另一方面，式3描述的积分器模型是理想的，实际积分器包含诸多非理想因素，因此式1到式4只能反映Sigma-Delta调制器的基本功能特性，电路设计需要考虑各种实际因素，作细致的分析仿真。
2 基于SIMULINK的仿真模型
含非理想因素积分器的Sigma-delta变换器可用SIMULINK进行仿真。本文考虑的积分器非理想因素包括有限直流增益，有限带宽、摆率和饱和电压[4]。考虑上述非理想因素的模型如图1所示，前置的MATLAB函数的变量为输入信号in、α、SR、GBW和T。
1）直流增益
理想积分器的直流增益是无穷大的，实际积分器的直流增益是有限的。有限的直流增益使得输出的反馈只有一部分到达输入端，电荷在开关电容积分器中不能完全被传递，这就是积分器的电荷泄漏现象。这增加了带内噪声，直接导致开关电容Sigma-Delta调制器的整体性能下降。受电荷泄漏影响，积分器的传输函数变为：
2）带宽和摆率
有限的单位增益带宽和摆率的影响可以用MATLAB的用户自定义的函数slew表示，图1中，在积分器的前端放置一个函数模块，从图中可以看出函数模块包括4个变量，除了输入信号外，还包括积分器的泄漏α（即alfa）、摆率sr、单位增益带宽GBW和开关时钟周期Ts，这些因素对积分器构成的影响可以用如下数学模型表示[4-6]。可以在积分器的每个时钟周期T得到输出：
式中Vs=Vin（nT-T/2），α代表积分器的泄漏，τ=1/（2πGBW），GBW是单位增益带宽，输出电压的斜率最大值位于零时刻，输出电压求导可得：
当斜率的最大值小于运放的摆率，积分器的输出将不受摆率的限制，可用式7描述输出特性；当斜率的最大值大于运放的摆率，摆率将会限制积分器的输出。输出将会被分成两个部分，有一个从受摆率限制到不受限制的过程，这个过程可以表示为：
根据函数的连续性可以得到：
3）输出电压限制
Sigma-Delta调制器的动态范围是设计者主要考虑的因素之一，运算放大器的输出电压的限制将会影响动态范围，所以需要模拟运放输出电压的限制。使用SIMULINK的饱和模块加在积分器的反馈环路中来控制输出。
3 仿真实验结果
为了验证上述非理想积分器对实际的Sigma-Delta调制器的仿真预测效果，我们对一个一阶Sigma-Delta调制器分别用SPICE和SIMULINK进行了仿真。选用的调制器如图2所示，开关1和2分别工作在互不交叠的时钟相位，运算放大器的直流增益为80dB，单位增益为5.2MHz，摆率为。SPICE对电路作晶体管级仿真。SIMULINK的仿真模型如图3所示，其中的积分器采用图1的模型。输入信号幅度是0.48V，频率为1037Hz，采样频率是1MHz，过采样率为256，选取采样点数为16384，CS=1pF，CI=2pF。
仿真结束后，可得到比较器输出的一个高低电平码流。由于衡量Sigma-Delta调制器的主要性能指标是信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）和有效位数（Effective Number Of Bits，ENOB），因此仿真结束后，还要对数据做快速傅里叶变换得到功率谱，从变换结果中提取信号功率与噪声功率，再按信噪比定义算出SNR。
从两种仿真得到的功率谱（PSD）结果，可计算出信噪比分别是68.634dB和69.052dB，对应有效位数分别为11.103位和11.169位。对这一调制器，理想情况下的信噪比是72dB，对应有效位数11.668位。可以看出SIMILINK仿真与SPICE晶体管级仿真的结果是较为接近的，但用SPICE的仿真时间为800多秒，而SIMULINK仅仅需要几秒，大大提高了计算效率。存在的误差说明SIMULINK仿真中尚有未包括的一些实际因素，还需要进一步改进模型。
4 结束语
影响积分器的主要因素是有限直流增益，有限带宽、摆率和饱和电压，本文对其非理想因素使用SIMULINK建立模型，并且通过实例验证了这种方法的效果。从仿真结果可以看出行为级仿真能对调制器的性能作较好的预测，同时大大提高了仿真速度，这对提高设计效率是很有意义的。影响Sigma-Delta调制器的非理想因素还包括时钟抖动，开关热噪声等等，同样可以使用SIMULINK对其建模，使这种行为仿真更精确。
参考文献：
[1]Dong Y,Opal A. An Overview On Computer-Aided Analysis Techniques for Sigma-Delta Modulators[C].Canada：IEEE International Symposium on Circuits and Systems,2001：423-426.
[2]Guo Y,Peng L. Efficient Look-Up-Table-Based Modeling for Robust Design of ADCs[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,2007，54（7）：1513-1528.
[3]刘明亮，开关电容电路[M].北京：人民邮电出版社，2008：150-162.
[4]Lei J M,Dai X W,Zou X C,Modeling non-idealities of Sigma Delta ADC in simulink[C].China：International Conference on Circuits and Systems,2008：1040-1043.
[5]Malcovati P,Brigati S,Francesconi F.Behavioral modeling of switched-capacitor sigma-delta modulators[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Fundamental Theory and Applications,2003，50（3）：352-364.
[6]Fornasari A,Malcovati P,Maloberti F.Improved Modeling of Sigma-Delta Modulator Non-Idealities in SIMULINK[C].Italy：IEEE International Symposium on Circuits and Systems,2005，6：5982-5285.
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”