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新课程目标中提出要发展学生的数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。本文围绕和立体几何相关的社会热点问题作一些探讨，希望对同学们有些启发。
一、 景观环保改环境，精打细算很重要
【背景材料】 在刚刚结束的德班联合国气候大会上，加拿大宣布正式退出《京都议定书》，成为首个在签署该协议后退出的国家。环保组织纷纷谴责肯特退出《京都议定书》的决定。加拿大气候行动网络的索尔说：“这是国家的羞耻。在气候变化课题正日益成为生死攸关的问题时，总理哈珀却掴了全世界一巴掌。” 中国和日本对此表示遗憾。
中国作为发展中国家在工业化进程中会学习和借鉴发达国家应对气候变化的经验，不会犯发达国家过去无节制排放的错误。将采取节能、提高能效、调整能源结构、转变发展方式、发展可再生能源、增加森林碳汇等措施，在实现经济发展同时，应对气候变化并保护环境。其中太阳能的使用既节省了能源，也节省了老百姓的开支。这项工程不仅在新的小区建设中使用，而且也会在旧小区的改造中加以推广。
为了节约开支，有必要对旧小区的改造进行设计。
【命题分析】 立体几何中表面积、体积的计算是其中一个重要内容，对于实际问题中不同位置下有关元素的计算需要同学们对空间概念有较为清晰的认识。
【试题设计】 从2009年开始，上海市政府实施“景观环保工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”计划：将平顶房屋改为尖顶，并铺上平板式太阳能片.现对某幢房屋有如下两种改造方案：
方案1 坡顶如图1所示为顶面是等腰三角形的直三棱柱，尖顶屋脊AA1与房屋长度BB1等长，有两个坡面需铺上太阳能片.
方案2 坡顶如图2所示，为由图1消去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊DD1比房屋长度BB1短，有四个坡面需铺上太阳能片.
若房屋长度BB1=2a，宽BC=2b，屋脊高为h，试问哪种尖顶铺设的太阳能片比较节省？说明理由.
解析 设AD=x，0 S△BCD=12BC•DE
DE=x2+h2S△BCD=b•x2+h2,
2S△ADB=AD•AB
AB=h2+b22S△ADB=x•h2+b2,
令b•x2+h2>x•h2+b20＜x＜b,
∴当0 当x=b时，2S△ADB=S△BCD，两种方案一样；
当bS△BCD，第二种方案省.
二、 创新能力要考查，操作水平分高下
【背景材料】 根据新课程目标，高考命题的原则之一就是能力立意，即以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体思维的广度和深度。
【命题分析】 通过空间想象，直观猜想，归纳抽象，符号表达，运算推理，演绎推理和模式构建等方面，对客观事物中的数量关系的数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。
【试题设计】 （1） 给出两块面积相同的正三角形纸片（如图3，图4）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3、图4中，并作简要说明。
（2） 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
（3） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图5），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图5中，并作简要说明。
解析 （1） 如图6，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.
如图7，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.
（2） 依上面剪拼的方法，有V柱>V锥.
推理如下：
设所给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为34，现在计算它们的高：
h锥=1－23×322=63,
h柱=12tg30°=36.
∴V锥－V柱=13h锥－h柱×34
=69－36×34=22－324<0,
∴V柱>V锥.
（3） 如图8，分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.
三、 交通安全系人命，标识器材不能少
【背景材料】 我国汽车工业正在不断发展，不少新手上路或其他原因导致近几年交通安全事故逐渐增加。为了减少交通事故，一方面要加强安全执法，另一方面要增加必要的安全器材。
【命题分析】 一般来说安全器材是一个组合体，它的设计涉及到几何体的三视图、面积体积的计算、位置关系的确定等知识。
【试题设计】 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图9所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图10、图11分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1） 请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2） 求该安全标识墩的体积；
（3） 证明:直线BD平面PEG.
解析 (1) 侧视图同正视图,如图12所示.
（2） 该安全标识墩的体积为：
V=VPEFGH+VABCDEFGH=13×402×60+402×20=32 000+32 000=64 000(cm3).
（3） 如图13,连接EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连接PO.
由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,∴PO⊥HF.
又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG.
又BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.
牛刀小试
1. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是θ，则p1,p2,p3的大小关系是 。
1. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图14），设容器的高为h米，盖子边长为a米．
（1） 求a关于h的函数解析式；
（2） 设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）
2. 在抗洪抢险的大堤上，有一个三角形的遮阳棚△ABC（如图15所示）其中A,B是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线与地面成锐角θ，△ABD为光照遮阳棚产生的阴影。
（1） 遮阳棚与地面成多大的角度时，才能使阴影△ABD的面积最大？
（2） 当AC=3,BC=4,AB=5,θ=30°时，求出阴影△ABD的最大面积.
【参考答案】
1. 由射影面积公式S射影=S原cosθ可得p1=p2=p3.
1. （1） 设h′为正四棱锥的斜高，
由已知a2+4•12h′a=2,h2+14a2=h′2,解得a=1h2+1(h>0).
（2） V=13ha2=h3(h2+1)(h>0),
易得V=13h+1h.
∵h+1h≥2h•1h=2，∴V≤16，
等式当且仅当h=1h，即h=1时取得最大值，
故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．
图16
2. 过C作AB的垂线，垂足为E，则DE为CE在地面上的射影，且AB⊥平面CED.
∵AB⊥ED,∴∠CED是平面ABC与平面ABD所成的角.
又∵AB平面ABD,AB⊥平面CED,∴平面CED⊥平面ABD.
∴CD在平面ABD内的射影落在DE上.∴∠CDE=θ.
设∠CED=α,在△CED中，
DEsin(θ+α)=CEsinθ,DE=sin(θ+α)sinθ•CE，
∴S△ABD=12•AB•DE=12•AB•CE•sin(θ+α)sinθ.
∴当θ+α=π2时，即α=π2－θ时，阴影△ABD的面积最大.
（2） 由（1）知AB=5,CE=125,α=60°,
∴阴影△ABD的最大面积为12×5×125×112=12.
（作者：徐永忠，江苏省兴化中学）
一、 景观环保改环境，精打细算很重要
【背景材料】 在刚刚结束的德班联合国气候大会上，加拿大宣布正式退出《京都议定书》，成为首个在签署该协议后退出的国家。环保组织纷纷谴责肯特退出《京都议定书》的决定。加拿大气候行动网络的索尔说：“这是国家的羞耻。在气候变化课题正日益成为生死攸关的问题时，总理哈珀却掴了全世界一巴掌。” 中国和日本对此表示遗憾。
中国作为发展中国家在工业化进程中会学习和借鉴发达国家应对气候变化的经验，不会犯发达国家过去无节制排放的错误。将采取节能、提高能效、调整能源结构、转变发展方式、发展可再生能源、增加森林碳汇等措施，在实现经济发展同时，应对气候变化并保护环境。其中太阳能的使用既节省了能源，也节省了老百姓的开支。这项工程不仅在新的小区建设中使用，而且也会在旧小区的改造中加以推广。
为了节约开支，有必要对旧小区的改造进行设计。
【命题分析】 立体几何中表面积、体积的计算是其中一个重要内容，对于实际问题中不同位置下有关元素的计算需要同学们对空间概念有较为清晰的认识。
【试题设计】 从2009年开始，上海市政府实施“景观环保工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”计划：将平顶房屋改为尖顶，并铺上平板式太阳能片.现对某幢房屋有如下两种改造方案：
方案1 坡顶如图1所示为顶面是等腰三角形的直三棱柱，尖顶屋脊AA1与房屋长度BB1等长，有两个坡面需铺上太阳能片.
方案2 坡顶如图2所示，为由图1消去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊DD1比房屋长度BB1短，有四个坡面需铺上太阳能片.
若房屋长度BB1=2a，宽BC=2b，屋脊高为h，试问哪种尖顶铺设的太阳能片比较节省？说明理由.
解析 设AD=x，0
DE=x2+h2S△BCD=b•x2+h2,
2S△ADB=AD•AB
AB=h2+b22S△ADB=x•h2+b2,
令b•x2+h2>x•h2+b20＜x＜b,
∴当0
当b
二、 创新能力要考查，操作水平分高下
【背景材料】 根据新课程目标，高考命题的原则之一就是能力立意，即以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，对知识的考查侧重于理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体思维的广度和深度。
【命题分析】 通过空间想象，直观猜想，归纳抽象，符号表达，运算推理，演绎推理和模式构建等方面，对客观事物中的数量关系的数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体。
【试题设计】 （1） 给出两块面积相同的正三角形纸片（如图3，图4）,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图3、图4中，并作简要说明。
（2） 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。
（3） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图5），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图5中，并作简要说明。
解析 （1） 如图6，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥.
如图7，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的14，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底.
（2） 依上面剪拼的方法，有V柱>V锥.
推理如下：
设所给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为34，现在计算它们的高：
h锥=1－23×322=63,
h柱=12tg30°=36.
∴V锥－V柱=13h锥－h柱×34
=69－36×34=22－324<0,
∴V柱>V锥.
（3） 如图8，分别连接三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形，以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.
三、 交通安全系人命，标识器材不能少
【背景材料】 我国汽车工业正在不断发展，不少新手上路或其他原因导致近几年交通安全事故逐渐增加。为了减少交通事故，一方面要加强安全执法，另一方面要增加必要的安全器材。
【命题分析】 一般来说安全器材是一个组合体，它的设计涉及到几何体的三视图、面积体积的计算、位置关系的确定等知识。
【试题设计】 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图9所示,墩的上半部分是正四棱锥PEFGH,下半部分是长方体ABCDEFGH.图10、图11分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图.
（1） 请画出该安全标识墩的侧(左)视图;
（2） 求该安全标识墩的体积；
（3） 证明:直线BD平面PEG.
解析 (1) 侧视图同正视图,如图12所示.
（2） 该安全标识墩的体积为：
V=VPEFGH+VABCDEFGH=13×402×60+402×20=32 000+32 000=64 000(cm3).
（3） 如图13,连接EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连接PO.
由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH,∴PO⊥HF.
又EG⊥HF,∴HF⊥平面PEG.
又BD∥HF,∴BD⊥平面PEG.
牛刀小试
1. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是θ，则p1,p2,p3的大小关系是 。
1. 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图14），设容器的高为h米，盖子边长为a米．
（1） 求a关于h的函数解析式；
（2） 设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．（求解本题时，不计容器的厚度）
2. 在抗洪抢险的大堤上，有一个三角形的遮阳棚△ABC（如图15所示）其中A,B是地面上南北方向的两个定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线与地面成锐角θ，△ABD为光照遮阳棚产生的阴影。
（1） 遮阳棚与地面成多大的角度时，才能使阴影△ABD的面积最大？
（2） 当AC=3,BC=4,AB=5,θ=30°时，求出阴影△ABD的最大面积.
【参考答案】
1. 由射影面积公式S射影=S原cosθ可得p1=p2=p3.
1. （1） 设h′为正四棱锥的斜高，
由已知a2+4•12h′a=2,h2+14a2=h′2,解得a=1h2+1(h>0).
（2） V=13ha2=h3(h2+1)(h>0),
易得V=13h+1h.
∵h+1h≥2h•1h=2，∴V≤16，
等式当且仅当h=1h，即h=1时取得最大值，
故当h=1米时，V有最大值，V的最大值为16立方米．
图16
2. 过C作AB的垂线，垂足为E，则DE为CE在地面上的射影，且AB⊥平面CED.
∵AB⊥ED,∴∠CED是平面ABC与平面ABD所成的角.
又∵AB平面ABD,AB⊥平面CED,∴平面CED⊥平面ABD.
∴CD在平面ABD内的射影落在DE上.∴∠CDE=θ.
设∠CED=α,在△CED中，
DEsin(θ+α)=CEsinθ,DE=sin(θ+α)sinθ•CE，
∴S△ABD=12•AB•DE=12•AB•CE•sin(θ+α)sinθ.
∴当θ+α=π2时，即α=π2－θ时，阴影△ABD的面积最大.
（2） 由（1）知AB=5,CE=125,α=60°,
∴阴影△ABD的最大面积为12×5×125×112=12.
（作者：徐永忠，江苏省兴化中学）